Formulario per teoria ed esercizi Meccanica Razionale

MOMENTO POLARE

M(O) = (P - O) ∧ V̄

M(O') = M(O) + (O - O') ∧ ∇

M(O) = R(c) => M(O') = M(O)

VETTORI CARATTERISTICI

S = {(P_i, V_i) / i=1,...,n} -> R̄ = Σ V̄_i

M(O) = Σ_i (P_i - O) ∧ V̄_i

FORMULA DI TRASMISSIONE DEI MOMENTI

M(O') = M(C) + (O - C) ∧ R̄

M(O) = M(O) R̄ = 0 oppure O - O'/ ∥R

INVARIANTE SCALARE E VETTORIALE

ℓ = M(O) · R̄

M_v = Γ / ∥R̄∥² R̄

M(O) = M_p + M_v(O)

EQUAZIONE DESTRASE CENTICA

P_A = O - 1/∥R̄∥² R̄ ∧ M(O) + αR̄

CRITERI DI RIDUCIBILITA

1) R̄ ≠ 0 / M_O ≠ 0 -> S = {(P_A, R̄) : coppia di attravers. T_p (coppia ∈ π1ℝ)}

2) ∥R̄∥ = 0 / M(O) = 0 -> S = coppia di braccio nullo

3) R̄ = 0 / M(O) ≠ 0 -> S = coppia di uovento M(O)

4) R̄ ≠ 0 / M_v = 0 -> S = (P_A, R̄) / P_A ∈ a-c

CENTRO DI UN SISTEMA DI VETTORI PARALLELI

centro -> C - O = 1/R̄ Σ_i (P_i - O) V̄_i

MOMENTO POLARE

M(O) = (P-O)xV

M(O') = M(O) + (P-O)x∇

M(O) = R(C) / M(O') = M(O)

VETTORI CARATTERISTICI

S = {(P_i,v_i)/i = 1,...n } → R = Σ_iv_i

M(O) = Σ_i(P_i-O)xv_i

FORMULA DI TRASMISSIONE DEI MOMENTI

M(O') = M(C) + (O-C)xR

M(O') = M(O) ⇔ R = O ⊕ O-O' //R

INVARIANTE SCALARE E VETTORIALE

I_s = M(O) · R

I_v = I / |R|²

Π(O) = I_P + I_m(θ)

EQUILIBRIO DEI MASSI CENTRALI

P_A = O ⇒ ∑_R²R_iM(O) ⊕ αR

CRITERI DI RIDUCIBILITA

1. R ≠ 0 M_O' = 0 ⇒ S = {(P_A,R)·coppia di uavveto τ_p(coppia ∈π∞)}
2. |R| = 0 M(O) = 0 ⇒ S = coppia di braccio nullo
3. R = 0 M(O) ≠ 0 ⇒ S = coppia di ucarreto M(O)
4. R ≠ 0 M_O' = 0 ⇒ S = (P_A,R)_PA∈α-c

CENTRO DI UN SISTEMA DI VETTORI PARALLELI

centro: C = O = 1/R ∑_i(P_i-O)v_i

CENTRO DI MASSA

G = O = ₁/_w^Σ_i w_i (p_i - O)

LAMINA RETTANGOLARE OMOGENEA: G = (b₂, a₂)

ASTA OMOGENEA: G = (l₂, O)

ASTA NON OMOGENEA: G = (₂/₃ l, O)

ARCO DI CIRCONFERENZA OMOGENEO: G = (R₂sin x, O)

TRIANGOLO OMOGENEO: baricentro (₂/₃ mediana)

SETTORE CIRCOLARE OMOGENEO: G = (₂/₃ R₂sin x, O)

MOMENTI D'INERZIA

I_o = Σ w_i |p_i - O|²

I_xx = Σ w_i [(p_i - O)_y]² x_e

I_rr = Σ w_i [(p_i - O)_x]²

{ I = Σ _i w_i d² in continuo I = ∫ (P) d (P) d_t }

Proprieta

3D: I_xx + I_yy + I_zz = 2I_o

2D: I_xx + I_yy - I_zz = I_o

MOMENTI DEVIATORI

I_mpi = -Σ_i [(p_i - O)_r / m]² [(p_i - O)_r / m]

I_xy = -Σ w_i x_i y_i = I_yx

I_xz = -Σ w_i x_i z_i = I_zx

I_yz = -Σ w_i y_i z_i = I_zy

TEOREMA DI HUYGENS-STEINER

I_O = I_G + ω (G-O)²

I_G = ωl_G²

I_OT = I_mlG + ωd_G²

I_T = I_mlG + ωd_G²

I_GH = I_HTGH + ω [(G-O)² m]

