Fondazioni

II – OPERE DI SOSTEGNO

Anche in questo caso la prima verifica che si fa è quella di valutare le condizioni di equilibrio

limite; non ha significato l’equilibrio alle forze verticali, quindi rimangono due equazioni. Per

prima cosa devo determinare quanto infilare quest’opera nel terreno in modo che fornisca una

reazione tale da garantire stabilità nei confronti della spinta del terreno stesso. Alle volte queste

opere trovano un ulteriore contributo alla stabilità attraverso l’inserimento di tiranti di anco-

raggio, che hanno lo scopo di limitare i momenti flettenti che possono sorgere. Oltre a valutare

l’equilibrio limite, è necessario anche valutare se l’opera è in grado di garantire il meccanismo

di trasferimento fra azione stabilizzante e resistente, cioè devo fare una verifica strutturale.

Quando il terreno si espande basta una piccola rotazione perché si crei un meccanismo plastico

di tipo attivo. Al piede della paratia, affinché si sviluppi completamente la capacità di resistenza

passiva del terreno è necessario che ci siano degli spostamenti portanti (grandi). Le NTC 2008

per le paratie prevedono verifiche sia agli SLE che agli SLU.

COMPORTAMENTO DEL TERRENO IN CONDIZIONI DI ROTTURA

Le prove triassiali si dividono in prove che misurano la resistenza al taglio in condizioni

drenate e consolidate o non drenate e non consolidate. Ho quindi vari casi. Analizzo il caso in

cui nel terreno non sia presente la falda, quindi il caso di terreno secco.

Ho un diagramma sforzo deformazione del tipo in figura.

Argilla nc o sabbia sciolta Argilla oc o sabbia densa

= +

s q

Con parte sferica e deviatore: 0 0

1

0 0

= � �

2

0 0

3

0

12 13

0

= � �

21 23

0

31 32

38 II – OPERE DI SOSTEGNO

Se ho un’argilla nc o una sabbia sciolta la rottura avviene lungo più piani caratterizzati dal mas-

simo stato di sforzo (superfici a taglio diffuse). In un’argilla oc (compatta) o una sabbia densa

la rottura avviene in modo netto e il sistema si comporta come due corpi rigidi che scorrono

l’uno sull’altro (unica superficie di taglio).

Su questi schemi di rottura sono stati proposti due modelli di comportamento del ter-

reno: il modello di Rankine e il modello di Coulomb.

Modello di Rankine

Nel modello di Rankine si ipotizza che il terreno si rompa come se fosse un’argilla nc.

Rankine ha esaminato il terreno considerandolo un mezzo omogeneo ed isotropo, costituito da

un materiale incoerente di cui si conosce la legge costitutiva.

′

∙ tan

=

z

Immagina di isolare un volume di terreno fino ad una certa profondità . La tensione verticale

è: = ∙

z k

La tensione orizzontale alla quota è proporzionale a secondo un coefficiente indipen-

0

z

dente da e minore di 1: = ∙

ℎ 0

Per ragioni di simmetria, sia la che la sono tensioni principali e quindi le posso rappre-

ℎ

sentare nel piano di Mohr: = =

1 3 ℎ

Immagino che vi siano due piani (verticale ed orizzontale) e che traslino orizzontalmente. 39

II – OPERE DI SOSTEGNO

Ciò che succede è che la non varia durante questo processo, ma varia solo la . Rankine

1 3

immagina che vi sia un meccanismo di spostamento tale per cui il terreno si deformi e una volta

arrivato a rottura continui a deformarsi senza variare lo stato tensionale. In questa situazione

è possibile definire una condizione in cui si ha la rottura del terreno per espansione orizzontale,

⁄

cioè sono in condizioni di spinta attiva. Posso definire il rapporto a rottura:

3 1

′

1 − sin

3 = ′

1 + sin

1

k

Dove , il coefficiente di spinta attiva, è definito come:

a ′ ′

1 − sin

2

= = tan �45° − �

′

1 + sin 2

Da cui ricavo: ′

2

= = ∙ tan �45° − � = ∙

3 ℎ

2 ′ ⁄

Al momento della rottura le famiglie di piani sono inclinate di 45° + 2 rispetto all’orizzon-

′

tale. Siccome siamo in un terreno incoerente, ho che 30° < < 45°; allora:

= (0.33 ÷ 0.17)

ℎ

Rankine cerca di determinare la spinta del terreno su un muro di sostegno immaginando che

dietro al muro avvenga un fenomeno di espansione fino alla rottura del terreno. Le ipotesi su

cui si basa questa teoria sono:

Terreno omogeneo ed isotropo;

 Superficie del terreno orizzontale;

 τ

Parete del muro verticale e liscia (non considero l’attrito, se ci fosse nascerebbe , per

 cui e non sarebbero principali);

ℎ

Terreno incoerente;

 ′

Legge costitutiva = ∙ tan .



