Funzione continua in un punto

Funzione continua in un punto

Consideriamo le funzioni i cui grafici sono illustrati in figura.

Funzione a

La funzione f(x) = -x² + 3x è definita in R e lim_x→1 f(x) = 2 = f(1).

Funzione b

La funzione f(x) = {-x² + 3x se x ≠ 1; 0 se x = 1} ha limite lim_x→1 f(x) = 2 ≠ f(1).

Esse hanno lo stesso limite per x che tende a 1; nel caso a tale limite coincide con il valore f(1) della funzione nel punto 1, mentre nel caso b questo non accade. Nel primo caso, la funzione è continua in x = 1, mentre nel secondo la funzione è discontinua in x = 1.

Definizione di funzione continua in un punto

Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x₀ un punto interno all'intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x₀ quando esiste il limite di f(x) per x → x₀ e tale limite è uguale al valore f(x₀) della funzione calcolata in x₀: lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Applicando la definizione di limite, f(x) è continua in x₀ se ∀ε > 0 esiste un intorno completo I di x₀ tale che |f(x) - f(x₀)| ≤ ε, ∀x ∈ I.

Una funzione f(x) è quindi continua in x₀ se:

• È definita in x₀, cioè esiste f(x₀);
• Esiste finito lim_x→x0 f(x);
• Il valore del limite è uguale a f(x₀).

Esempi di continuità

1. La funzione y = 1 - x⁴, di dominio ℝ, è continua in x₀ = 2 perché esiste f(2) = -15, lim_x→2 (1 - x⁴) = -15 = f(2).

2. La funzione y = { x³ se x < 1; x + 2 se x ≥ 1} non è continua in x₀ = 1. La funzione ha dominio ℝ e f(1) = 3, ma lim_x→1 y non esiste perché lim_x→1^- y = 1 e lim_x→1⁺ y = 3.