Appunti Fondazioni

INTERAZIONE STRUTTURA FONDAZIONE - TERRENO

L’interazione in questo caso avviene tra sovrastruttura e terreno. Per studiarla si

preferisce ricorrere a delle situazioni estreme entro le quali deve essere

compresa la situazione reale.

che schematizza l’edificio soggetto sia ai pesi propri che

Consideriamo un telaio

ai sovraccarichi variabili (che possono essere combinati in vari modi).

Il progettista idealmente considera solo la struttura come se fosse vincolata ai

piedi dei pilastri (appoggi non cedevoli), esplora le diverse condizioni di carico,

analizzando le azioni e fornisce ai progettisti delle fondazioni le azioni agenti

alla base Rj. La prassi usuale è prendere queste azioni ribaltandole e

considerandole agenti sulla base di fondazione, calcolandosi i diagrammi di

momenti e taglio che sollecitano la trave.

Per vedere se questi carichi arrivano effettivamente in fondazione, studiamo

l’interazione terreno-struttura. Partiamo da uno schema reale, che comprende

una struttura con relativi carichi che poggia su una fondazione. Questo può

essere scomposto in due schemi equivalenti, perché consente di evidenziare

alcuni aspetti importanti.

Lo schema (1) è del tutto analogo a quello reale con relativi carichi, ma ci sono

dei vincoli (non cedevoli) posti sotto la trave in corrispondenza dei pilastri

(metodo dei vincoli ausiliari), introdotti per studiare più facilmente il modello,

che andranno poi rimossi inserendo gli effetti uguali e contrari che tali vincoli

provocano. La trave in questo caso resta del tutto inerte, perché non ci sono

cedimenti differenziali nella struttura (vincoli non cedevoli). Risolvendo la

struttura si troverebbero delle reazioni Rj analoghe a quelle trovate dallo

strutturista.

Si rimuovono tali vincoli, considerando lo schema (2) con stesse caratteristiche

di rigidezza di (1), ma l’edificio viene considerato privo di peso e senza

sovraccarichi (diversamente ci sarebbero i valori raddoppiati di carichi e pesi

nella realtà).

Per rimuovere l’effetto dei vincoli si inseriscono delle forze concentrate in (2)

che sono uguali e contrarie a quelle fornite dai vincoli (-Rj). Così facendo

sommando è come se eliminassimo i vincoli.

Cosa succede sullo schema (2)?

Quando una forza si applica in un nodo dove convergono diverse membrature,

la forza si scompone, sollecitando proporzionalmente le membrature in base alla

propria rigidezza.

Si separano le due parti di cui si vuole studiare l’interazione (sovrastruttura e

fondazione) e si applicano le forze sollecitanti. Una parte delle azioni

R nel nodo vanno a

deformare la struttura

(indicate con Zj), la

rimanente parte

sollecita la struttura di

fondazione (Xj). In

ogni nodo ci deve

essere l’equilibrio: la

somma delle Zj e Xj

deve fornire le -Rj.

Le Zj agiscono su una struttura senza carichi e peso; pertanto, la loro somma

deve dare zero. Queste forze sono quelle necessarie a deformare la struttura

scarica. Quando si ha a che fare con forze che nascono solo da deformazioni

della struttura si hanno forze di coazione. La loro proprietà è che tutte queste

forze devono essere auto-equilibrate, perché la risultante è nulla. Questo porta

come conseguenza che la risultante di tutte le Rj (che danno equilibrio alla

struttura con peso e carichi) coincide con le Xj che vanno in fondazione.

Sostanzialmente le Xj sono diverse dalle Rj, perché le Zj comunque compaiono,

ma senza modificare la posizione della risultante.

Per studiare il problema, e per imporre equilibrio e congruenza, si fa ricorso alle

L’obiettivo è scrivere delle equazioni di

matrici di rigidezza. congruenza dove i

cedimenti della struttura eguaglino quelli del loro punto corrispondente di

attacco che si trova in fondazione. Immaginiamo di poter scrivere le due matrici

di rigidezza che caratterizzano il sistema:

D sarebbe una matrice quadrata 5x5, poiché ci sono 5 nodi.

La fondazione poggia sul terreno, risentendo di entrambe le rigidezze (terreno e

struttura). La matrice relativa alla fondazione viene chiamata F e ha dimensione

5x5.

Per studiare il loro significato fisico, studiamo la matrice D della sovrastruttura:

il coefficiente si ricava

in maniera simile e

duale a quello di

influenza. Si impone lo

spostamento unitario

nel nodo (yi) e si

ipotizzano delle forze

che tengono gli altri

nodi bloccati (yk),

quindi ci saranno

spostamenti nulli negli

altri nodi.

Così facendo con l’applicazione dello spostamento unitario nascono delle forze

in tutti gli altri nodi, che corrispondono alle Zj e rappresentano i termini Dji

della matrice di rigidezza.

Lo stesso ragionamento vale per la fondazione (trave che poggia sul terreno):

Ipotizziamo di non essere in grado di determinare tali matrici:

Avendo queste matrici è chiaro che le forze cercate (Zj e Xj) posso essere scritte

facilmente in funzione delle incognite (cedimenti che subiscono i nodi). yi è un

vettore 5x1 e rappresenta gli spostamenti dei singoli nodi.

