Formulario Costruzione di macchine M

Alma Mater Studiorum - Università di Bologna

Scuola di ingegneria e architettura

Corso di laurea magistrale in ingegneria meccanica

Formulario di costruzioni di macchine M

Docente: Prof. Dario Croccolo, Prof. Massimiliano De Agostinis

Anno accademico: 2015/16

Indice

• Teoria membranale ............................................................................................................................ 1
• Recipiente sferico (gas) .............................................................................................. 5
• Bombola ........................................................................................................................... 5
• Recipiente cilindrico appoggiato a terra .................................................... 6
• Recipiente cilindrico vincolato ........................................................................ 6
• Silos .................................................................................................................................... 7
• Recipiente sferico (fluido) .......................................................................................... 8
• Tubazioni ........................................................................................................................ 10
• Teoria dei gusci ................................................................................................................................. 12
• Mozzo con soggetto a pressione interna ............................................ 13
• Albero cavo con soggetto a pressione esterna ............................. 14
• Albero pieno con soggetto a pressione esterna ............................. 15
• Generico elemento X con soggetto a pressione interna ed esterna .................................................................................................................... 16
• Accoppiamenti albero mozzo ............................................................................. 17
• Generico elemento X con soggetto a pressione interna ed esterna nulle ...................................................................................................... 21
• Velocità limite ........................................................................................................... 23
• Accoppiamenti di attrito .................................................................................................................. 26
• Barra di trazione ................................................................................................................... 26
• Accoppiamento conico ........................................................................................................ 27
• Linguette e chiavette ............................................................................................................ 30
• Alberi scanalati .................................................................................................................... 31
• Perni .................................................................................................................................................. 33
• Spine .................................................................................................................................................. 39
• Molle .................................................................................................................................................. 42
• Molle a lamina ..................................................................................................................... 42
• Molle a balestra .................................................................................................................... 54
• Caratteristica della molla ..................................................................................................... 55
• Molle elicoidali di compressione ......................................................................................... 57
• Diagrammi per calcoli a fatica di molle elicoidali di compressione .................................... 65
• Vibrazioni libere / frequenze di risonanza ........................................................................... 69
• Instabilità a carico di punta .................................................................................................. 72
• Materiali acciai per molle elicoidali .................................................................................... 73
• Presetting ............................................................................................................................. 74
• Molle elicoidali di trazione .................................................................................................. 75
• Molle di torsione elicoidali .................................................................................................. 81
• Tensioni residue ................................................................................................................... 82
• Concentrazione delle tensioni .............................................................................................. 82
• Molle ad anelli ..................................................................................................................... 88
• Lezioni di Cesari .................................................................................................................. 94
• Ruote dentate .................................................................................................................................. 107
• Strisciamento ..................................................................................................................... 109
• Grandezze geometriche notevoli ....................................................................................... 110
• La realizzazione del profilo Condizioni di interferenza ..................................................... 113
• Condizioni di interferenza .................................................................................................. 114
• La correzione del profilo .................................................................................................... 116
• Calcolo a flessione classico ............................................................................................... 120
• Verifica a pitting ................................................................................................................ 121
• Calcolo più preciso - Nuovo Colombo .............................................................................. 122
• Tabelle sezione resistente viti, q, materiali ruote dentate .......................................................... 125

Teoria membranale

Elementi in cui sono predominanti due dimensioni:

• Elementi in cui lo stato di sollecitazione è biassiale
• Elementi che devono possedere almeno una curvatura delle superficie
• Elementi a geometria assial-simmetrica o a solido di rivoluzione

Convenzione pressione: Il prof ritiene positiva se la pressione interna è maggiore di quella esterna (pentola a vapore), mentre la ritiene negativa se la pressione esterna è maggiore di quella interna (sommergibile). Nel caso in cui il nostro elemento sarà soggetto a pressioni esterne, sarà soggetto a tensioni negative. Se sarà soggetto a pressioni esterne, avremo tensioni positive.

Prima equazione fondamentale

Dove:

• : pressione agente sul superficie media della membrana
• : spessore della membrana
• : tensione meridiana e tangenziale
• : raggio mediano e tangenziale

Questa equazione da sola non ci basta perché abbiamo due incognite. Necessito di una equazione che mi esprima la in funzione (tranne nel caso di problemi simmetrici in cui basta porre). Questa relazione è ottenibile facendo l’equilibrio nella direzione verticale dell’elemento.

Si ottiene la seguente relazione:

• : è il peso del fluido soprastante alla sezione in cui viene effettuato l’equilibrio
• : rappresenta le reazioni vincolari, vedremo poi quando aggiungerle
• : ????

