Formulario per Laboratorio di Meccanica

Formulario Laboratorio di Meccanica

A cura di Lorenzo Arsini

1 Probabilità

• Leggi generali ∪ ∩

P (A B) = P (A) + P (B) + P (A B) (1.1)

∩

P (A B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B) (1.2)

• Teorema di Bayes P (E|H )P (H)

i

∩

P (H E) = (1.3)

i N

X P (E|H )P (H )

i i

i=1

• Probabilità e densità di probabilità b

Z −

p(a < x < b) = f (x)dx = F (b) F (a) (1.4)

a

x

Z dF (x|θ)

0 0

|θ)dx ⇐⇒

f (x f (x|θ) =

F (x|θ) = (1.5)

dx

• Momenti di distribuzione Z

E[x] = xf (x)dx (1.6)

Z

2 2 2 2

− −

V ar[x] = σ = (x E[x]) f (x)dx = E[x ] E[x] (1.7)

• Funzione di variabile casuale y(x) dx(y)

⇐⇒

f (x)dx = g(y)dy g(y) = f (x(y)) (1.8)

dy

1

• Variabili casuali multiple f (x , x )

1 2

Z Z

E[x ] = x f (x , x )dx dx (1.9)

1 1 1 2 1 2

Z Z 2

−

V ar[x ] = (x E[x ]) f (x , x )dx dx (1.10)

1 1 1 1 2 1 2

Z Z − −

cov[x , x ] = (x E[x ])(x E[x ])f (x , x )dx dx (1.11)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

N

X i i

− −

(x x )(x x )

1 2

1 2 N

i=1 −

cov(x , x ) = x x x ) (1.12)

= (x

1 2 1 2 1 2

− −

N 1 N 1

cov[x , x ]

1 2

ρ[x , x ] = (1.13)

1 2 p

V ar[x ]V ar[x ]

1 2

N

X i i

− −

(x x )(x x )

1 2

1 2

i=1

r(x , x ) (1.14)

1 2 v N N

u X X

u 2 2

i i

− −

x ) x )

(x (x

t 1 2

1 2

i=1 i=1

Variabili indipendenti =⇒ f (x , x ) = f (x )f (x ) =⇒ ρ[x , x ] = 0

1 2 1 2 1 2

Dato: y = (x , ..., x ) (1.15)

1 n

E[y] = y(E[x ], ..., E[x ]) (1.16)

1 n

N N

2

∂y ∂y

∂y

X X

V ar[y] = V ar[x ] + 2 cov[x , x ] (1.17)

i i j

∂x ∂x ∂x

i i j

i=1 i=1,j>i

per due sole variabili

2 2

∂y ∂y ∂y

∂y V ar[x ] + V ar[x ] + 2 cov[x , x ]

V ar[y] = 1 2 1 2

∂x ∂x ∂x ∂x

1 2 1 2 (1.18)

2

• Distribuzione uniforme 1

f (x) = (1.19)

−

b a

b + a

E[x] = (1.20)

2 −

(b a)

p √ (1.21)

V ar[x] =

σ(x) = 12

• Distribuzione Binomiale

n k n−k

−

B(k|n, p) = p (1 p) (1.22)

k

E[k] = np (1.23)

p p −

σ(k) = V ar[k] = np(1 p) (1.24)

• Distribuzione di Poisson −λ

n

λ e

P (n|λ) = (1.25)

n!

E[n] = λ (1.26)

√

p

σ(n) = V ar[n] = λ (1.27)

1

• Distribuzione tempi d’attesa (esponenziale) λ = rt, τ = r

1 −rt

f (t) = e (1.28)

τ

−rT

P (t > T ) = e =⇒ nessun conteggio entro T (1.29)

E[t] = τ (1.30)

p

σ(t) = V ar[t] = τ (1.31)

3

• Distribuzione Multinomiale n! k k

|n, 1 n

...p (1.32)

M (k , ..., k p , ..., p ) = p

1 n 1 n n

1

k !...k !

1 n

E[k ] = np (1.33)

i i

p p −

σ(k ) = V ar[k ] = np (1 p ) (1.34)

i i i i

−np

cov[k , k ] = p (1.35)

i j i j

p p

r i j

−

ρ[k , k ] = (1.36)

i j − −

(1 p )(1 p )

i j

• Distribuzione geometrica n−1

−

p(n) = p(1 p) (1.37)

1

E[n] = (1.38)

p r −

1 p

p

σ(n) = V ar[n] = (1.39)

2

p

• Distribuzione di Gauss - Distribuzione Normale

(x−µ)2

1 −

√ e (1.40)

f (x) = 2

2σ

2πσ

E[x] = µ (1.41)

2

V ar[x] = σ (1.42)

−

x µ

m = (1.43)

σ

1 2

m

−

√

f (x) = e (1.44)

2

2π

4