Sostituendo le equazioni di Zj e Xj nell’equazione:

Si ottiene la seguente equazione per ogni nodo in cui è inglobato sia l’equilibrio

che la congruenza espressi in funzione degli spostamenti:

nel caso in esame si avrebbero 5

equazioni in 5 incognite. Si risolve il

sistema e si trovano gli spostamenti. Si

devono trovare le Xj, cioè vedere come,

per effetto dei cedimenti differenziali, le

reazioni dei pilastri non siano più quelle

fornite dallo strutturista (Rj), ma siano

modificate dalla ridistribuzione prodotta

dagli sforzi di coazione che nascono in

una struttura.

Questo è l’approccio matematico che consente di risolvere il problema di

interazione, ammesso di saper calcolare con la dovuta precisione i valori della

matrice di rigidezza.

Ragioniamo sulla matrice di rigidezza della fondazione:

Nel caso in esame, quali sono le 5 reazioni incognite che provocano yi=1 e

mantengono tutti gli altri nodi uguali a zero? Per il terreno si utilizza il modello

Winkler, poiché è quello più semplice e idoneo a calcolare le sollecitazioni

interne quando i carichi sono puntuali. Ma risolvere questo problema con le

equazioni di Winkler non è molto agevole.

Ribaltando il problema, tornando a una teoria simile a quella dei coefficienti di

influenza la soluzione diventa decisamente più semplice.

Facendo l’inverso di una matrice di rigidezza si ottiene la matrice di

cedevolezza. Essa è composta da coefficienti Cji che hanno il significato fisico

uguale a quello dei coefficienti di influenza, cioè il generico termine rappresenta

l’abbassamento del nodo j-esimo quando si impone una forza unitaria in tale

nodo tenendo scarichi tutti gli altri. Si tratta di risolvere una trave appoggiata su

un suolo con modello Winkler, su cui agisce un solo carico unitario in un nodo,

cercando gli spostamenti si determinano 5 dei 25 coefficienti della matrice di

rigidezza. Essendo simmetrica ne basterà determinare solo la metà. Una volta

costruita la matrice C basterà invertirla per trovare quella di rigidezza F.

La matrice più difficile da realizzare è quella della sovrastruttura (Dji), perché è

in genere un telaio piano e rappresenta SOLO la struttura portante (cioè

l’ossatura) dell’edificio, non vengono prese in considerazione tutte le

costruzioni accessorie (tamponamenti esterni, divisori, scale, ecc.) che sono

delle strutture piane dotate di estrema rigidezza sul loro piano agendo di taglio

(verticalmente) e comportandosi da irrigidenti. È inevitabile che, quando

l’edificio si carica e si deforma, queste strutture entrano in carico andando a

edificio. Per tale motivo non sarà facile

modificare la rigidezza dell’intero

prevedere quale sarà la reale rigidezza dell’edificio (che è quella interessata).

Non esiste una soluzione esatta, perché tutti questi materiali (della struttura e

del terreno) sono dotati di viscosità, cioè i cedimenti evolvono nel tempo.

Anche se le Zj fossero costanti, i cedimenti che si evolvono nel tempo farebbero

sì che queste forze evolvano di conseguenza, con migrazione di sforzi da un

pilastro all’altro.

Per quanto riguarda le sollecitazioni interne (diagrammi di momenti e taglio), il

fatto che ci siano delle migrazioni di forze da un punto all’altro tendono a

modificare i valori di momento flettente e taglio in esercizio, andando a

modificare anche i momenti ultimi della struttura.

senso fare un’analisi così sofisticata se ci sono questo genere di

Non sempre ha

incertezze già dagli elementi di partenza.

La matrice Fji gode solo dell’incognita del K da assegnare al terreno, ma

assegnando un valore che sia circa il 70% del modulo di Young si può

approssimare abbastanza bene la rigidezza del terreno.

Considerate le incertezze, è prassi nel progettare le strutture di fondazione

considerare due situazioni estreme, entro le quali deve esserci la soluzione. Si

considera una struttura con rigidezza nulla (infinitamente flessibile) e una

struttura con rigidezza infinita (assolutamente indeformabile). È evidente che la

situazione reale deve ricadere all’interno di questo intervallo.

Armando e ridimensionando la trave per resistere a entrambe le situazioni limite

(cioè faccio un inviluppo dei momenti e dei tagli in fase di dimensionamento) mi

metto in una condizione di sicurezza. Immaginiamo una

struttura

infinitamente

flessibile.

Qualunque siano

le deformazioni y

imprese, la

struttura le segue

senza opporre

alcuna resistenza.

Le Zj sono

sempre nulle e le

Xj eguagliano le

Rj.

Con le soluzioni di Winkler si determinano i diagrammi di momento e taglio

che corrispondono alla configurazione limite (e li contrassegniamo con il pedice

1). In questa situazione ricadono tutte le strutture isostatiche, perché le X

(reazioni dei vincoli) dipendono unicamente dalle tre equazioni di equilibrio, i

cedimenti non intervengono a modificare la distribuzione dei carichi.

Gli edifici in cemento armato, però sono in generale strutture iperstatiche e la

∞.

situazione 1 non è verificata, la rigidezza sarà intermedia tra 0 e

Questa

configurazione

non è vera per

nessuna struttura,

è solo

un’astrazione.

Siamo vicini a

questa soluzione

limite quando la

rigidezza

dell’edificio

supera di gran

lunga quella del

sistema

fondazionale (strutture molto alte oppure strutture con pannelli portanti).

Ci poniamo nella configurazione limite e la formula della matrice che moltiplica

il vettore degli spostamenti y, per trovare Z non &e