Momenti d’inerzia particolari

DISCO OMOGENEO: I₀ = ¹/₂ ωR² | I_zz = ³/₂ ωR² | I_d = ¹/₄ ωR²

ANELLO OMOGENEO: I₀ = ωR² | I_d = ¹/₂ ωR²

LAMINA TRIANGOLARE OMOGENEA: I_xx = ωh²/6

LAMINA RETTANGOLARE OMOGENEA: I_xx = ωb³/3 | I_yy = ωa³/3 | I_c = ω/3 (a² + b²)

I_xe = ωl²/12 | I_ye = ω(_2a)

I_xy = ωab/4

ASTA OMOGENEA: lωl²sωl^x/12

I_c = ωa²/12 | I_s = ωa_el^6/7

MOMENTI D’INERZIA PER ASSI CONCORRENTI

I_yx = αI_xx + βI_yy + γI_zz + 2αβ I_xy + 2αβ I_yz + 2αI I_yz

I_yy = 2⠁I_{(2O_3O)}

I₀ = [ det ]^{-1Ixx Ixy IxzIxy Iyy IyzIxz Iyz Izz}

Autovalori: det |σ₀ - λ| = 0 => λ₁, λ₂, λ₃

Autovettori: |σ₀ - ωI| = 0 => ω₀ = ^(H)(0)(0)

Ellissoide d'inerzia

I₁ = I_xx x² + I_yy y² + I_zz z² + 2 I_xy xy + 2 I_yz yz + 2 I_xz xz

(^{p - C}⁄_√Ic)

Velocità e accelerazione di P(t)

v_f(t) = ̇(t) = ̇(t)i + ̇(t)j + ̇(t)k

a_f(t) = ̈(t) = ̈(t)i + ̈(t)j + ̈(t)k

Cinematica sulle curve

s(t) = ∫_tm^t |̇(z)| dz = ∫_tm^t √(̇²(z) + ̇²(z) + ̇²(z)) dz

ds = |d| = v dt = |̇(z)| dt

(t) ↔ p = P(s) geometrica s - S(t) cinemática

Formula di Frenet

^d(s)⁄_ds = ^d2(s)⁄_ds²= ¹⁄ m

m = m(s) versore normale principale = (s) raggio di curvatura

Terna intrinseca {̅, m, b}

Velocità e accelerazione nella terna intrinseca

v_o = ṡ ̅

a_f = ṡ̇ ̅ + ^ṡ2⁄ m

Cinematica del punto nel piano

ē = ̇ e

ē = -̇ e

_p = ṙ e + ṙ e

a_f = (ṙ - ṙ²) e + (2 ṙ̇ + r̈) e

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

θ(t) = ω₀t + θ₀

MOTO ARMONICO

x(t) = Rcos(ω₀t + θ₀)

ẍ + ω₀²x = 0 omogeneo

ẍ + ω₀²x = c non omogeneo (x(t) = Rcos(ω₀t + θ₀) + c/ω₀²)

RIFERIMENTO SOLIDALE

MOTO RIGIDO: =∑Mi

P(t) = _{P(t) =}

TEOREMA DI POISSON

C corpo rigido

= (Ω, ē₁, ē₂, ē₃)

v̄ = ∑ ẋi = ∑

ω̄ = ∑ ωi ēi

v̄ Sistema rigido => v̄ = ∑ Vi ēi

FORMULA FONDAMENTALE

V̄(t) = Va(t) + ω̄ x (P - Ω)

SPOSTAMENTO E ACCELERAZIONE RIGIDI

dP̄ = d a + ω̄ x (P - Ω)

āP(t) = āa(t)

MOTO RIGIDO TRASLATORIO

Ω = 0 = ∑i (tn) = k̄

ω̄ ≡ v̄ = 0

MOTO RIGIDO ROTOTRASLATORIO

ē₃ ∥ ē₃

V̄p = V̄a + (ē⃗e₃) x (P̄ - Ω)

W̄ = ω̄ ē₃

āP(t) = āa + (ē⃗e₃) x (P - Ω)

MOTO RIGIDO TRASLATORIO

V̄Ω = ē⃗e₃

Ω ∈ asse di rotazione => V̄a = 0

Moto rigido elicoidale

\(\vec{w} = \dot{\theta} \vec{e_3}\)

\(\vec{\Omega} \in\) asse rotaz. \(\Rightarrow \vec{V}_{\underline{\Omega}} = \dot{\theta} \vec{l} \times \vec{e_3} \)

\(V_{\underline{P}} = \vec{\xi} + (\dot{\theta} e_3) \times (P - \Omega)\)

\(\dot{P} = \dot{\xi} \cdot \textit{t} + (\dot{\theta} \vec{e_3}) \times (P - \Omega)\)

