Fondamenti di Fluidodinamica - teoria e domande

FONDAMENTI DI FLUIDODINAMICA

Disciplina che studia il comportamento di fluidi → liquidi, gas

• Flussi comprimibili
• Flussi incomprimibili
• Flussi viscosi
• Flussi non viscosi

I fluidi sono in genere assimilati a sistemi continui.

• Sono molto deformabili a causa delle modeste forze di attrazione tra le molecole

Tipicamente in un gas si ha d ≫ 10 do

Se le molecole non interagiscono tra loro, nell'ambito della teoria cinetica dei gas, si dice che è un gas perfetto.

Nonostante le "lunghe" distanze tra le molecole di un gas, l'alta densità di queste rende possibile considerare un gas come un sistema continuo.

Quando si lavora con un numero molto elevato di molecole è possibile definire dei vettori (es. velocità molecolare) come medie.

È possibile applicare modelli matematici di riconoscere ad integrazioni e derivate.

Le medie vanno a convergenza statistica, ovvero sono molto vicine al valore reale.

Le variabili della fluidodinamica sono:

• 4 variabili indipendenti → x, y, z, t (3 spazi+ il tempo)
• 6 variabili dipendenti → u, v, w, p, ρ, t (componenti vettore velocità u,v,w) (p) (v)

Stato termodinamico - definibile calcolando alcune variabili.

La temperatura e l'energia cinetica media sono direttamente proporzionali:

E_c= ¹/₂ m ¹/_N Σv_i² dove v_i = velocità di agitazione termica M = massa singola molecola N = N° di molecole

E_c = ³/₂ k_B T dove k_B = costante di Boltzmann

questa definisce fondamentalmente la temperatura.

Densità

= ^m/_v

• m = massa
• v = volume occupato

[kg/m³]

può dipendere sia da che da T.

In generale si definisce comprimibilità di una quantità rispetto a un'altra la derivata parziale della prima rispetto alla seconda.

₁/ /p = ₁/ con = coeff di comprimibilità (i liquidi sono poco, per nulla comprimibili)

-₁/ /T = _ℓ coeff di espansione termica

_ℓ positivo, il segno meno ci informa del fatto che all'aumentare di _ℓ la densità diminuisce.

Pressione

p = ^F_n/_S

• [Pa]
• dove
• F_n = forza normale a una superficie
• S = superficie su cui agisce la forza

- dovuta all'effetto degli urti delle molecole di fluidi nelle pareti interne del contenitore.

Viscosità Dinamica

T_c = ^du/_dy

• = viscosità dinamica [N_s/m²]
• T_c = sforzo di taglio
• du/dy = derivata della velocità lungo y

grandezza fisica che esprime la resistenza di un fluido allo scorrimento.

coefficiente di diffusione della q_ta di moto di un fluido.

Viscosità Cinematica

v = /

• [m²/s]

Nei gas e nei liquidi il rapporto tra viscosità e temperatura è diverso.

• Gas - aumento di T fa aumentare la viscosità
• Liquidi - aumento di T fa diminuire la viscosità

L'effetto di T sulla viscosità nei gas si può esprimere tramite l'equazione di Sutherland:

= ^a₁T/_a2+T dove a₁, a₂ sono costanti empiriche

TENSORI

le grandezze fisiche sono tanto più complesse quanto più alto è l’ordine del tensore che le rappresenta.

• Scalari → numeri → tensore di ordine 0
• Vettori → numeri → tensore di ordine 1
• Matrici → numeri → tensore di ordine 2 (matrici a numeri)

CALCOLO TENSORIALE

(Ricci e Levi-Civita)

eq. di bilancio della fluidodinamica in forma compatta

Tensore diffusione

D

Tensore antisimmetrico

Â

Tensore simmetrico

S

Scomposizione di tensori: parte simmetrica e parte aritmetica (antisimmetrica)

