Fluidodinamica, Università La Sapienza

Fluidodinamica e derivata materiale

La fluidodinamica definisce la derivata materiale come la variazione nel tempo di una grandezza fisica seguendo il moto della particella. Secondo la definizione lagrangiana:

Definizione lagrangiana ed euleriana

Secondo la definizione euleriana:

dove:

• Notazione vettoriale
• Notazione indiciale

Conservazione della massa

Per la conservazione della massa, sottrazione del conto e ridistribuzione della massa nei contorni guida si richiede:

cioè:

Fatta raggiunto il passo di flusso il problema è se il dominio di integrazione varia nel tempo. Unendo le mappe di modo non può seguire un cambio di variabili e integrare sul dominio al portale di intatto moto. Si ha di:

dove è il determinante in modulo dello jacobiano.

Derivata materiale

La derivata materiale è la variazione nel tempo di una grandezza fisica seguendo il moto della particella. Secondo la definizione lagrangiana:

F(X,t) → F = dF/dt |_X

Secondo la definizione euleriana:

f(x,t) → ∂f/∂t + d∂f/dt |_X

dove ∂ = d/dt e 2f(x,t),t,1. = ∂/∂t + ∂/∂x₁ + ∂/∂x₂ + ∂/∂x₃ + ∂/∂t |_X = ∂/∂t + ∂/∂x₂ + ∂/∂x₃ |_X = > dS/dt = ∂/∂t + μ₁ ∂/∂x₁ + μ₂ ∂/∂x₂ + μ₃ ∂/∂x₃

Conservazione della massa

Ribadire la massa in termini guida si chiede:

dM/dt |_X

ossia:

M(B_om,t) = ∫ ρ(X(B_om,t)) dV

d/dt ∫ ρ(X,t) dV_X(Bom,t) = 0^{fatto riguardo il peso di fluido, l'integrazione varia nel tempo e cambia il dominio di integrazione nel moto.}

x = x_k (x,t)

d/dt ∫ ρ (X,t) (dS/dt) dV

dove ∂ = 10 determinato in modulo elli stasiano.

∫_χ(B(m,t))\left(\frac{D\overline{r}}{Dt}+\rho\overline{V}.\mu\right)dV=\frac{d}{dt}\int_{\chi(B(m,t))}dV

dove \;\overline{n}\; ha \;dimensione\; \frac{d\overline{s}}{dt}=\oint\{=g\overline{\nabla}.\mu\}dV

Usando il teorema del trasporto di Reynolds

\left(n\;``\;genil\;''\;nizazione del dominio d’integrazione possono avere la funzione “intragrando” o ottimare con un'equazione differenziale\right)

\frac{D\overline{r}}{Dt}+\rho\overline{V}\mu=0

Teorema del trasporto di Reynolds

\frac{d}{dt}\int\frac{\delta g(\overline{x},t)}{\chi(B(m,t))}dV=\int_{\frac{\delta g}{Dt}+\overline{g}\overline{\nabla}.\mu dV}{\chi(B(m,t))}\right)

Dimostrazione del perché:

\frac{d\overline{s}}{dt}=\oint\{=g\overline{\nabla}.\mu\

Voglio capire come varia il volume nel tempo quando il dominio n si trasforma

\frac{d}{dt}\int dV=\frac{d}{dt}\int_{\chi(B(m,t))}g dV=\int_{\chi(B(m,t)) }g\left(p in\;tem\n t\right)\frac{d\overline{s}}{dt}(\int dVd\)

\right \frac{1}{dt\df ol:terator\frac{dV}{dtConsriso un volume mgi d’ entrema in un intervallo di tempo infinito l'in-\

\right>p&\rightarrow&\gtdV\ jenèfi\fruano\;\pgole) per mata in a “our nefar l’infinitesimo si giustano in direzione normale alla superficie bordo del volume\

\right>\Sigma’m\frac{dV}{dt}=\overline{\nabla}.\mu\le dV\frac{d\overline{s}}{dt}=\oint\{=g\overline{\nabla}.\mu\

Il format del teorema del trasporto di Reynolds

d/dt ∫_χ(Ωm,t) ρ(x,t)β(x,t) dV = ∫_χ(Ωk) [-β(x_k,t) + ∫ β(x,t,t) ∂/∂t χ(x,t,t)] dV₀

= ∫ β(x,t) ∂/∂t dV + ∫_∂χ(Ωm,t) β dS/∂t + ρβ dS/dt dV₀ = ...

= ∫_χ(Ωm,t) (β(x,t) + ∂β/∂t +β)ρ dV + ∫_∂χ(Ωm,t) D/∂t β dS₀/dV

d/dt ∫_χ ρ(x,t)β(x,t) dV = ∫ ρ Dβ/Dt dV

Equazione di bilancio della quantità di moto

Dim: Δ-m ΔA

Def: X(Ω_m,t)

Molto disponibile una definizione euclidea

M(Ω_m,t) = ∫_χ(Ωm,t) ρ(x,t) dV

ID dF e mdr = Σ F_ext

Il vettore quantità di moto è Q_i (Ω_m,t) = ∫_χ(Ωm,t) ρ(x,t) u_i (x,t) dV

Le pressioni hanno linee di moto opposte di riequilibrio.

Forze di massa: - ∫_χ(Ωm,t) ρ(x,t)β(x,t) dV dato f è un campo di accelerazione

Con definire le forze di superficie agente su una porzione di fluido individuata dalla massa di moto X(Ω_m,t). Su una superficie limite di A agiranno altre forze β_n con n agente in dA con normale β

d/dt ∫_χ(Ωm,t) ρ(x,t) u_i (x,t) dV = ∫_χ(Ωm,t) ρ(x,t)β(x,t) dV + ∮_∂χ(Ωm,t) t_i^(m) dS

Se suppongo di prendere un caso di:

⏜₂ = −⏜₋₂

La forza di superficie agisce nel verso (1) agisce nel verso (2) −

Ovvero, imponiamo del lemma di Cauchy