Fluidodinamica completo

FLUIDO DINAMICA

ARGOMENTI PRELIMINARI

SCALARI, VETTORI, TENSORI → SCALARE = NUMERO CON UNITÀ DI MISURA (NUMERO DI SCALARI NEC. PER DEFINIRE UNO SCALARE → NS = 1)

VETTORE = MODULO, DIREZ., VERSO. (NS = DIMENSIONI = 3)

Sk = (Sx, Sy, Sz)

Sm = (Smx, Sny, Snz)

Sx = Sx cos_θ + Sy sen_θ

Smz = -Sx sen_θ + Sy cos_θ

SE RIESCO A FARE QUEST'OPERAZIONE SIGNIFICA CHE LA COPPIA O LA TERNA DI SCALARI IN CONSIDERA7. E' UN VETTORE.

RIFERIMENTO POLARE → ρ, θ

RIFERIMENTO CILINDRICO → r, θ, z

OPERAZIONI CON I VETTORI

a = ax ^̂x + ay ^̂y + az ^̂z

b = bx ^̂x + by ^̂y + bz ^̂z

SOMMA

a + b = (ax+bx) ^̂x + (ay+by) ^̂y + (az+bz) ^̂z ≈ Σ_i(ai+bi) ^̂ei

PRODOTTO SCALARE

a·b = |a| |b| cos_θ = ax bx + ay by + az bz = Σ ai bi

NULLO SE a·b → cos_θ = 0

Non è altro che la componente di nella direz. di a

(a_xî + a_yĵ + a_zk̂) • (b_xî + b_yĵ + b_zk̂) =

a_xb_xî•î + a_xb_yî•ĵ + a_xb_zî•k̂ ...

ortogonali ortogonali

Prodotto Vettoriale

a⃗ × b⃗

|a⃗ × b⃗| = |a⃗| |b⃗| sinθ

direz. ⊥ al piano a⃗, b⃗

verso = regola mano Dx (non gode della prop. commutativa) a⃗ × b⃗ = -b⃗ × a⃗

nullo se paralleli

|î ĵ k̂|

|\|a_x a_y a_z | |

|b_x b_y b_z |\|

a⃗ × b⃗ = (a_xî + a_yĵ + a_zk̂) × (b_xî + b_yĵ + b_zk̂) =

= a_xb_xî × î + a_xb_yî × ĵ + a_xb_zî × k̂ ...

paralleli a_xy b_z - a_x b_z ŷ

Prodotto Diadico

a⃗ b⃗ oppure a⃗ ⊗ b⃗

a⃗ b⃗ = a_xb_xîî + a_xb_yîĵ + a_xb_zîk̂ + a_yb_xĵî + a_yb_yĵĵ + a_yb_zĵk̂ ...

= (

a_xb_x a_xb_y a_xb_z)

a_yb_x a_yb_y a_yb_z)

a_zb_x a_zb_y a_zb_z)

= Tensore (del 2º ordine perché 3 dimensioni alla seconda, 3² ordine)

Uno scalare è un tensore di ordine 0

QUINDI DATO UN VETTORE GENERICO IN RIF. CILINDRICO:

_n^rê_n + _o^rê_o + _z^rê_z POSSO CALCOLARE ∇⋅_r

= _µn∂n + _µo∂θ + _µz∂z + ?

QUINDI IN ANALOGIA CON QUELLO CARTESIANO ∇⋅_s

= ∂_x/∂x + ∂_y/∂y + ∂_z/∂z

∇⋅_s = ê_n∂(_tn) + ê_o∂θ(_to) + ê_z∂z(_tz)

= ê_n∂n(_{µnên + µoêo + µzêz⟩) +}

+ ê_o∂θ(_µ) + ê_z∂z(_µ)

= ê_n(∂_µn∂nⁿ)∂# + ∂_o(µ) + ∂z(µ) +

= [∂_µnn + _µnn + 1/_{n µn∂z∂o}] +

ORA INVECE CONSIDERIAMO DI VOLER CALCOLARE

(IL ROTORE DI _µ) IN RIFERIMENTO CILINDRICO:

∇×_µ = êt x ∂n/∂n

= + _çnxe (µ_nê_n + µ_oê_o + µ_zê_z) +

+ _çx(_µ) +

Gas Perfetto

Urti elastici, N. molecole ≪ rispetto a quelle del contenitore che lo contiene, quindi trascurabile. Sono trascurabili le F intermolecolari.

Equazione di Stato dei Gas Perfetti

PV = nMRT

Se moltiplico e divido per il peso molecolare

PV = mRT

dove R = R₀^PM => costante specifica

ρ = ^p/_RT

α = ¹/_R ^∂(V)/_∂(T)ρ = ^-1/_p

ρ = ^m_RT

^-1/_T < 0 (pendenza negativa della curva)

β = ¹/_RT

1° Legge di Gay-Lussac

Se si riscalda un gas a P cost. il suo V aumenta per ogni grado centigrado di ¹/_273,15. del volume da esso occupato a 0°C.

β in forma discreta => ¹/_V0 ∂V/∂T = ¹/_T0

V_t = V₀ (1 + ¹/_273,15 t)

Se voglio annullare il volume la T sarà lo zero assoluto

0 = V₀ + ^V₀/_273,15 t

ΔV/_V0 = ΔT

ΔT/_T0 = ΔT/273,15

-V₀ = V₀/_273,15 t => t = ε = -273,15°C

Comprimibilità di un Fluido

Variaz. di volume di un fluido rispetto alla variaz. di press.

Dipende dalla T e dai fluidi a contatto

Quando T ≥ T_crit. => σ = tensione sup. = 0

[σV] = F, σ = β(T, fluidi a cont.)

Per T > T_crit. => σ = 0 non c'è interfaccia liquido/vapore.

Se la superficie è curva: nasce anche una F ⊥ alla sup. oltre che tangente. Considero una parte di sup. curva infinitsima:

x = normale alla sup.

y = tangente.

Le componenti delle varie F lungo y si annullano. Lungo x non sono bilanciate (verranno bilanciate dalla press.):

dF_de2x + dF_elx + P_e de₁ de₂ - P_i d₁ de₂ = 0

dF_de2x = componente x = 2σd₂ sen(dθ₂)

INTEGRO dp = ρg dz

P(z) = P(0) - ʃ ρ g zad una data quota z.

Ad esempio P(z) - P(0) = 1 atm = 1,013 * 10⁵ Pa.

Voglio trovare l'abbassamento di quota per ottenere quell'aumento di press.

Acqua ρ = 1000 kg/m³

g = 9,807 m/s²

→ z = -10,33 m

Mercurio ρ = 13,6 * 10³ kg/m³ → z = -0,760 m

Nel caso dei gas: gas perfetti: ρ = P/RT.

Aria → R = 287,1 J/kg K e quindi : dp/dz = - P/RT g

caso isotermo: T(z) = cost.

dp/P = -g/RT dz → Integro → ln(P(z)/P(0)) = -g/RT z

P(z)/P(0) = e^{-g/RT z} → P(z) = P(0) e^{-g/RT z}

Esempio aria R = 287,1 J/kg KT = 300 K

-g/RT = -9,807/287,1*300 = -1.24 * 10^-4 di quanto mi devo alzare in quota per diminuire del 10% la pressione?

P(z)/P(0) = 0,9 → z = ln(9/10) * RT/g = 924,2 m valore molto grande.

Forze di pressione su una superficie:

Vedo la sup. di profilodsP

m orientata dalla superficie verso il fluido.