P

La spinta attiva di Rankine, cioè la spinta del terreno sul muro di sostegno, è:

a 1 2

= ∙ ∙ ∙

2

= ∙ = ∙ ∙

ℎ

40 II – OPERE DI SOSTEGNO

Rankine immagina ci sia un meccanismo di rotazione del muro per effetto del quale la zona di

terreno che va a rottura è confinata da una superficie inclinata di 45° + ′ ⁄ 2 che rappresenta

il cuneo di spinta. ′

45° + 2

La spinta attiva tende a far ribaltare il muro di sostegno. Questa condizione di rottura del ter-

reno avviene per piccolissime deformazioni del terreno.

Cosa succede se i due piani ideali con cui taglio il terreno si avvicinassero tra loro

rimane costante, mentre la varia; essa au-

creando una situazione di compressione? La

1 3

menta superando la e arrivando a rottura per compressione, cioè sono in condizioni di spinta

1

passiva.

Quindi la è la tensione principale maggiore. Si dimostra che:

3 ′

1 + sin

= = ∙ = ∙

3 ℎ 1 1

′

1 − sin

Dove il coefficiente di spinta passiva è pari a:

′ ′

1 + sin 1

2

= = tan �45° + � =

′

1 − sin 2

′

Ad esempio, con un angolo = 30° ho che:

1

Spinta attiva: = � → <

 3

ℎ ℎ

Spinta passiva: = 3 → >

 ℎ ℎ

Quando un muro di sostegno subisce una spinta passiva? Il muro deformandosi esercita una

forza di compressione sul terreno, allora esso subisce una spinta passiva. Bisogna pur tener

conto del fatto che per mobilizzare la spinta passiva sono necessari spostamenti grandi. In que-

′ ⁄

sto caso di meccanismo passivo le superfici di rottura sono inclinate di 45° − 2 rispetto

k k

all’orizzontale. Come si evince dai valori di e , il gradiente di crescita della spinta passiva è

p a 41

II – OPERE DI SOSTEGNO

molto maggiore di quello della spinta attiva. Quindi, a parità di condizioni al contorno, alla me-

desima profondità la spinta passiva è molto maggiore di quella attiva.

Modello di Coulomb

Il secondo modello studiato è quello di Coulomb. Lo utilizzo per risolvere dei problemi

di spinta su muri di sostegno quando il paramento del muro o il terreno è inclinato o quando

l’attrito muro-terreno non è trascurabile. Il terreno è sempre incoerente con criterio di rottura

classico e con comportamento sforzo-deformazione elastico perfettamente plastico.

α

Il paramento del muro è inclinato di rispetto all’orizzontale, il terreno sostenuto dal muro ha

β δ δ=0

inclinazione e l’angolo di attrito muro-terreno è pari a (se il muro è liscio). Coulomb

immagina che sul muro spinga un cuneo di terreno che scorre sulla superficie inclinata BC.

P δ

inclinata di rispetto alla normale al muro per via dell’attrito. Le

Il muro offre una resistenza

forze in gioco sono di due tipi: quelle che tendono a far scorrere il prisma e quelle che tendono

a trattenerlo. La superficie di scorrimento BC è scelta arbitrariamente, sapendo che su di essa

′

si sviluppa una resistenza al taglio pari a = ∙ tan .

Le forze che si individuano sono: ′

Q

: risultante delle forze di attrito interno lungo la superficie di scorrimento (conosco

 solo la direzione);

G

: peso del prisma del terreno (note direzione e modulo);

 P : reazione del muro sul terreno, cioè l’attrito tra terreno e muro (nota la direzione).

 Q P G

Ho due forze ribaltanti ( e ) e una stabilizzante ( ): impongo che siano in equilibrio.

42 II – OPERE DI SOSTEGNO

P

Risolvendo il poligono delle forze trovo un certo valore di che è funzione dell’inclinazione

(

ipotizzata della superficie di rottura. Se cambio inclinazione − − ) trovo un nuovo valore

P P P

. Coulomb indica come spinta attiva del cuneo di terreno sul muro la massima. Quindi

di a

P P P

deve essere ricercata per tentativi. So che è uguale e contraria alla spinta attiva ; l’espres-

a a

sione analitica delle spinta attiva è: 1

2

= = ∙ ∙ ∙

2 sin ∙ cos

Se = 90° (paramento verticale), = 0 e = 0 (muro liscio) trovo la spinta attiva di Rankine.

Se invece sono diversi da zero, trovo che: 2 ( + ) ∙ cos

sin

=

2

sin( + ) ∙ sin( − )

�

sin ∙ sin( − ) �1 + �

sin( − ) ∙ sin( + )

Analogo ragionamento viene fatto quando il muro spinge contro il terreno, cioè mi trovo

P

in condizioni di spinta passiva. In questo caso la si inverte di verso, lo scorrim