Formulario per esame Analisi 1

Formattazione del testo

y = f(x+b) Traslaz.x

y = f(x)+a Traslaz. y

y(-b dx, +b sx)y = |f(x)| Rifl. x

y = f(|x|) Rifl. y

y = -f(x) Simmetria x

y = f(-x) Simmetria y-1

y = -f(-x) Simmetria O

y = f(x) Inversa C

S2COMPLESSI i = -1

2z = a+ib |z| = √(a +b ) “razionalizzazione” den.

z = a-ib |z -z | = distanza0

z = |z| · (cos(σ) + i sin (σ))iσ

z = |z| · e con σ = arctan(b/a)

z = Re(z) + i·Im(z) → (Im(z) = b)

arctan(α) = 1 / tan(α)

SVILUPPI NOTEVOLI TAYLOR

cotan(α) = cos(α) / sin(α)

tan(α) = sin(α) / cos(α)

STUDIO FUNZIONE LIMITI

- Dominionradici: √f(x) = ± f(x) se n pari → f(x) ≥ 0

- frazioni: den ≠ 0

- logaritmi: arg ˃ 0

- Segno f(x) ≥ 0

- Continuità

- Derivabilità

lim f(x) = lim f(x) = L

lim f'(x) = lim f'(x) =L0

- 0+ 0-

x→ x x→ x

x→ x x→ x

x→ x x→ x

- Max min f'(x) = 0 → disegno rette con segnitrovare coordinate sostituendo nell'equazione

Metodi

Limiti

Crescenza f'(x) > 0

Concavità f''(x) > 0

Sostituzione- Simmetrie

lim f(x) = f(x )0x→ x 0

f(x) = f(-x) → simmetrica asse y, pari

Confronto

f(x) = -f(-x) → simmetrica origine, dispari

Metodi Serie Numeriche

∞/∞- Intersezione assi (y=0, x=0)

L'Hopital (0/0 o )

Rapporto

lim f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)

Limiti agli estremi del dominio

C: L < 1

D: L > 1

lim a /a = Lx→ x n+1 n0 n→ + ∞∉-

Asintoti, x D0

Scala Infiniti Radice

lim f(x) = ± ∞

C: L < 1

D: L > 1

n x xx → 0 : log x – x – x – a – x! – x n

lim √a = L

Orizzontale n+x→ x ∞

n→ + ∞0 x x nx → : x – x! - a – x – x – log x

Verticale lim f(x) = L ∈L (0, + ∞)

→ Uguali

Confronto asintotico

lim f(x) = ± ∞ x→ ± ∞

L = 0 e b C → a C

lim a /b = L0-x→ x n nn n

FOURIER L = ∞ e b D →a Dn→ + ∞

n → Obliquo → y=mx+q

Confronto tra serie a D → b Dn

lim f(x)/x = M

lim (f(x) - Mx) = Q

a ≤ b b C → a Cn

nx→ ± ∞x→ ± ∞ ⋅x

SERIE Numeriche

SERIE Potenze ∑ a → sostituzione con t

Trinomio Particolaren L = n → R = 1/L

1) Raggio di convergenzan- Geometriche ∑ b (-R,R) L = ∞ → R = 0

3 3 2 2 3(a-b) = a - 3a b + 3ab – bC: -1 ˂ b ˂ 1 in 1/(1-b) D: b ≥1 lim a /a = Ln+1 n 3 3 2 2(a -b )= (a-b)(a +ab+b )L = 0 → R = ∞n→ + ∞

- Telescopiche ∑ a – a o a – a 3 3 3 3 2 2 2 2(a+b+c) = a + b + c + 3a b + 3a c + 3b c + 3abn n+k n+k n

2) Nuovi estremi con x, sistema tra t ˂ L e t ˃ LC: lim a = L D: lim a = ±∞n n 2 2+ 3ac + 3bc + 6ab3) Studio estremi sostituendo i nuovi estremin→ + ∞ n→ + ∞ dove c'è la x, Leibnitz (se segno alterno)+Mengoli ∑ 1/(n(n+1)) → Fratti semplici 4) Studio serie numerica, modifica

(A/n + B/n+1) → A +A+B /n(n+1) → A =1 B=-1n n 2 2(a-b)(a+b)= a - ba- Armoniche ∑ 1/n 2 2 2(a-b) = a - 2ab + ba b+ modifiche ∑ 1/( n · (log n) ) lim a = 0Leibnitz a ≥ 0 f’(a ) ≤ 0nn nn→ + ∞C: a ˃ 1 C: a ˃ 1 D: a ˂ 1 2 2 2 2(a-b+c) = a + b + c - 2ab + 2ac – 2bc→ ConvergeD: a ≤ 1 a = 1 e b ˃ 1 a = 1 e b ≤ 1