Fondamenti di Automatica - Parte 2

Componenti di controllo

C(s) = k_p (1 + T_Is + ¹/_TDs) Sono applicati a sistemi comuni. Devo portare per tentativi e trovare i 3 parametri. Di fatto sperimentalmente. So cosa emerge e delimito comportanti.

Sistemi a tempo discreto

Sono sistemi che mappano segnali a tempo discreto in segnali a tempo discreto. Un segnale a tempo discreto è una funzione f: N → IRⁿ.

Sistemi LTI

Nel caso di sistemi LTI, si hanno rappresentazioni del tutto simili a quanto visto per il caso tempo continuo:

1. I/O

   y(t) = a₁ y(t-1) + ... → y(t-k) + b₀u(t) + b₁u(t-1) + ... b_nu(t-n)

2. Sistema I/S/O

   {x(t+1) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) t ∈ N}

I sistemi a tempo-discreto sono utili per:

• Studiare sistemi in cui t intervallo ∈ N. Es. x(t+1) = x(1) + u(t) {soldi in banca si aggiungono periodicamente}
• Sistemi di controllo digitale {vanno distinti regolatori del clock}

Trasformata Z

Introduciamo una trasformata Z che da un'equazione alle differenze la trasforma in un'equazione di tipo algebrico.

C(s) = k_p (1 + T_Is + ¹/_Tfs) Sono applicabili a sistemi continui. Deve portare per tentativi e trovare i 3 parametri. Il tutto sperimentalmente. So cosa emerge eliminato comportante.

Sistemi a tempo discreto

Sono sistemi che mappano segnali a tempo discreto in segnali a tempo discreto. Un segnale a tempo discreto è una funzione f: IN → IRⁿ.

Sistemi LTI

Nel caso di sistemi LTI, si hanno rappresentazioni del tutto simili a quanto visto per il caso tempo continuo:

1. I/O

   y(t) = a₁ y(t-1) + ... + a_h y(t-h) + b₀ u(t) + b₁ u(t-1) + ... + b_h u(t-h)

2. Sistema I/S/O

   { x(t+1) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) t ∈ IN }

I sistemi a tempo discreto sono utili per:

• Studiare sistemi in cui t assume ∈ IN, ad esempio, x(t+1) = x(t) + u(t) soldi in banca: si aggiorna periodicamente
• Sistemi di controllo digitale (diagram) ci p verrà distinto aggiornato del clock

Trasformata zeta

Dato un segnale f:IN→IR, si definisce trasformata zeta di f:

F(z) = ∑_k=0^∞ f(k)z^-k z ∈ C

La trasformata F(z) è ben definita per tutti i valori di z ∈ C per cui la serie converge. Se invece f:IN→IRⁿ, allora F(z) è anch’essa a valori vettoriali, in cui l’i-esimo elemento in F(z) è la trasformata zeta dell’i-esimo elemento di f(1).

Proprietà

1. Linearità: dati due segnali f:IN→IRⁿ, g:IN→IR^m e due matrici M e N di opportune dimensioni,

   F{Mf(k) + Ng(k)} = M F(z) + N G(z)

2. Anticipo temporale: Data una funzione f:IN→IRⁿ e una funzione g:IN→IRⁿ tale che g(k)=f(k+1) ∀ k ≥ 0, allora

   F{g(k)} = G(z) = z [ F(z) - f(0)]

   Si verifica banalmente: G(z) = ∑_k=0^∞g(k)z^-k = ∑_k=0^∞f(k+1)z^-k = z ∑_k=0^∞f(k+1)z^-k-1= z [∑_k=0^∞f(k)z^-k - f(0)]= z [F(z) - f(0)]

3. Trasformata impulso isolato

   F{δ(k)} = 1 δ(k) = {1  k =0 0  k >0}

4. Trasformata d⁺

   Dato f(k) = √λ^k k ∈ IN con λ ∈ C si ha

   F{√λ^k} = z / (z - λ)

   Verifica con la definizione: F{f(k)} = ∑_k=0^∞√λ^kz^-k = ∑_k=0^∞(λ / z)^k = 1 / (1 - λ / z) = z / (z - λ)

La trasformata zeta permette di trasformare equazioni alle differenze in equazioni 'algebriche' che coinvolgono funzioni razionali di z. Queste funzioni possono essere scritte mediante decomposizione in fratti.

Modalità e stabilità dei sistemi LTI-TD

Analisi Modale e Stabilità Sistemi LTI-TD k C N Applica e la trasforma zeta usando la pop delimit. e si vieta tempiovvero versando. Equivalso neppe nel teninio zeta omolo:

1. La risposta si domicatura in libera e ?.La propro