Formule di Gauss Green

Formule e teoremi di Gauss-Green

OSS se dF = w_G + dV dove G è conservativo e V multi e ⇒ F sarà mai conservativo e ∫F = ∫V.

Esempio: Forma di Gauss-Green (non piano)

Se F ⊂ C(A), A aperto e D ⊂ A e ∫ D la frontiera regolare (formalizzazione: ogni curva F^' regolare), allora:

Nota bene: se F è irrotazionale ⇒

Osservazione: prendiamo un dominio bucato. Dalle formule generali ricaviamo:

1. Se F = (f, 0), f ⊂ C¹(A), f a valori reali se F = (0, F)

OSS se ω_F = ω_G + dV dove G è conservativo e V mai c.e ⇒ F sarà mai conservato e ∮_γω_F = ∮_γdV_F

Es. ω = (y+1/x²+y²)dx - (x-x³/x²+y²)dy = possiamo scriverlo = ^√x4+y4+y2cix + ^y/x2+y2cix ⇒ ω_F = ∮ω_F ⇒ ω_F = ∮_γdV_F

Formule di Gauss-Green (quasi piano)

Se F ∈ C¹(A), A aperto e D ⊂A con frontiera regolare (approssimazione alla curva f^s regolare), allora:

∬_D(∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y) dxdy = ∮_∂DF dF con F orientato in modo che ∂_s lasci alla sua sx l'arco D

Nota bene: se F è irrotazionale ⇒ ∮_γ dxdy = 0

OSS: prendiamoci un dominio bucato ⇒ xF è irrotaz. viene ∮ stessi ∮ come se conservativo

L'integrale ∬ dxdy = 0 se F irrotaz.

G.G implica che ∮ω_F = ∮_γ1F

_______pacchi_______

∮_{y1F___}

Dalla formula generale si ricavano:

1. Se F = (f,o), f ∈ C¹(A), f a valori reali ∬_D(∂f/∂y) dxdy = f fdx
2. Se F = (o,f), ∬_D(∂f/∂x) dxdy = + f dF

Conseguenza di G.G.

Data f(x,y) = y Allora _D ∮ y dx = -∮ f dx Area D = -∮ y dx

Data f(x,y) = x Allora Area_D = ∮ x dy Area(D) = 1/2 ∮ (x dy - y dx)

Esempio: Calcolo dell'area di un'ellisse

x(t) = a cos(t)

y(t) = b sin(t)

0 ≤ t ≤ 2π

Area(t) = -∮ y dx = ∫₀^2π (b sin²t · a dt) == a·b ∫₀^2π 1 - cos(2t)/2 dt == a·b/2 [ t - sin(2t)/2 ]₀^2π = a·b·π

Ex per casa

Costruire una omotopia tra l'ellisse e la circonferenza di centro (0,0) e raggio r. Annuliamo le formule per F_z = 0, F_x qualsiasi e il dominio normale rispetto all’asse y. (osto assi e biunivoci)

Poiché F = F_x e F_z {(c,d), (a,b)}

Dado verticale questo rettangolo (per il verso ciperc) ∬_∂x^∂z dxdy = ∮_γ F_z dy

∮ F_z dy = ∮ F₂ dy

γ₁ x(t) = t

γ₂ x(t) = S₂(t)

γ₃ x(t) = t

γ₄ x(t) = S₁(t)

y(c) = c, c ≤ t ≤ de ∮ F₂ dy = ∮ F₂ dy

Poiché va piecocoando aux us exma [∮ F₂ dy ] = [ ∫ F₂dy = 0 | poiché y = cost [∫ F₂ dy ] = ∫ d F₂ (S₂ (t) , t) dt [ ∫ F₂ dy ] = ∫ d F₂ (S₁ (t) , t) dt