Fondamenti di Automatica, Modelli

SISTEMI DINAMICI, modellistica, analisi e controllo

Benvenuti, De Santis, Farinaemail: luca.benvenuti@uniroma1.itufficio: via Ariosto

Modellistica

Fare un modello vuol dire riprodurre un dato su scala scelta individualmente. Questi dati sono fenomeni naturali/artificiali dinamici che presentano regolarità ricorrenti nel fine di individuare il futuro più prossimo. Questi modelli sono matematici: utilizziamo le equazioni differenziali e le equazioni alle differenze.

Oss i fenomeni che si studiano devono essere uniformi al fine che funzionino sempre.

Oss oltre a studiare i fenomeni, studio le cause che hanno come effetto tali fenomeni. (per capire quando sto in imminente) => IPOTESI DI CASUALITÀ

Nota ricorda che i primi eventi che si verificano sono le cause!

Il fine dello studio dei fenomeni e':- prevedere il futuro- comprenderli- controllarli

SISTEMI DINAMICI, modellistica, analisi e controllo

Benvenuti, De Santis, Farina

email: luca.benvenuti@uniroma1.it

ufficio: via Ariosto

Modellistica

Fare un modello vuol dire riprodurre un dato su scala scelta individualmente. Questi dati sono fenomeni naturali/artificiali/dinamici che presentano regolarità ricorrenti nel fine di individuare il futuro più prossimo.

Questi modelli sono MATEMATICI: utilizziamo le equazioni differenziali e le equazioni alle differenze.

Oss i fenomeni che si studiamo devono essere uniformi al fine che funzioni sempre.

Oss oltre a studiare i fenomeni, studio le cause che hanno come effetto tali fenomeni: (per capire quando sto in imminente) => 'IPOTESI DI CASUALITÀ'

Nota ricorda che i primi eventi che si verificano sono le cause!

I fini dello studio dei fenomeni è:

• prevedere il futuro
• comprenderli
• controllarli

I modelli che studieremo sono:

• FORMALI / matematici;
• FUNZIONALI (senza eccedere nel dettaglio);
• PARZIALI (a secondo dell'uso che vogliamo adottare, tralasciamo i dettagli meno utili in merito).

esempi:

1. Modello per vedere la variazione di posizione quando cade un oggetto da fermo:

F = m·a => F = m·g

a = g => ^d_i/_d^t = g

Trascuro l'attrito dell'aria e do per certo l'utilizzo di F = m·a

^d/_d^t = g => (t) = gt + (0) = gt

Il modello è valido in una porzione limitata di tempo (modello parziale e quantitativo)

2. Modello di Maltus (sulle popolazioni)

m(K) = numerosità della popol. nel K anno ha fatto il rapporto: m(K+1)/m(K) ≈ α > 1

ossia c'è un incremento fisso negli anni

tale che:

m(K + 1) = α m(K)

(_{equazione alle differenze})

( K + 1 ) - m(K) = ( α - 1 ) m(K)

simile al rapporto incrementale

con incremento 1

=> m(K) = m(0) α^K

La produzione di beni materiali è:

p(K + 1) = p(K) + β con β > 0

p(K + 1) - p(K) = β

-> p(K) = p(0) + β K

La distribuzione dei beni procapite è il

rapporto tra p(K) e m(K):

p(K) = p(0) + β K

m(K) = m(0) α^K

Da ciò possiamo vedere :

• la parzialità del modello (α e β sono medie e con β reale)
• non è a fine quantitativo, ma solo qualitativo (non si sa il K preciso)
• non è un modello uniforme (α varia al mutare di m(K))

Metodologia della modellistica

esempio

Vogliamo costruire un modello sulla popolazione italiana nel k-esimo anno

x(k): popolazione italiana

Dati:

• a se ne va all'estero
• 1000
• La popolazione italiana nel mondo é cost

Differenzio due popolazioni, all'interno delle quali le persone sono tra loro UNIFORMI:

modello grafico

• x₁(k)

• x₂(k)

modello matematico

• x₁(k+1) = x₁(k) - ¹⁄₁₀₀₀ x₁(k) = ⁹⁹⁹⁄₁₀₀₀ x₁(k)
• x₂(k+1) = x₂(k) + ¹⁄₁₀₀₀ x₁(k)

Sistema di equazioni alle differenze

1. x₁(k+1) = ⁹⁹⁹⁄₁₀₀₀ x₁(k)
2. x₂(k+1) = ¹⁄₁₀₀₀ x₁(k) + x₂(k)

Nota i sistemi e le equazioni che incontriamo sono SOLO lineari a coefficienti costanti

Il mo