Fondamenti di Automatica - Modelli

b = β risorsa entrante

il li * per entrambi i modelli

b = β risorsa uscente

hi ih

modelli a struttura d'età

– s = tasso di sopravvivenza della classe i

i

1 - s = tasso di mortalità della classe i

i

f = tasso di fecondità della classe d'età i

i

s = tasso di sopravvivenza alla nascita (mortalità)

0 s f

0 n

s f n

1

0 1 s

n-1

1 – s 1 – s

1 2

matrice dinamica (modello a struttura d'età)

( )

s f s f ... s f s f

−1

0 1 0 2 0 n 0 n

s 0 ... 0 0

1

x k 1)=

( + 0 s ... 0 0

2

... ... ... ... ...

0 0 ... s s

n−1 n s s ... s f

R = s f + s s f +....+ s s ... s f + 0 1 n−1 n

0 1 0 1 2 0 1 n-2 n-1 1−s

n

se R>1 espansione

se R<1 contrazione

La struttura della popolazione, cioè la frazione di individui che

compongono ciascuna casse d'età rispetto alla popolazione totale,

è data da: ( )

x (k )

1 n

x 1

(k ) x (k ) ∑

S , N x numerosità della popolazione totale

(k ) = = (k )= (k )

2 i

N k N

( ) (k ) ... 1

x (k )

n

E' molto importante sapere a quale struttura tende una

popolazione al passare del tempo, tale struttura di lungo periodo

prende il nome di struttura d'età di equilibrio.

S eq MODELLI DI TRANSIZIONE TRA STATI

α α

ii ji

i j

n

A matrice stocastica : ∑ α =1

ij

1

a = α

ij ji

a = α

ii ii

page rank di google

– p = probabilità che utente segue il link della pagina

1-p=probabilità che utente digita un nuovo link

p= 0,85

1. se esiste link da i a j:

p 1− p

a = +

ij N N

i

2. se non esiste link da i a j:

{ 1− p se i non è un autorità

N

1 se i è un autorità

N

MODELLI DI INFLUENZA

α ii α

ji

β li j

i

l α ij

il grafo d'influenza rappresenta la struttura delle interazioni fra le

variabili di interesse: un arco orientato dal nodo j al nodo i indica

che la variabile modifica la dinamica della variabile

x x

j i

-modelli microeconomici

16

14

12

10

8 Funzione di offerta

6 Funzione di domanda

4

2

0

Riga 1 P Riga 4

funzione di offerta

q=Q+ bp funzione di domanda

q=D+ ap D−Q

−b equazione alle differenze

p 1)= p(k

(k + )+

a a

−b

il coefficiente rappresenta l'influenza che il prezzo p(k) ha su

a

D−Q

p(k+1) : .

u (k )=

l a

Questo tipo di modello è anche detto MODELLO A

RAGANATELA

1. Caso mercato stabile (a>b):

quando la funzione di domanda ha inclinazione maggiore di

quella d'offerta , il prezzo tende a convergere verso il valore

di equilibrio.

2. Caso mercato instabile (a<b):

una variazione del prezzo mette in moto un processo che

conduce invece a variazioni sempre più grandi dello stesso,

si giunge a una situazione in cui il modello perde validità.

3. Caso mercato ciclico (a=b):

una variazione del prezzo rispetto al valore d'equilibrio

genera delle oscillazioni persistenti, quindi di ampiezza

costante intorno al valore di equilibrio.

N.B. (Vedere grafici su libro e quaderno)

-modelli macroeconomici

R(k) = reddito nazionale

Y(k) = prodotto nazionale

C(k) = consumo delle famiglie

I(k) = investimenti delle imprese

G(k) = spesa pubblica

1. modello di Samuelsson:

anche detto modello moltiplicatore-acceleratore

I 1)−I 1)−C

(k + =a [C (k + (k )]

0

C 1)−C R( k

(k+ =c )

0

Y k I G

( )=C (k )+ (k )+ (k )

Y k R(k

( )= )

0<c<1 propensione marginale al consumo

1 moltiplicatore

1−c

a acceleratore