Fondamenti di Automatica e controlli automatici

RISPOSTA DI SISTEMI LINEARI (Tempo continuo)

Ẋ(t) = A x(t) + B u(t) equazione di aggiornamento dello statoy(t) = C x(t) + D u(t) equazione di uscitat ∈ ℝ A ∈ ℝⁿˣⁿ matrice dinamicax(t) ∈ ℝⁿ B ∈ ℝⁿˣᵖ matrice di ingressou(t) ∈ ℝᵖ C ∈ ℝ ¹ ˣᵖ matrice di uscitay(t) ∈ ℝᵠ D ∈ ℝ ¹ ˣᵖ blocco diretto ingresso-uscita

Dati una condizione iniziale dello stato x(0) e l'input u(t) notoper tutti t ≥ 0, la soluzione x(t) che soddisfa sia l'equazione diaggiornamento dello stato e i condizioni iniziali è detta rispostanello stato

X(0) = X₀. (c.i)

Fissato u(t), t ≥ 0x(t) soddisfa x(t) e y(t)x(t) → è detta risposta nello statoX(t) = ψ(t, x₀, u(⋅))

u(⋅) sta a significare che bisogna conoscere tutti i valori di unell'intervallo t ≥ 0

Nota x(t) dall'equazione di uscita si ottiene la rispostain uscita y(t)

y(t) = γ(t, x₀, u(⋅)) risposta in uscita

PROPRIETÀ: SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Decomponiamo xₐ all'ingresso uₐ(b⋅) e dalla c.i. x(0):x₀ dall'ingresso u₀(b⋅) della c.i.: x₀ = X(0)

∀ α, β ∈ ℝ le funzioni: x(t) = α xₐ(t) + β x₀(t) è la nostrarisposta nello stato all'ingresso u(t) = α uₐ(t) + β u₀ x(0) = α xₐ + β x₀

Affinché valga tale proprietà è necessario che i pesi α + β siano sostituiti in sé stessi rispetto alle due componenti xₐ e x₀, uₐ e u₀

Attenzione!

Sia X_c(•) la risposta all'ingresso M_c(•). C.I. -> X (0) = X̅

Sia X_i(•) la risposta all'ingresso M_i(•), da C.I. -> X (0) = X̅

Non è vero questo sempre

∃ X_c(•), ∃ f(X_i(•)) = la risposta all'ingresso

[...], X_i(•) delle C.I.: X (0) = X̅

Sia X il vettore cui il valore si vede nella prima componente e y

Vedi nulla in Xμ•

Ciò potrebbe essere vero solo se X̅ (0) = 0

RISPOSTA LIBERA DEL SISTEMA (cond. stato iniziale x₀)

X_c(t) = Φ {(t, x₀)

Fime senza degli effetti di una

y_c(t) = ψ {(x₀)

condizione iniziale x₀

RISPOSTA FORZATA (dell'ingresso m(•))

X_f(t) = Φ {(t ₀; m(•))}

esperine che in sistema anche da

y_f(t) = η {(t ₀; m(•))}

condizioni iniziali modi col sesso

e si applica da ingresso M

Grazie la sovrapposizione degli effetti e mostrano che:

• x(t) = Φ{ t, x₀, m(.)} = X_c(t) + X_f(t)

α = β = 1

M_a(•) = 0

• x_a = x₀ -> X_c(t) = X₁(t)

M_b(•) = m(t)

• X_b = 0 -> x_b(t) = X_f(t)

RISPOSTA COMPLETA = R. LIBERA + R. FORZATA

H(t) = h₁(t)h₂(t)h₃(t)h₄(t)

h_i = sono delle risposte che si

potrebbe ottenere dal sistema

composto da un fascio di

canna librato in influenza nel

campo calcolare dei 2 p.a.

