Fondamenti di Automatica - Parte 2

C(s) = k_p (1 + T_Ds + 1/T_Is)

• Sono applicati a sistemi comuni
• Devo portare per le vie unitarie i 3 parametri. Li trovo sperimentalmente.
• Se conosco, annullare elementi comportanti.

Sistemi a Tempo Discreto

Sono sistemi che mappano segnali a tempo discreto in segnali a tempo discreto.

Un segnale a tempo discreto è una funzione f: ℕ → ℝⁿ

Nel caso di sistemi LTI, si hanno rappresentazioni del tutto simili a quanto visto per il caso tempo continuo:

1. I/O
   • y(t) = a₁ y(t-1) + ... + a_n y(t-N) + b₀ u(t) + b₁ u(t-1) + ... + b_m u(t-m)
2. S/IO
   • x(t+1) = A x(t) + B u(t)
   • y(t) = C x(t) + D u(t)
   • t ∈ ℕ

I sistemi a tempo discreto sono utili per:

1. Studiare sistemi in cui t intende +ℕ.
   • es. x(t+1)= x(t) + u(t) solari in banca, si aggiornano periodicamente
2. Sistemi di controllo di digitale
   • vanno ad istanti agganciati del clock

Introduciamo una trasformata Z che risolve le differenze e si trasforma in un eq. di tipo algebrico

Trasformata Zeta

Dato un segnale f: ℕ → ℝ, si definisce trasformata zeta di f

ℒ{_k=0^∞ f(k) z^-k = F(z) = ∑ f(k) z^-k

La trasformata F(z) è ben definita per tutti i valori di z ∈ ℂ per cui la serie converge.

Se invece f: ℕ → ℝⁿ, allora F(z) è anch'essa a valori vettoriali.

Dove il l-esimo elemento di F(z) è la trasformata zeta dell'esimo elemento di f(l), ℒ{ f_l(k) }

Alcune proprietà:

1. Lineare: dati due segnali f: ℕ → ℝⁿ, g: ℕ → ℝ^m e due matrici M ∈ ℝ di opportune dimensioni,

ℒ{ M f(k) + N g(k) } = M F(z) + N G(z)

2. Anticipo temporale: Data una funzione f: ℕ → ℝⁿ ed una funzione g: ℕ → ℝⁿ tale che g(k) = f(k+1) ∀ k ≥ 0, allora

ℒ{ g(k) } = G(z) = z [F(z) - f(0)]

Si verifica banalmente

G(z) = ∑ g(k) z^-k = ∑ f(k+1) z^-k = z ∑ f(k+a) z^-k-1

= z [ ∑ f(k) z^-k - f(0) ]

(F(z))

3. Trasformata impulso discreto δ(f)

δ(k) = { 1 k = 0, 0 k > 0 }

ℒ{ δ(k) } = 1

4. Trasformata di λ^k

Dato f(k) = λ^k k ∈ ℕ con λ ∈ ℂ si ha

ℒ{ f(k) } = z / (z - λ)

Verifica con la definizione

ℒ{ f(k) } = ∑ z^-ℓ λ^k z^-k = ∑ (λ/z) = 1 / {1 - (λ/z)}

= z / (z - λ)

Esempio

x₁(k+1) = (0.5 2) x₁(k+1) + (1) u(k) t ∈ ℕ                            1y(k) = (1 -0) x(k) u(k)

|||₁, 0.5 e z₂ = 1 uns b_i, |λ| = 1

• Z = (z+1)/(z-0.5)(z-1)

• Il system non è BIBO (|λ| ≥ 1)

(x₁(k+1) = 0.5 x₁(k) + x₂(1) x₂(k+1) = x₁(1)

x₂(k+2) = 0.5 [ 0.5 x₁(k+1) + x₂(0) ] + 2 x₂(0) = 0.5 2 x₁(k+1) + 3 x₂(0)

E è un integratore

• Il system non è BIBO, infatto segli unto u(k) ≠ 1

Ω(z) = (z)/(z - 1)

Y(z) = (z (z+1))/(z-0.5)(z-1)→ rimuove la multiplicità del polo in z = +1

Osupirismo nel tempo i signify 0.5 > 1 → integrale di 1

Tecniche di Invarianza alla Risposta

Non lavorano con un'approssimazione ma garantiscono U = U* per classi specifiche di segnali in ingresso.

Invarianza all'Impulso

U*(s) = C*(s) E(s) = C*(s) 1 quindi

questo per un controllore a TC.Per il controllore a TD ho:

U(z) = C(z) quindi u(kT) = L^-1{C(z)}

stesso imponendo u(kT) = u*(kT) ho:

L^-1{C(z)} = L^-1{C*(s)} _t=kT

quindi C(z) = Z{L^-1{C*(s)} _t=kT}

= Z{u*(kT)} =

= ^∞∑_k=0

U^{* (kT)}Z^-kper cui questa tecnica viene classificata come "tecnica risposta zero".Una proprietà di questa tecnica è che i poli β di C*(s) sono mappati in poli z = e^βT di C(z).

Invarianza a Gradino

u(t) = u_a(1)

U^*(s) = C^{*(s) 1} _s → u*(kT) = L^-1{C^{*(s) 1} _s}

Per controllori a TD

U(z) = C(z) ^Z _Z-1 → u(kT) = Z^-1{C(z) | ^Z _Z-1}

ottengo imponendo l'equivalenza fra due segnali:

C(z) = ^Z-1 _ZZ{L^-1{C^*(s)} ¹ _s} _t=kT

Questa tecnica equivale a spiegare come C(z) è il sistema a due campioni questo da C*(s) con ingresso ZOH.

2) M₄ = (2,3 -1,25, mφ)

H_∞ = 40

L(s) = 18·C'(s)·P(s)

L'(s) = ^{6 y (s+10)}/_{3s(s² + 2s + 3)}

L(s) = ¹/_{(s+1)(s+2)(s+3)}

L_ω=1 = ^6·1j+10/_1+2+3! = -26,5dB

L_ω=ω1 = L_10+3j - L_j - L_(2+2j) = 0,25 → -14d^!

14·1 - L_0,25

L_ω = L_10+3j - L_j - L_(2+2j) = 0,25(sub>) -14^!

mφ = L(iω₁) + L'(iω_3·1) + 180 ≥ 48°

→ L'(iω₁) ≥ 12°

|L^!_!8 + 1 C'(iω_1·18)| = 0 →

1 C'(iω_1·18) ≈ -26,5dB

Uso rete attenuatrice + anticipatrice

C_ANT = (1 + 7s)/(1+3y/ms)

Cerco di guadagnare più di 12° precisazione ho la rete anticipatrice

Cerco di non posizionarmi sul picco sv melle sin 3x

Sostgo ω_T = 0,7 → +3dBm = 4 → +25°

Rete anticipatrice

Φ ≳ -13° (25-12)

|| ≱ 30dB (27+3)

C_ATT (1+7y/ms)

/(1+7p)

30dB

e , tratto , divrue uscirre 2

2.4

Vogivo aucunere a rx sul picco

ω₂ = 100 (scelta soluta)

m=6

|L| = -15dB (1.2)

L! = -3° (1.2)

C_ATT = ^(1+100(6,5)/_{(1+100) · s²}

1 uso in sxpptta(expo poxxih delle PdT)