\(a_{\underline{P}} = \dot{\xi} \vec{e_3} + (\dot{\theta} \vec{e_3}) \times (\dot{P} - \dot{\Omega}) - \dot{\theta}^2 (P - \dot{P}^*)\)

Atto di moto

A(t) \(\mathrel{}\stackrel{\smash{}\scriptscriptstyle\smash{}\txt{\(\wedge\)}}{\in}\mathrel{}\) P \(\curvearrowright P(t)\)

Atto di moto rigido \(\Rightarrow \nabla(P) = \nabla(\Omega) + \vec{w} \times (P - \Omega)\)

\(\forall P, \in S\)

t \(\subseteq\) dopo s

Invariante scalare cinematico

I = \(\vec{w} \cdot \nabla(\underline{\Omega})\)

Se \(\vec{w} \neq 0\) Asse di moto (asse \(\vec{w} \parallel \vec{\underline{n}}\))

Me asse di vituo se \(\vec{w} \cdot \nabla(\underline{\Omega}) = \frac{\vec{A} \cdot \nabla(\vec{\Omega})}{| \vec{w}|^2} + \lambda (\vec{w})\) (\(\lambda \in \mathbb{R}\))

Invariante vettoriale cinematico

\(\nabla(M) = \frac{I_{\underline{\Omega}}}{| \vec{w}|^2} \vec{w} ||\) asse di moto

Teorema di Mozzi

Atto di moto rigido \& rotatorio \(\Leftrightarrow\) I = 0

Se \(\bar{C}) = 0\) (C \(\mathrel{}\stackrel{\smash{}\scriptscriptstyle\smash{}\txt{\(\wedge\)}}{\in}\mathrel{}\) asse di istantanea rotazione) \(\Rightarrow \nabla(P) = \vec{w} \times (P - C)\)

Moto piano

\(\pi \backslash \pi^*\)

P - P^* \(\nabla\) t \(\Rightarrow \nabla_{\underline{P^\star}} = \nabla_{\underline{P^\star}}\)*

I = \nabla(\underline{\Omega}) = 0 (\vec{w} \cdot \pi^*, v_{\underline{\Omega}} || \pi^*)\)

Teorema di Chasles

\(\vec{w} (\vec{ \nabla(A)} \downrightarrow \nabla v(B))\)

Centro di istantanea rotazione \(\downarrow\) l’interesciore della due rette passanti per A e per B e \(\downarrow\) \(\nabla (A\G)\) \(\downarrow\) \(\nabla (B)\)

Velocità e spostamento reali per un sistema con n parametri liberi

\(\nabla_P = dP/dt = \sum(\^n)^\downarrow \frac{\delta P}{\delta q_i} \dot{q}_i +\)

\((V) \nabla_P = \sum(\^n)^\downarrow \frac{\delta P}{\delta q_i} \dot{q}_i \)

SISTEMA LABILE MATRICE JACOBIANA

|∂ƒ₁/∂x₁ ... ∂ƒ₁/∂xᵤ| |δx₁| |0||∂ƒ₂/∂x₁ ... ∂ƒ₂/∂xᵤ| |δx₂| | ||∂ƒ₃/∂x₁ ... ∂ƒ₃/∂xᵤ| | ⋮ | = |0|| ⋮ ... ⋮ | |δxᵤ||∂ƒₛ/∂x₁ ... ∂ƒₛ/∂xᵤ|Jr(Ƒ) < ω

SISTEMA LABILE

S = max < ωl = ω - S Grado di labilitaSe r(x) < max VINCOLI INEFFICACI

SISTEMA ISOSTATICO

S = max = ωl = ω - S = 0

SISTEMA IPERSTATICO

ω = max e S > ωl = S - ω Grado di iperstaticita

VINCOLO DI PURO ROTOLAMENTO

Vₐ(t) = Vᵦ(t)

SLITTAMENTO: Vₐₖ ≠ VᵦₖDISTACCO: Ṽₐₖ ≠ Ṽᵦₖ

FORZA

F = Ƒ(ρ, t, t) => 1) F = F̅ₒ2) F = Ƒ(ρᵢ, t) forze attive3) F = Ƒ(ρᵢ) forze posizionali

FORZE POSIZIONALI CENTRALI

^→F=ψ(p)^→(p-0)p=|p-0|₀

|^→F|=|ψ(p)|^→F concorde con ^→r ⇒ ψ(p) > 0 ⇒ REPULSIVA^→F discorde con ^→r ⇒ ψ(p) < 0 ⇒ ATTRATTIVA

FORZA ELASTICA

^→F_zzF_zz = -k(p-0) = -k₀^(p-0)/₀(ψ(p)=-kp)

