Fondamenti di Automatica e controlli automatici

RISPOSTA DI SISTEMI LINEARI (Tempo continuo)

_Ẋ(t) = A_x(t) + B_u(t) equazione di aggiornamento dello stato

y(t) = C_x(t) + D_u(t) equazione di uscita

t ∈ R A ∈ R^n⨉n matrice dinamica

x(t) ∈ Rⁿ B ∈ R^n⨉p matrice di ingresso

u(t) ∈ R^p C ∈ R^q⨉n matrice di uscita

y(t) ∈ R^q D ∈ R^q⨉p legame diretto ingresso-uscita

Data una condizione iniziale fissata x_o ed un segnale di ingresso noto u(t) per tutti i tempi t > 0, x(t) è la soluzione sia dell'equazione di aggiornamento dello stato sia le condizioni iniziali è detta risposta nello stato

X(0) = X_o. (C.i.)

fissato u(t), t > 0

x(t) soddisfa ẋ(t) e y(t)

x(t) → è detta risposta nello stato

x(t) = ψ(t, X_o, u(.))

u(.) = u segnale noto che bisogna conoscere tutti i valori di u(.) nell'intervallo t ≥ 0

Mettendo x(t) nell'equazione di uscita si ottiene la risposta in uscita y(t)

y(t) = η(t, X_o, u(.)) risposta in uscita

PROPRIETA' - SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Fissiamo:

• X_a all'ingresso u₁(.) e dalla c. iniziale X(0)
• X_b all'ingresso u₀(.) dalla c.i. X_b = X(0)

∀ α, β ∈ R le funzioni X(t) = αX_a(t) + βX_b(t) è la detta risposta nello stato all'ingresso u(.) = αu₁(.) + βu₁(.) dalla c X(0) = αX_t + βX

Affinché valga tale proprietà è necessario che i pesi α+β siano esattamente ad ulteriore rispetto le altre componenti X_{x b}, z_l q₁

RISPOSTA DI SISTEMI LINEARI

Ẋ(t) = A x(t) + B u(t) equazione di aggiornamento dello statoy(t) = C x(t) + D u(t) equazione di uscitat ∈ Rx(t) ∈ Rⁿu(t) ∈ R^py(t) ∈ R^qA ∈ R^n×n matrice dinamicaB ∈ R^n×p matrice di ingressoC ∈ R^q×n matrice di uscitaD ∈ R^q×p diagramma di blocco ingresso-uscita

Dato uno stato iniziale fissato x_o ed un ingresso noto per tutti i tempi t ≥ 0, la x(t) che soddisfa sia l'eq. dell'aggiornamento dello stato che le condizioni iniziali è detta risposta nello statox(0) = x_o. (c.i.)fissato u(t), t ≥ 0x(t) soddisfa ẋ(t) e y(t)x(t) → è detto risposta nello statoX(t) = ψ(t, x_o, u(∙))u(∙) = dato significa che bisogna conoscere tutti i valori di u nell’intervallo t ≥ 0Mettendo x(t) nell’equazione di uscita si ottiene la risposta in uscita ŷ(t)y(t) = η(t, x_o, u(∙)) risposta in uscita

PROPRIETÀ - SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Lavoriamo: X_a all’ingresso u₁(∙) e dalla c.i. x(0);X_b all’ingresso u₀(∙) dalla c.i. X_o = X(0)∀ α, β ∈ R le funzioni X(∙) = α X_a(∙) + β X_b(∙) è la nostra risposta nello stato all’ingresso α u₁(∙) + β u₁(∙) dalla cX(∙) = α X_* + β K

Affinché valga tale proprietà è necessario che i pesi α + β siano sottostanti allo stesso ingresso le due componenti x_a e x_b e u_u

Attenzione!

Sia () la risposta all'ingresso (∙). C.I. ⇒ ^+̅()= ̅

X() la risposta all'ingresso (∙). da C.I. ⇒ ^-̅()= ̅

Non è vero questo segnale

∀ ⁺()=( ) ()( )= la risposta all'ingresso

∊( ) ()−( ) () delle c.i.: ⁺(χ)= ⁺

Esegui il vettore equivalente si vede nella prima componente i

vett nella seconda

Ciò potrebbe essere vero solo se ()=

RISPOSTA LIBERA DEL SISTEMA (delle SOLE iniziali x_o)

X()= Φ( )

Y_e()= ( _o)

fine evento degli effetti di una

condizione iniziale x_o

RISPOSTA FORZATA (all'ingresso ())

X()= Φ( ι_o, ())

Y()= ( ι_o, ())

assume che il sistema parte

da condizioni iniziali null= ⃢

∊ è applicato l'ingresso

Usando la sovrapposizione degli effetti di mostra che:

()= Φ( _o, ⃢(.))= ()+ ()

= =

(.)=