Formulario per Laboratorio di Meccanica

Formulario laboratorio di meccanica

A cura di Lorenzo Arsini

Probabilità

• Leggi generali

  P (A ∪ B) = P (A) + P (B) + P (A ∩ B) (1.1)

  P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B) (1.2)

• Teorema di Bayes

  P (H|E) = ^{P (E|H)P (H)} ∕ _{N ∑ P (E|Hi)P (Hi)} (1.3)

• Probabilità e densità di probabilità

  P(a < x < b) = ∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a) (1.4)

  dF(x|θ) = f(x|θ)dx ⟹ f(x|θ) = ^dF(x|θ) ∕ _dx (1.5)

• Momenti di distribuzione

  E[x] = ∫ x f(x) dx (1.6)

  Var[x] = σ² = ∫ (x − E[x])² f(x) dx = E[x²] − E[x]² (1.7)

• Funzione di variabile casuale

  y(x) ⟹ f(x)dx = g(y)dy ⟹ g(y) = f(x(y)) ^dx ∕ _dy (1.8)

• Variabili casuali multiple

  E[x₁] = ∫ ∫ x₁ f(x₁, x₂) dx₁ dx₂ (1.9)

  Var[x₁] = ∫ ∫ (x₁ − E[x₁])² f(x₁, x₂) dx₁ dx₂ (1.10)

  cov[x₁, x₂] = ∫ ∫ (x₁ − E[x₁])(x₂ − E[x₂]) f(x₁, x₂) dx₁ dx₂ (1.11)

  cov(x₁, x₂) = ^{∑_i=1ⁿ (x_1i − x₁)(x_2i − x₂)} ∕ _n−1 (1.12)

  ρ[x₁, x₂] = ^{cov[x₁, x₂]} ∕ _{√(Var[x1]Var[x2])} (1.13)

  r(x₁, x₂) = ^{∑_i=1ⁿ (x_1i − x₁)(x_2i − x₂)} ∕ _{√(∑i=1ⁿ (x1i − x1)² ∑i=1ⁿ (x2i − x2)²)} (1.14)

• Variabili indipendenti

  f(x₁, x₂) = f(x₁)f(x₂) ⟹ ρ[x₁, x₂] = 0

• Dato: y = (x₁, ..., x_n)

  E[y] = y(E[x₁], ..., E[x_n]) (1.16)

  Var[y] = ∑_i=1ⁿ ^∂y ∕ _∂xi² Var[x_i] + 2 ∑_i=1ⁿ ∑_j>i ^∂y ∕ _∂xi ^∂y ∕ _∂xj cov[x_i, x_j] (1.17)

• Per due sole variabili

  Var[y] = ^∂y ∕ _∂x1² Var[x₁] + ^∂y ∕ _∂x2² Var[x₂] + 2 ^∂y ∕ _∂x1 ^∂y ∕ _∂x2 cov[x₁, x₂] (1.18)

• Distribuzione uniforme

  f(x) = 1 / (b−a) (1.19)

  E[x] = (a + b) / 2 (1.20)

  Var[x] = σ(x)² = (b−a)² / 12 (1.21)

• Distribuzione binomiale

  B(k|n, p) = ⁿC_k p^k (1−p)^n−k (1.22)

  E[k] = np (1.23)

  Var[k] = σ(k)² = np(1−p) (1.24)

• Distribuzione di Poisson

  P(n|λ) = ^{λn e−λ} ∕ _n! (1.25)