Formulario
Gianluca Filesi
1 Vettori −
→
→
− v
u =
Versore: v →
− −
→ −
→ −
→
v = v u + v u + v u
Scomposizione cartesiana: x x y y z z
→
− →
− −
→ −
→ −
→
v + p = (v + p ) u + (v + p ) u + (v + p ) u
Somma algebrica: x x x y y y z z z
→
−
→
− ·
a b = c = ab cos θ
Prodotto scalare:
→
− →
− 2
·
a a = a
• →
− →
−
→
− →
−
⊥ ·
a b =⇒ a b =0
• →
−
→
−
π
≤ ·
0 θ < =⇒ a b > 0
• 2 →
−
→
−
π ≤ ·
θ < π =⇒ a b < 0
• 2 →
− →
−
→
− →
−
· ·
a b = b a
• →
− →
−
→
− →
−
· ·
(k a ) b = a (k b )
• →
− →
−
→
− →
− →
− →
− →
−
· · ·
( a + b ) c = a c + b c
• →
− →
−
·
a u = a cos θ,
• Se il vettore è moltiplicato per un versore si ha che è la componente del
vettore sul versore.
−
→ ·−
→ −
→ ·−
→ −
→ ·−
→
u u = u u = u u =0
• x y y z x z
−
→ ·−
→ −
→ −
→ −
→ −
→
· ·
u u = u u = u u = 1
• x x y y z z
→
−
→
− →
−
×
a b = c
Prodotto vettoriale:
→
−
| |
c = ab sin θ
• →
− →
−
→
− →
−
× − ×
a b = b a
• anti-commutativo:
→
− →
−
→
− →
−
k ×
a b =⇒ a b = 0
• →
− →
− →
−
→
− →
− →
−
× × ×
(k a ) b = a (k b ) = k( a b )
• →
− →
−
→
− →
− →
− →
− →
−
× × ×
( a + b ) c = a c + b c
• −
→ ×−
→ −
→ −
→ ×−
→ −
→ −
→ ×−
→ −
→
u u = u ; u u = u ; u u = u
• x y z y z x x y z
• −
→ −
→ −
→
u u u
x y z
→
− −
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
→
−
a a a
c = det = a b u + a b u + a b u (a b u + a b u + a b u )
x y z y z x z x y x y z y x z z y x x z y
b b b
x y z
Derivata: →
−
d v dv dθ
→
− →
− →
− −
→
= u + v u
v = v u =⇒ (1)
N
dt dt dt
−
→
dθ u
è la variazione della direzione del versore nel tempo, è il versore perpendicolare al
N
primo. →
− r
d v dv dθ
2 2
| | = ( ) + (v )
dt dt dt
1
2 Cinematica
2.1 Spostamento
∆s
Ascissa curvilinea: →
− −
→ −
→ −
→
r (t) = x(t) u + y(t)
u + z(t) u
Vettore posizione: x y z
x(t)
→
−
r (t) = y(t)
z(t)
2.2 Velocità
Velocità scalare media: −
s(t ) s(t ) ∆s
2 1
v (t , t ) = = (2)
m 1 2 −
t t ∆t
2 1
Velocità scalare istantanea: ds
∆s =
v = lim (3)
ist ∆t dt
∆t→0
Velocità media: ∆x
∆v =
→
− m,x ∆t
∆ r
→
− ∆y
v =
= (4)
∆v =
media m,y ∆t
∆t ∆z
∆v =
m,z ∆t
Velocità istantanea: dx
v =
→
− →
− i,x dt
∆ r d r dx(t) dy(t) dz(t)
−
→ −
→ −
→ dy
v = lim = = u + u + u = (5)
v =
ist x y z i,y dt
∆t dt dt dt dt
∆t→0 dz
v =
i,z dt
2.3 Accelerazione
Accelerazione scalare media: − [V ] [L]
v(t ) v(t ) ∆v
2 1 −2
[a ] = = = [L][T ]
a (t , t ) = = (6)
m
m 1 2 2
−
t t ∆t [T ] [T ]
2 1
Accelerazione scalare istantanea: ∆v dv
a = lim = (7)
ist ∆t dt
∆t→0
Accelerazione media: ∆v
∆a = x
→
− m,x ∆t
∆ v
→
− ∆v y
a = = (8)
∆a =
media m,y ∆t
∆t ∆v
∆a = z
m,z ∆t
Accelerazione istantanea: 2
dv d x
a = =
x
→
− →
− i,x 2
dt dt
dv (t)
∆ v d v dv (t) dv (t)
−
→ −
→ −
→
y
x z 2
dv d y
y
a = lim = = u + u + u = (9)
a = =
ist x y z i,y 2
dt dt
∆t dt dt dt dt
∆t→0 2
d d z
a = =
z
i,z 2
dt dt
Accelerazione in componenti intrinseche: ( dv
a =
→
− T dt
a (t) = (10)
2
v
a =
N ρ
2
2.4 Problema inverso
t
R
v(t) = v(t ) + a(t)dt
• 0 t
0
t
R
s(t) = s(t ) + v(t)dt
• 0 t
0
2.5 Moti notevoli
2.5.1 Moto uniforme t
Z −
v dt = s(t ) + vt vt v =
s(t) = s(t ) + con cost. (11)
0 0
0 t
0
2.5.2 Moto uniformemente accelerato t
Z −
a dt = v(t ) + at at
v(t) = v(t ) + (12)
0 0
0 t
0 2
−
(t t )
0
−
s(t) = s(t ) + v (t t ) + a (13)
0 0 0 2
2 2
−
v v = 2a∆x (14)
0
Caduta libera: s 2h
p
v = 2gh t = (15)
g
2.5.3 Moto circolare
s(t) = θ(t)R
• →
− −
→
dθ rad
ω = u
• Velocità angolare: , misurata in
z
dt s
→
− −
→
2
d θ rad
α = u
• Accelerazione angolare , misurata in
z
2 2
dt s
→
− →
− →
− −
→
×
v = ω r = ωr u
• T
−
→ →
− →
− −
→
×
a = α r = αr u
• T T
−
→ →
− →
− →
− →
− →
− −
→
2
× × ×
a = ω ( ω r ) = ω v = ω r u
• N N
2.5.4 Moto circolare uniforme
θ(t) = θ + ωt
Legge oraria 0
ω =
Vel. angolare: cost.
Legame con misure lineari :
s(t) = Rθ(t)
• v(t) = Rω(t)
•
Relazioni importanti :
2π
T =
• ω
−1
T = f
• v = ωR
• 0 2
v 2
= ω R
a = 0
• C R 3
2.5.5 Moto circolare uniformemente accelerato
12 2
θ(t) = θ + ωt + αt
Legge oraria 0
ω = ω + αt
Vel. angolare: 0
Legame con misure lineari :
s(t) = Rθ(t)
• v(t) = Rω(t)
• →
− −
→
v = v u
• T T
a(t) = Rα(t)
• →
− −
→ −
→
2
−
a = αR u Rω u
• T N
Relazioni importanti :
2π 6
T = ω =
• N.B.: cost.
ω
1 2
s = αRt
• 2
v = ωR
• 0 2
v 2
a = = ω R
0
• C R
a = αR
• T
2.5.6 Moto parabolico
Posizione: (
x(t) = x + v cos &the
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