Fondamenti di Automatica, Modelli

SISTEMI DINAMICI, modellistica, analisi e controllo - Benvenuti, De Santis, Farina

email: luca.benvenuti @uniroma1.it ufficio: via Ariosto

Modellistica

Fare un modello vuol dire riprodurre un dato su scala scelta individualmente. Questi dati sono fenomeni naturali/artificiali dinamici che presentano regolarità ricorrenti nel fine di individuare il futuro più prossimo. Questi modelli sono MATEMATICI: utilizzeremo le equazioni differenziali e le equazioni alle differenze.

Oss i fenomeni che si studiano devono essere uniformi al fine che funzionino sempre.

Oss oltre a studiare i fenomeni, studio le cause che hanno come effetto tali fenomeni (per capire quando sto in imminente) → IPOTESI DI CASUALITÀ

Nota ricorda che i primi eventi che si verificano sono le cause!

Il fine dello studio dei fenomeni è:

• prevedere il futuro
• comprenderli
• controllarli

I modelli che studieremo sono:

• FORMALI / matematici;
• FUNZIONALI (senza eccedere nel dettaglio);
• PARZIALI (a secondo dell’uso che vogliamo adottare, tralasciamo i dettagli meno utili in merito).

Esempi:

1. Modello per vedere la variazione di posizione quando cade un oggetto da fermo:

   F = m ⋅ a => F = m ⋅ g

   a = g => ^du/_dt = g

   Trascuro l'attrito dell'aria e do per certo l'utilizzo di F = m ⋅ a

   ^du/_dt = g => u(t) = gt + u(0) = gt

   Il modello è valido in una porzione limitata di tempo (modello parziale e quantitativo)

2. Modello di Malthus (sulle popolazioni)

   m(K) = numerosità della popol. nel K anno

   ha detto il rapporto: ^m(K+1)/_m(K) ≈ α > 1

Il modello è soggetto alla decisione di chi lo idea e ai dati riguardanti esso.

Ogni variabile può essere di:

• STATO, ossia che variano nel tempo e descrivono il fenomeno istante per istante:

ANDAMENTO DISCRETO Sol. eq. alle diff.

ANDAMENTO CONTINUO Sol. eq. differenz.

I modelli danno risultati indipendenti dalla scelta del tipo di andamento.

Ad ogni variabile di stato in un grafo è associato un nodo, detto COMPARTIMENTO (se un elemento non rientra in questi, manca una variabile).

Per definire qual è il fenomeno si utilizzano gli archi tra i nodi con i coefficienti del flusso sopra essi.

Nota: questo arco è diverso dall’altro e un esemp.

• trasform. risorsa

  x(k + Δₖ) = [x(k) + i x(k)] - i x(k) = x(k)

• creazione risorsa

  x(k + Δₖ) = x(k) + i x(k) = x(k) (1 + i)

es 1

la risorsa entra da una variabile indip

ed esce o venduta o buttata per invecchiam

₁----->₂----->₃----->₄

1 0 0 % 20 % 30 % 50 % 1 0 0 %

↓ ↓ ↓

80 % 70 % 50 %

es 2

Corso di laurea triennale

₁----->₂----->₃----

100 % 80 % 90 % 96 %

↓ ↓

5 % 2 %

Nota: la bocciatura non ha archi, ma ritorna nel compartimento dove è avvenuta

Dalla rappresentazione grafica ora dovremmo scrivere le equazioni matematiche (alle diff):

• per es 1
• la variazione di risorsa (ogni K) è uguale alla risorsa entrata meno quella di uscita
• u₁(K+1) - u₁(K) = u_a(K) - u₁(K) - u₁(K) |⟹| x_a(K+1) = u_a(K)
• u₂(K+1) - u₂(K) = 0,2 * u₁(K) - u₂(K) |⟹| u₂(K+1) = 0,2 * u₁(K)
• u₃(K+1) - u₃(K) = 0,3 * x₂(K) - u₃(K) |⟹| u₃(K+1) = 0,3 * u₂(K)
• u_a(K+1) - u_a(K) = 0,5 u₃(K) - u_a(K) |⟹| u_a(K+1) = 0,5 u₃(K)

Sono equazioni lineari a coeff. costanti: alle differe.

es

• da modo 2 a 3

entrata da i a j

1 + acc usc in i

1 + 0,5 - 0,8

es

i = 5% , P = 10⁴ € , N = 10 anni

R = ... = 1295 € => dopo 10 anni P + 0.3 P

es

i = 5% , P = 10⁴ € , N = 20 anni

R = 802 € ogni anno

uₙ(0) = 10.000 €

uₙ(1) = 10.500 € - 1295 € = 9205 €

uₙ(2) = 9.665 € - 1295 € = 8.370 € ...

