Formulario Calcolo Integrali e Probabilità + Corollario sul calcolo Derivate

Primitive O Integrali Indefiniti

DEF. Primitiva di una funzione f(x) = funzione F(x) t.c. F'(x)=f(x)

Primitive Funzioni Elementari

1. ∫x^mdx = x^m+1/m+1 + C, C∈R; ⇒ tutte le infinite funzioni (al variare di C∈R) la cui derivata è xⁿ

2. 1. ∫1/xⁿ dx = ∫x^-n dx = x^-n+1/ -n+1 + C;

   2. ∫ x^m/n dx = ∫x^m/n dx = x^m/n+1/m/n+1 + C;

3. ∫a^x dx = a^x/ln a + C;

4. ∫e^x dx = e^x + C , n=1;

5. ∫1/x dx = ln x + C;

6. ∫ sin x dx = -cos x + C;

7. ∫ cos x dx = sin x + C;

8. ∫ k dx = kx + C, k∈R;

Primitiva di Una Somma di Funzioni

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Primitiva di Costante x Funzione

∫ k*f(x) dx = k ∫ f(x) dx, k∈R

Primitive di funzioni composte

1. ∫(g(x))ⁿg'(x)dx = (g(x))ⁿ⁺¹/_n+1 + C

_Nota^{a ≠ -1}

• ∫¹/ 1; Diverge se m ≤ 1

  Teorema del Confronto

  Convergenza:

  f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ D ∫_a^+∞ g(x) dx converge →

  ∫_c^+∞ f(x) dx converge.

  Divergenza:

  f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ (α,+∞) ∫_c^+∞ g(x) dx diverge →

  ∫_a^+∞ f(x) dx diverge.

  Esercizi

  1. ∫ F(x) = ∫₀^x f(t) dt

     f(x): ⎧ 2^x x ≤ 0 ⎩ x³ x > 0

  2. 2: 2^x

  3. F(x) = ⎧ 5 + x² x ≤ 0 ⎩ 3 x > 0

  4. f(x) = ⎧ x²/ctg(πx)² x ≤ 0 ⎩ e^x x > 0

  5. E(x) = ⎧ ∫_-∞^x(2t(t+1)) dt -> 0 ⇒ 0

     1/π ⎧ (2-x) dx ⇒(∫(ln(1 + π x))

  6. ∫ f(x)

  4) I.F. = {a|b, c|d, e|f} —> Fω oppure orologio generabile dai

  seguenti orologi: {a|a, c|c, e|e}, {b|a, f|f}

  A = { {a|c}, {e|b}, {d|f}, {b|d, a|f}, {a|b, c|f}, {a|b

  EVENTI INIZIALI

  SOTTOSTANTI E

  EVENTI INIZIALI

  c|e}, {a|c}, {d|f}, {e|c}, {d|e}, {oa|f, o|c}} {c|f, c|a}}

  UNIONI

  ESPLETAMENTE DELLE UNIONI

  -PROBABILITA': P : P(Ω) —> R

  - Funzione: E —> P(E), tocca (E) soddisfa gli assiomi

  1) P(E) >=0 V E ∈ P(Ω) ASSIOMA DI NON NEGATIVITA'

  2) P(Ω) = 1 ASSIOMA DI NORMALIZZAZIONE

  3) P(E₁ U E₂) = P(E₁) + P(E₂), se E₁ ∧ E₂ = Ø

       ASSIOMA DI ADDITIVITA'

  4) P(E₁ U E₂ U O.E_n) = P(E₁) + P(E₂)...+ P(E_n), E_i ∧ E_j = Ø V i ≠ j

  (Eventi o due a due disgiunti)

  se P(Ω) = σ-algebra, allora:

  P( U ^~ ) =

           ∗^M —> P(E), E ∧ De = Ø V I,t j

  -PROPRIETA' E CONSEGUENZE DELL'ASSIOMI

  1) P(E') = 1 — P(E) (II' assioma)