RISPOSTA IN USCITA (tempo continuo)

{ x'(t) = A x(t) + B u(t)

y'(t) = C x(t) + D u(t) }

x(0) = x_o

(t) = x_z(t) + x_f(t)

x_f(t) = ∫₀^t e^A(t-τ) B u(τ) dτ

risposta in uscita → y(t) = y_z(t) + y_f(t)

y_z(t) = C x_z(t) + D 0 → y_z = C e^{A t} x_o

y_f(t) = C x_f(t) + D u^*t → y_f(t) = C ∫₀^t e^A(t-τ) B u(τ) d τ + D u(t)

Ψ(t) ≜ C e^{A t} = Φ(t) matrice q×n

W(t) ≜ C e^{A t} B + D δ(t) matrice della risposta impulsiva nell'uscita (q×p)

∫₀^t D δ_o (t-τ) μ(τ) dτ = D μ(t)

y(t) = Ψ(t) x_o + ∫₀^t W(t-τ^*) u(t) d t

Consideriamo un particolare ingresso

μ^(*i)(t) = { 0 0 δ(t) 1-esmo }

y_i(t) = ∫₀^t W(t-τ^*) μ^(*i)(τ) d τ = ∫₀^t W(t-τ) δ(τ) o. τ = W_i(t)

W = p q

W_i = i-esimo colonna di W(t)

Risposte temporale ottenute

Applicazione

• f(t) = t

t = ∫₀^t dt' = ∫₀^∞ δ(t') dt'

• L{f(t)} = 1/s² L{δ(t)} = 1 s β = 0

L{t^k} = Γ(k+1) / s^k+1

L{t^k / k!} = 1/s^k+1

• ^{tk / k!}

gruppo periodico f(t) = t² / 2 f(t) = 1 / s³

BROLI PULCARIONE PER UN ESPONENZIALE

a ∈ C

• f{L{f(t)} = f(s)} = f(a(s)) = β

∫₀^t e^at' f(t') = 1 / s - a

L{e^at} - L{e^atf(t)} = f(σ - a) s_a(s) = β_af(s) = β + κa (a)

∫₀^∞e^-stf(t)e^-st(t) = 1/s - a

L{e^at cos(ωt)f(t)} 5 - 2 o (s₂ - a²) / t²ω²

s₁: a - jω

s₂: a + jω

DERIVATA NEL TEMPO

f(t) localmente continuamente continua

F₂(t) - f((t)) e transformato la seconda Laplace con β stabil di e omogenea

allora f(t) e transformabile con β stabil di omogenea

L{f} ∃ e f{Lf(f(t))} β _{(s + 1) divide il D}

s⁴ - 5s³ + 6s² + 4s - 8 = s + 1

5⁴ - 4s³ + 6s²

/ 6s³ + 6s² +6³ + 6s²

12s² + 45

12s² - 12s

-8s - 8

8s + 8

f(s) = ^{5s2 - 11s + 4}/_{(s - 2)³(s + 1)}

p₁ = -1 1=1

p₂ = -2, 2, 3

f(s) = A/(S+1) + B/(s-2) + C/(s-2)² + D/(s-2)³

A = ^{5s2 - 11s + 11}/_{(s-2)³ s...} = -27/27 = -1

B = -1 A=1

D = ^{s2 - 11s + 11}/_(s+1) = 20-22+11=3

(s-2) 3

⁸/_a ^{(5s2 - 11s + 4)}/_{(s + 1)}(^{20(5-1)(s + ) - (5s2 - 11s + 11)}/_{(s + 1)²}) s=2

= 2(5s-...) = ... /a

Tabella di Riepilogo

x(s) = (sI - A)^-1 x_o + (sI + A)^-1 B u(s)

Φ(s) = (sI - A)^-1

H(s) = (sI - A)^-1 B

x(s) = Φ(s) x_o + H(s) u(s)

y(s) = C (sI - A)^-1 x_o + (C (sI - A)^-1 B + D) u(s)

Ψ(s) = C (sI - A)^-1

W(s) = C (sI - A)^-1 B + D

y(s) = Ψ(s) x_o + W(s) u(s)