B = 1/2 [B + BT] + 1/2 [B - BT]

simmmetrica - antisimmetrica

DELTA DI KRONECKER → δij

• 1, se i=j
• 0, se i≠j
• tensore diagonale

SIMBOLO DI RICCI → εijk

• 1, se i-j-k = 1-2-3, 2-3-1, 3-1-2 (ciclici)
• 0, se ci sono due indici uguali
• -1, se i-j-k = 3-2-1, 2-1-3, 1-3-2 (non ciclici)

PRODOTTO SCALARE: dati 2 vettori A e B di forma:

il loro prodotto

scalare è dato: A·B = a1b1 + a2b2 + a3b2

→ restituisce uno scalare

PRODOTTO VETTORIALE: dati i 2 vettori A e B di prima:

C = A x B di forma:

d1, d2, d3 = i (a2b3 - a3b2) - j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1)

tale prodotto restituisce un vettore

Mod. 6 - Equazioni di Conservazione

Nello studio della fluidodinamica è molto impiegato il sistema delle equazioni di conservazione.

• Eq. di conservazione della massa (scalare)
• Eq. di conservazione della quantità di moto (vettoriale, 3 eq. scalari)
• Eq. di conservazione dell'energia (scalare)

Vanno quindi risolte 5 eq. di conservazione scalari. Le equazioni di conservazione valgono se il fluido è un mezzo continuo e deformabile.

Per dedurre e risolvere le equazioni di conservazione si procede in 3 fasi:

1. Applicazione del teorema del trasporto di Reynolds
2. Formulazione delle equazioni in forma integrale
3. Formulazione delle equazioni in forma differenziale

Indicata con f(x,t) una generica proprietà del fluido (ad esempio temperatura, ...), l'equazione di conservazione da risolvere è la seguente:

d/dt ∫_V(t) fdV = S_f + F_f + D_f

dove:

• S_f: termine sorgente
• F_f: termine di flusso
• D_f: è un termine di diffusione

VOLUME DI CONTROLLO

È V(t), inteso diverso da volume ipoteticamente isolato.

TEOREMA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS

Da approccio continuo a approccio basato sul volume di controllo.

Per ottenere l'eq. di conservazione dell'energia cinetica è sufficiente

moltiplicare l'eq. di conservazione della qta di moto per la velocità:

dV

e = ( + ∇ ) ∙

Dt

ovvero:

d (f(1/2) + ) e() ₀ + (:∇) ∙

Dt

Prendendo conto che: (∇) ∙ (:) = ∇ ∙ ( ) − ∙ ∇ e sottraendo l'eq. di

conservazione dell'energia cinetica dall'equazione di conservazione dell'energia,

si ottiene l'espressione dell'eq. di conservazione dell'energia interna.

d

Dt = −T:∇ − ∇

Ricordando che ₂ = nu=pfv + a + _{i klm} => :∇ = −∇: + T:∇

pl/u tensioni

devolverei che tangenziali termine

prematela del rappresentativo della fluido forze di muoto viscoso

(l)

=> φ = :∇ funzione di dissipazione

Flusso di calore

l₁i facce a diversa => v=i=p un flusso di calore q

della facciata a piu alta q_qualla con T piu borma

= la ta di calore da foma della ≠

Q = −k ΔT/Δ SΔ

Δ = T − T

Δ = tempo trascurato

Δ = spomante

k = ceoff. di conduzione

S = superficicie della faccita

limitando al limite di→Δ e ad Δ in ala l'espressione del calore

scambiato in forma differenziale:

d = limit lim k ΔT/Δ Δ = − ΔT/Δ S

Δ→0 Δ→0

Per ottenere il flusso di calore si deve dividere per la superficie e derivare

rispetto al tempo

= 1/ = =

−kΔ

Essendo veicolo a tutte le direzioni è possibile esprimere il flusso

di calore in forma vetoriale:

= −k∇

È possibile ora sostituire nell'equazione di conservazione dell'energia:

= . + ∇ ∙ φ − <∇

d = −∇p−V + φ + k∇T

Dt Dt -p∇ + φ + ^k∇

Per const. si ottiene:

d

ϕt = −.Void+ ^k∇T

eq. di conservazione

detell'energia interna