  - DIM.-0_{EU E' = &-------------------}

  P(&$) ) = 0 (1' assioma)

  = 1 → P(E'U E)

  = = = = P&(E_{U E'}) = 1 —> P(É)=1 - P(E)-

  3) P(A E₁ U E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁ ∧ E₂) ---->

  MOMENTI

  MOMENTO DI ORDINE K RISPETTO AD UN POLO θ:

  μ_k^(θ) = E[(X-θ)^k] =

  • DISCRETO: ∑_i=1^M (x_i-θ)^k p_i
  • CONTINUO: ∫_-∞^+∞ (x-θ)^k f(x) dx

  V = E(X²), k = 2, θ = E(X), →

  DETERMINAZIONE VARIANZA: MOMENTO SECONDO RISPETTO POLO = VALORE ATTESO

  MOMENTO DI ORDINE K RISPETTO AL POLO EULERIANO (θ = E(X)):

  V = E[(X-E(X))²] = ∑_i=1^M (x_i-E(X))² p_i

  → E[x - E(X)] = 0

  • ∫_-∞^+∞ (x-E(X))² f(x) dx

  MOMENTO DI ORDINE K RISPETTO ALL'ORIGINE (θ = 0):

  μ_k^(o) = E(X^k) =

  • DISCRETO: ∑_i=1^M x_i^k p_i
  • CONTINUO: ∫_-∞^+∞ x^k f(x) dx

  k=1

  μ₁^(o) = E(X) =

  • ∑_i=1^M x_i p_i
  • ∫_-∞^+∞ x f(x) dx

  → VALORE ATTESO = MOMENTO PRIMO RISPETTO ALL'ORIGINE

  k=2

  μ₂^(o) = E(X²) =

  • ∑_i=1^M x_i² p_i
  • ∫_-∞^+∞ x² f(x) dx

  FORMULA RIDOTTA VARIANZA: σ²(X) = E(X²) - E²(X)

  → σ²(X) = μ₂^(o) - (μ₁^(o))² → MOMENTO PRIMO = QUADRATO DEI MOMENTI PRIMI

  4 Domande Brevi

  1. P(X ≤ 1/5) = \(\frac{Q}{Q_1} = n \cdot \frac{9}{1 - \mu }^3 + \frac{3}{J_1 (8!)} = p^n (1 - \frac{1}{x^n - \mu})^8 = 1 / 81\)

  2. 1. \(\int f(x|t) dx = G(t|xt) / (\underline{Ind___})\)

     2. \(f(x / t = 2x) \rightarrow t = t / 2x \rightarrow x = t / 2 \rightarrow dx = \frac{1}{2} dt\)

  3. \(\int_{\frac{1}{2}}^{_1} f(t) dt \rightarrow 1 \int_{\frac{1}{2}}^1 f(t) dt \rightarrow 1 / 2 ( \underline{6_ex}) + x_i\)

  4. P(1 | B \cap A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{P(x_1)}{P(A)} = 2 - 1

  \(p(A | B^1 ) = \frac{P(A \cap B^1 )}{P(B^1)} \rightarrow \frac{P(A^x)}{P(A)} \rightarrow \frac{P(A^x)}{P(A)}\)

  4. f(x|x) = \int f(x)\cdot x f(x | x) dx = \int\frac{1}{x}f(x | x) x dx

  \(\mu_3 (x_i) = \sum_{k = 0}^{3} \binom{3}{k} x^3 \cdot \mu_3 \rightarrow 8 - 9x - 24 + 9 + \alpha^2 - 9f + 1 + x^3 + \alpha x^0^3\)

  Domande Aperte

  2. P(A | B ) = 0.3

     P(A | B^1 ) = P(A / B_1 ) = \frac{P(A | B)}{P(A | B )} = 1 - f (A | B^1 ) - f_1 \cdot \frac{3}{24}