Fluidodinamica - Appunti (parte 2)

Teorema di Bernoulli

3^a dim. Teorema di Bernoulli

Forze conservative + Flusso incomprimibile + Flusso irrotazionale + Flusso stazionario

Flusso stazionario ↦ _∂V / _∂t = 0
∇( _P / _δ + V² / ₂ + Ω ) = 0 ↦ _P / _δ + V² / ₂ + Ω = cont.

3^b dim. Equazione di bilancio di massa per flusso incomprimibile e irrotazionale

Del bilancio di massa in forma mista:
δcont. ↦ _Dδ / _Dt = 0
δdiv _V = 0 ↦ div _V = div ( ∇(φ) ) = Δψ = 0
div ( ∇(ψ) - ∇²e^Δφe ) = 0

Equazione della dinamica della vorticità

In presenza di forze conservative e flusso incomprimibile

Partiamo dal bilancio di quantità di moto precedentemente ricavato:
^∂V̅_∂t + ω̅ ^ V̅ = -∇( P_s + ^|V̅|2₂ + Ω ) - ν rot ω̅

Facciamo il rotore di entrambi i membri:
1) rot ( ^∂V̅_∂t ) = ^{∂ rot V̅}_∂t = ^{∂ ω̅∂t}
2) rot [ ∇ ( _{Ps + ^|V̅|22 + Ω ) ] = 0}
3) rot ( ω̅ ^ V̅ ) = ω̅ _∙ ∇ V̅ - V̅ _∙ ∇ ω̅ + ( ∇ _∙ V̅ ) ω̅ - ( ∇ _∙ ω̅ ) V̅ = - ∇ _∙ ∇ ( rot V̅ ) = - ∇ _∙ ∇ ( rot V̅ )
4) rot ( - ν rot ω̅ ) = rot ( ν Δ V̅ ) - ν ( Δ ( rot V̅ ) - ν rot V = - rot ω̅ = - rot ( rot V̅ ) = Δ V̅

Mettendo tutto insieme si ottiene:
^{∂ ω̅}_∂t + ( V̅ _∙ ∇ ) ω̅ = ( ω̅ _∙ ∇ ) V̅ + ν ∇² ω̅

Paradosso di "D'Alembert"

F_tot = 0
La risultante delle forze aerodinamiche agenti su un corpo 3D (aperto, apli-amento finito) è nulla qualunque sia la velocità uniforme ma
HYP: flusso stazionario e irrotazionale (δ = 0)
Σ: superficie sfera contenente CR: raggio della sfera
Applichiamo il bilancio del quantità di moto in forma integrale:

∫_V∫ ρV dσ + ∫_∫ ρV (V · n_^) dS = - ∫_∫ Pn_^ dS + (χ^τ/^dt ) dS
Flusso stazionario ↓
∫_ζ∫ ρ(V·n_^ ) dζ + ∫_ζ∫ ρ(V_∞·n_^ ) dφ = - ∫ Pn_^ dζ + ∫_Σ∫ Pn_^ dφ

F_tot = ∫_Σ∫ Pn_^ dζ + ∫_Σ∫ Pn_^ dζ

Risolvendo tale problema si ha la seguente soluzione:
φ (x, y, z) = U_∞ χ + O(r^-2)
Essendo il potenziale di V si ha:
V = ∇φ_∞ + O(R^R3)

Supponendo che il numero di Reynolds è definito come il rapporto fra l'ordine di grandezza dei termini convettivi e quelli dei termini diffusivi risulta:
R_e = [^V/_{∇ · ∇}] · [U · ∇] / [^{V × ∇}/_{∇ · ∇}] · v · ∇² = ^UL/_v

Risulta quindi che:
s ∼ √^ν/_{U L} · √¹/_Re

Flusso di vorticità indipendente dalla circolazione in caso di flusso irrotazionale

Dal teorema di Stokes si ha:

∮_C=∂S V ⋅ dl = ∫∬_S rot V · n dS = ∫∬_S (Ẃ) · n dS

Nel nostro caso C:
∮_C2 V ⋅ dl - ∮_C1 V ⋅ dl = ∫∬_S1 (Ẃ) · n dS¹
Essendo (Ẃ) = 0   =>   ∮_C2 V ⋅ dl = ∮_C4 V ⋅ dl se una qualunque linea chiusa contiene il corpo
Dal teorema di Bernoulli ho:

p + ¹/₂ ϱV² = p_∞ + ¹/₂ ϱU_∞²
p_i = p_∞ - ¹/₂ ϱ (U_∞² - V²) = p_∞ + ³/₂ (U_∞² - ^U/_∞² O(R^-5) - 2U_∞α(R³)) = p_∞ - ϱ U_∞ O(R^-3)

Sottraendo e facendo tendere a +∞ il raggio, si ottiene:
F_out = lim_R→∞ ∫ ϱ(V ⋅ n̄) dz = ∑ ∫ p_n̄α dΣ = lim_R→∞ ∫ ϱ(U_∞ + O(R^-3))(U_∞ - ^n̄/_∞ + O(R^-5))α dΣ + ∫ [∫(p_∞n̄ - ϱU_∞O(R^-5)n̄)α dΣ] - ∫_Σ [∫ O_p (U_∞n̄ - ^n̄