Questa equazione rappresenta il caso più generale possibile. Nel caso in cui il recipiente contenga solo gas, si può ritenere che:

• Il peso del fluido sia trascurabile
• La pressione assuma un valore costante all’interno del recipiente

Facendo l’equilibrio sopra la posizione degli appoggi si ottiene la seguente equazione:

Ipotizzando (forma più semplice):

Se il recipiente contiene del liquido, allora il peso del fluido non è più trascurabile e il diagramma delle pressioni non è più costante e si modifica nel seguente modo:

• : è la pressione all’interfaccia
• : è il peso specifico del fluido
• : è la generica altezza della colonna di fluido

NB: se il peso specifico del fluido è espresso in , è necessario moltiplicare per per ottenere MPa dalla formula precedente. Supponendo la pressione all’interfaccia nulla i.d. il fluido è a contatto con la pressione atmosferica, è possibile ricondurre il calcolo delle tensione meridiana a un problema di volumi:

Dove:

• : è il volume di fluido soprastante la sezione di equilibrio
• : è il contributo legato alla pressione alla generica sezione
• : è il volume di fluido complessivo soprastante la sezione di equilibrio

Questi due volumi coincidono solo nel caso in cui il recipiente sia cilindrico. Per spiegare meglio la differenza tra questi si guardi il seguente disegno. Come si può facilmente notare i due volumi sono nettamente diversi.

Quando va inserito legato alle reazioni vincolari?

Consideriamo la seguente struttura e analizziamo le sollecitazione a cui è sottoposta:

I vincoli dovranno esercitare una forza uguale e contraria al peso del fluido (è possibile considerare anche il peso dello struttura) per poter equilibrare staticamente la struttura, quindi nel calcolo dell’equilibrio nella sezione sottostante ai vincoli è necessario considerare una forza pari al peso complessivo del fluido contenuto nel recipiente.

Considerando ora le varie forze presenti con i rispettivi segni, si ottiene che la sezione è sollecitata da un volume pari a:

L’equazione di equilibrio risulta la seguente: quando eseguiamo l’equilibrio di una sezione sottostante la posizione dei vincoli,

ATTENZIONE: NON DOBBIAMO CONSIDERARE SEMPRE come unico contributo il volume totale del fluido (peso) presente! Bisogna considerare un volume che dipende dalla forma del recipiente.

Recipiente sferico (gas)

Bombola

NB: c’è una discontinuità del valore delle tensioni tangenziale nel passaggio cilindro-sfera! Dal punto di vista costruttivo, lo spessore del guscio nella zona cilindrica è doppio rispetta quello della calotta sferica per ottenere delle tensioni uniformi (a parità di materiale). La variazione dello spessore deve avvenire in modo graduale, iniziando sulla parte sferica.

Recipiente cilindrico appoggiato a terra

Recipiente cilindrico vincolato

Attenzione: all’interno di può essere presente un termine contente la pressurizzazione del serbatoio!

Silos

L’andamento delle tensioni risulta parabolico. Questa posizione dei vincoli risulta la più vantaggiosa perché se andassimo ad abbassarli, si creerebbe una zona (sopra i vincoli) in cui le tensione meridiane risultano di compressione, creando una discontinuità perché le tensioni al di sotto dei vincoli risultano positive!

NB: il punto di massimo non è un punto fisso! Esso varia durante il riempimento/svuotamento del silos. Inoltre la posizione del punto di massima tensione al massimo si può trovare in perché tale grandezza non può diventare negativa.

Recipiente sferico (fluido)

Al posto della variabile h usiamo la variabile definita come:

Bisogna suddividere la trattazione in due parti:

• Sopra gli appoggi: La posizione migliore per gli appoggi è la seguente h = R. Abbassando gli appoggi, oltre ad avere problemi di stabilità, la tensione meridiana può risultare nulla o addirittura negativa perché esisterà sicuramente un’altezza h per cui i due volumi sono coincidenti. Sotto gli appoggi queste considerazioni non valgono più.

Il problema passa allora attraverso la determinazione del volume liquido contenuto nella sfera (volume verde), esprimibile attraverso l’utilizzo del seguente integrale:

Ora, inserendo gli opportuni estremi di integrazione, è possibile calcolare il volume della sfera. Le tensioni meridiana risultano pari a :

La spiegazione del motivo per cui nel caso il contributore del volume sferico (peso del fluido) si somma è la seguente:

• Sotto gli appoggi:

Tubazioni

La tubazione è considerata di piccolo spessore se:

Trascuriamo il peso della struttura: in questa condizione la tubazione è come se fosse caricata da un carico uniformemente distribuito.

La teoria membranale è sempre valida, però essendo la prima equazione fondamentale risulta:

Per cui la tensione tangenziale risulta costante qualsiasi sezione facciamo, essa dipende solo da .

