Fondamenti di ingegneria dell'automazione - Appunti

Sistema del secondo ordine

Il sistema del secondo ordine è rappresentato dalla funzione a ciclo aperto:

W(s) = (ω_n²) / (s² + 2ξω_ns + ω_n²)

Risposta al gradino

Per valori di ξ compresi tra 0 e 1 si ha:

• y(t) = 1 - e^-ξω_nt * [sin(ω_n√(1 - ξ²)t + arctan(√(1 - ξ²)/ξ))] * u(t)

Risposta al gradino:

0 ≤ t ≤ 10

Grafico della risposta al gradino:

• Tempo (t): 0, 2, 4, 6, 8, 10
• Risposta (y_u): 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1

Risposta all'impulso

La risposta all'impulso è data da:

• y(t) = e^-ξω_nt * [sin(ω_n√(1 - ξ²)t)] * u(t)

Risposta all'impulso:

0 ≤ t ≤ 10

Grafico della risposta all'impulso:

• Tempo (t): 0, 2, 4, 6, 8, 10
• Risposta (y_d): 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0

Sovraelongazione

La sovraelongazione è calcolata come:

• Sovraelongazione (%) = 100 * e^{-ξπ/√(1-ξ2)}

Grafico della sovraelongazione:

• Sovraelongazione (%): 0, 20, 40, 60, 80, 100
• Fattore di smorzamento (ξ): 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1

Modulo alla risonanza

Il modulo alla risonanza è dato da:

• Mr (dB) = 20log₁₀(1/2ξ√(1-ξ²))

Grafico del modulo alla risonanza:

• Modulo (dB): 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
• Fattore di smorzamento (ξ): 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7

Banda passante a 3 dB

La banda passante a 3 dB è calcolata come:

• B₃ = ω_n√(1-2ξ²+2√(ξ⁴-ξ²+1))

Grafico della banda passante:

• Banda passante (B₃/ω_n): 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6
• Fattore di smorzamento (ξ): 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1

Tempo di salita

Il tempo di salita è stimato come:

• t_s = (π - arctan(√(1-ξ²)/ξ)) / (ω_n√(1-ξ²))

Grafico del tempo di salita:

• Tempo di salita (t_s*ω_n): 5, 10, 15, 20, 25
• Fattore di smorzamento (ξ): 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1

Pulsazione di attraversamento

La pulsazione di attraversamento è determinata da:

• ω_T = ω_n√(1-2ξ²+2√(ξ⁴-ξ²+1))