Funzioni analitiche

Funzioni analitiche

Una funzione analitica è espressa come:

f(z) = ∑ c_m (z - z₀)ⁿ   |z - z₀| con m ≥ 0

Il coefficiente è dato da:

f^(m)(z₀) / m!

Una funzione analitica è anche conosciuta come olomorfa.

La derivata è data da:

f'(z) = ∑ c_m m (z - z₀)^m-1 con m ≥ 1

Teorema

Se f è olomorfa, allora f è analitica:

f(z) = ∑ c_m (z - z₀)ⁿ con m ≥ 0

c_m = f^(m) (z₀) / m! = 𝒲 f(z)/(z - z₀)ⁿ⁺¹ dz

f^(m) (z₀) = m! / 𝒲 f(z)/(z - z₀)^m+1 dz

Formula di Cauchy per le derivate

Funzioni analitiche

Una funzione g(z) può essere espressa come:

g(z) = Σ_m≥0 c_m (z−z₀)ⁿ |z−z₀|

g^(m)(z₀) -----m!

Analitica ⇒ olomorfa

g′(z) = Σ_m≥1 c_m m(z−z₀)^m−1

Teorema

Se f è olomorfa ⇒ f è analitica:

g(z) = Σ_m≥0 c_m (z−z₀)ⁿ

c_m = f^(m)(z₀) -----m!= 1 -----2πi ∮ f(z) -----(z−z₀)ⁿ⁺¹ dz

f^(m)(z₀) = m! -----2πi ∮ f(z) -----(z−z₀)^m+1 dz

Formula di Cauchy per le derivate

(2⁵ - 5⁹) dz = 2πi

3f⁽³⁾(5) = 2πi

6f(x) = 0

Gli zeri di una funzione analitica

f(x) = 0

Il principio degli zeri isolati

f(x) = (x - 3)²

f'(x) = 2(x - 3)

f''(x) = 2

Definiamo z₀ come uno zero di ordine m.

f^(k)(z₀) = 0 ∀ k ≤ m - 1

f^(m)(z₀) ≠ 0

Principio degli zeri isolati

Se f è analitica, sono equivalenti i 3 seguenti fatti:

1. ∃a ∈ ℝ t.c. f^(m)(a) = 0 ∀m ∈ ℕ
2. f nulla in un intorno di a
3. f ≡ 0