Come ricaviamo l’espressione di ? Facendo l’equilibrio in direzione tangenziale e svolgendo la derivata di si ottiene:

CC: , per cui (il sdr è stato posizionato nella centro della trave)

Ora facendo l’equilibrio in direzione meridiana e svolgendo la derivata della si ottiene:

Che condizioni al contorno utilizzo? Esistono tre situazioni possibili:

• Estremità aperte:
• Estremità chiuse:
• Tubi infinitamente lunghi: Ricavo Risolvendo l’integrale si ottiene:

Teoria dei gusci

• Elementi in cui tutte le dimensioni sono importanti
• Elementi in cui lo stato di sollecitazione è triassiale
• Elementi a geometria assial-simmetrica o a solido di rivoluzione
• Alberi, mozzi e relativi accoppiamenti
• Tubi di forte spessore
• Dischi rotanti

Prendiamo un disco di spessore unitario. Supponiamo che, oltre ad una pressione esterna e ad una interna sia anche messo in rotazione con una velocità .

Ipotesi:

• Materiali isotropi
• Massa uniformante distribuita
• Trascurare infinitesimi di ordine superiore

Dopo aver eseguito l’equilibrio in direzione radiale (in direzione tangenziale è automaticamente soddisfatto), si perviene al seguente sistema di equazioni fondamentali:

Dove: Q rappresenta un parametro d’aspetto. A, B sono delle costanti. Le costanti C, D dipendono dalla velocità per cui questi termini non sono presenti quando il guscio è fermo. Le deformazioni a cui è soggetto il guscio sono definite come:

Mozzo con soggetto a pressione interna

Per trovare il valore delle costanti A, B è necessario imporre delle condizioni al contorno. Per ricavarle basta guardare la figura e imporre i valori delle tensioni radiali nei punti opportuni. Si noti che le costanti C, D sono nulle perché legate alla velocità angolare.

Le espressione delle tensioni risultano le seguenti:

Dove: Le tensioni, sia tangenziale che radiale, seguono un andamento iperbolico del secondo ordine. Inoltre la tensione perché è il prodotto di tutti i termini positivi mentre sarà negativa perché l’ultimo termine è negativo visto che sicuramente.

Dove la tensione è maggiore? Sul raggio interno, perché è un’iperbole, dove Q è più piccolo, la tensione è più grande. Noi siamo interessanti alla differenza di tensione tangenziale tra esterno e interno:

Gli andamenti delle tensioni risultano i seguenti:

Albero cavo con soggetto a pressione esterna

Per trovare il valore delle costante A, B è necessario imporre delle condizioni al contorno. Per ricavarle basta guardare la figura e imporre i valori delle tensioni radiali nei punti opportuni.

Le espressione delle tensioni risultano le seguenti:

Dove:

La tensione risulta essere negativa perché è il prodotto di tutti termini positivi preceduti da un segno meno mentre parte da zero (diametro interno) e diminuisce fino al valore della pressione esterna.

La differenza di tensione tangenziale tra esterno e interno risulta essere pari a:

Gli andamenti delle tensioni risultano i seguenti:

Albero pieno con soggetto a pressione esterna

Allora B=0

Le espressione delle tensioni risultano le seguenti:

Nel caso di albero pieno le tensioni radiali e tangenziali risultano costanti e pari a .

Attenzione! Se facciamo un piccolo foro sull'albero (dovuto alla lavorazione meccanica per farlo tornire per esempio), le formule precedenti tornano ad essere valide tensione tangenziale sul raggio interno assumono un valore molto elevato, tende a un valore doppio rispetto al caso di albero pieno!

Se voglio alleggerire l’albero è opportuno fare un foro grande, altrimenti stresso troppo il materiale.

Generico elemento X con soggetto a pressione interna ed esterna

Le espressione delle tensioni risultano le seguenti:

Si noti che se , allora le tensioni tangenziali e radiali risultanti pari e costanti a, situazione tensionalmente equivalente a quella di un albero pieno. Per rimediare al problema che si crea quando si realizza un piccolo foro basta fare in modo che sulla superficie interna ed esterna del mozzo sia presente la stessa pressione.

La differenza di tensione tangenziale tra esterno e interno risulta essere pari a:

La tensione tangenziale interna è sempre maggiore di quella esterna. Supponiamo di dare una pressione esterna. Il valore della per cui la tensione tangenziale esterna è nulla è:

Ipotizzando di aumentare ancora di più la, si raggiungerà un valore per cui anche la tensione tangenziale interna sarà negativa, essendo la differenza tra le due costante. La tensione radiale invece è sempre negativa.

La situazione peggiore è “Mozzo con pressione interna” perché ci troviamo ad avere le due tensioni principali una positiva e l'altra negativa. Applicando il criterio più cautelativo possibile, ovvero il criterio di Tresca.