FORZA GRAVITAZIONALE E ELETTROSTATICA

^→F=-C_g/^e2

LAVORO

dL=^→F·dP=f_xdx+f_ydy+f_zdz   lavoro infinitesimol=^∫_1→2F·dP   lavoro virtuale

Lv=∫ppfvPdt=∫t1t1u(t)dt

Π(t)=^→F_vP   POTENZA

LAVORO PER UN SISTEMA RIGIDO

dL=R_cd_C+P_cdθL≃Rc  Ω≃Pc  δθ   lavoro virtuale

SISTEMA DI FORZE SOTTOPOSTO A VINCOLI OLOMI

dL= ∑ⁿ_i=1fe_jdq_jAj=∑ⁿ_j=1F_i·∂Φ/∂r_j

dL=∑ⁿ_i=1fdq_jq_jeδt   Q_i=∑ⁿ_j=1∂Φ/∂e_i=Fi

POSTULATO DELLE REAZIONI VINCOLARI

{ψap=F(P,P*·t)+Φconfuizioni iniialiequ.di vincolo

QUIETE: P(t₀)=P*P(t)=P^* (t≠t_c)VP(t)=0 (t≠t_c)

EQUILIBRIO: F(P*,0,t)+q=0

PUNTO LIBERO

F(_x,_y,_z,t) = 0

PUNTO CON VINCOLO TRIBO

F(_T) = F(_P(_r,t)) ≠ punto

PUNTO APPARTENENTE A UNA SUPERFICIE

f(x,y,z) = 0 eq. di vincolo della superficie

2 gradi di libertà

F = Φ_T + λ grad ƒ => Φ_T = λ grad ƒ = λ(∂f/∂x i⃗ + ∂f/∂y j⃗ + ∂f/∂z k⃗)

|Φ_T| ≤ μ_s|λ grad f| caso statico

|Φ_T| = μ_d|λ grad f| caso dinamico

VINCOLO LISCIO

Φ_T = 0

Φ_N(1) ≥ 0 ∀SP

PUNTO VINCOLATO SU UNA CURVA

f(x,y,z) = 0 g(x,y,z) = 0

vincolo liscio: F = Φ_T + λ grad ƒ + λ'₂ grad g => λ grad f + λ'₂ grad g

vincolo scabro: |Φ_T| = μ_s|λ grad f|

N = √(λ² (grad f)² + (λ₂')²)

PRINCIPIO DI D'ALEMBERT

F + F^(w) = 0

F^(w) = -m â = forza di inerzia

STATICA / CINEMATICA RELATIVA

V_P = V_Pq + V_Q => V_E = J_z + ω⃗ x(P - O)

Û_P = û_Pq + ê⃗_lc => a⃗_lc = ω⃗ x(P - O) + ω˙⃗ x(P - O)

a_lc = 2 ω⃗ x û_p

ω⃗ (ã⃗_q + û_lc + ä_c) = R⃗ => ûω–ã_c–ä_c = 0

STATICA

F = F_app = 0

F_app = -mü Statico (ã_c = 0 perche V_P = 0)

CORPO RIGIDO:

w˙ xω⃗ x⃗

EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA / DINAMICA

Σ F_est + Σ F_est = Σ mü⃗ 1^o ECD

Σ F_est + Σ F_est = Σ ẍ^¯ (i x ẍ (⃗ x ))

QUANTITÀ DI MOTO TOTALE

Q = Σ_i=1ⁿ m_i v_i

MOMENTO TOTALE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

K_o = Σ_i=1ⁿ (Pi - O) x (m_i v_i)

• 1^a ECD: R_o^est - F_est + Q̇ = do / dt x Q
• 2^a ECD: K_oest = do / dt x Q̇

dc / dt x Q̇ = 0

polo O fisso

polo = centro di massa

PRINCIPIO DI D'ALEMBERT

• F_oʹ = F_eu - F_est - Q̇
• F_eu = Σi (f_i - o) x Q̇_i
• F_euw = Σi (p_i - o) x Q̇_w

R_o^est + Q_oʹ^est - F_ow = 0 R_{oest e} + R_ow + F_ow = 0

TEOREMA DI KOENIG

• K_o = K_c + (G - o) x α̇
• P_o^ca = -Ṗ_c - ( - ) x Q̇

Per corpi rigidi K_o = ω(G - O) x V̇_o + Ω̇_w

H_ow = -Kʹ - do / dt x α̇ = d / dt [ω(G - O) x V̇_o + Ω̇_w] - do / dt x Q̇

do x Q̇ = 0 se polo O è fisso

polo = centro di massa

dc / dt x Q̇

Se O è fisso K_o = Ω̇_w

O = centro ist. rot. K_c = Ω̇_w

Ω̇ = 0

kω (G - O) x ω_o