Grafico debito residuo:

1. Se conosco i, P e R, N = ?

N = - ^{ln(1 - iP/R)}/_ln(1+i)

3. Se conosco i, N e R, P = ?

P = ^{(1+i)N - 1}/_i(1+i)^N R

Modelli di decisione: modelli di età

Sono modelli che studiano una popolazione, tipo gli esseri umani, animali, e piante o anche le macchine. Gli indici essenziali sono:

• S_i = sopravvivenza
• f_i = fertilità

I fenomeni da considerare sono:

• invecchiamento (S_i)
• mortalità (1-S_i)
• natalità (S₀f_i)

La numerosità della popolazione in ogni classe è data dalla variabile di stato x_i(k):

• x_i(k+1) = S_i-1 x_i-1(k), 1 < i < n
• x₁(k+1) = S₀ f₁ x₁(k) + ... + S₀ f_n x_n(k)
• x_n(k+1) = S_n-1 x_n-1(k) + S_n x_n(k)

06/10/15

BORSA PERSA PERIODICAMENTE DA UN COMPARTIMENTO

Proprietà di base in finanza con una ricorrenza pescolarmente

dpoxi dal compartimento

Esempio

EM complesso italiano

Il compartimento:

Si svuota del 51% ogni mese

DOMANDE

1. Quando si svuota completamente (ma impossibile dopo 2 mesi (perché già peocica che c'e di nuovo)

2. Quante T{ si svuota il compartimento in 15 giorni?

a) Noi abbiamo la frazione totale d venvu crelo e nel compartimento Si

svuota regorle

1/(1+₁₀) = fraz. del prezzo che deve ogni mese

X₁(k+1) = (1-₁₀) X₁(k) = 0,49 X₁(k)

X₁(0) = Q

X₁(1) = 0,49 Q

X₁(2) = 0,49 X₁(1) = (0,49)²Q = 0,24 Q

b) Caso X₁(k) = (0,49)^kQ

quindi

X₁(0) = Q

X₁(k+1) = (1-₁₀)Q

X₁(2) = (1-₁₀)²Q = (1+₁₀) Q = ecccewhere ₁₀

_{2 giorni/uncu} sui 15 giorni per mese

(1-₁₀) = ¹/ ₁₀ ^0,49

1-₁₀ = ¹/ _-10

= dove tese = 30%

Ne corre, se 10% del 70% di Q => dopo ₁ mese ha 049% Q

In questo regola posso vedere di pro less di valori

Posso determinare una piedite in qualcos meseros

Se Δt = 2 mesi

ESEMPIO

1) Si svuota del 51%, se Δt = 1 mese

1. 51% Δt = 1 mese
2. 30% Δt = 15 gg

Se applichiamo un coupon mensile, in 15 gg perde la metà. Il modello diventa che la metà del 51% ossia 25,5%

1. 25,5% Δt = 15 gg

Dopo 1 mese:

X_t(k+1) = 0,745 · X_t(k)

Dopo 2 volte: 1,55%²

(0,745)² = 0,555

Usa dopo 1 mese non ha perso il 51%, ma il 44,5%

...

2. PASARRE DAL CALCOLO AD UN MODELLO DI TEMPO CONTINUO

Divido le equazioni generando qualcosa

Mod discreto Misurare Fissato in periodo Fissato in periodo

cioè X_t(k+1) = i_N(k) = i_out(k)

cioè per continuo devo fare il bilancio non può dirlo solo

X_t(t) = β_in(t), β_out(t)

Vendiamo che fissiamo che i sono odd in

Grado uguale diverso interpretazione (consumo, interno, coeff. y)

Le vie di uscita sono Solo le tema due contatori (rate