Fluidodinamica

FLUIDODINAMICA 28/11/17

QUESTA FORMULA è SCRITTA IN NOTAZIONE VETTORIALE QUINDI DOVRò QUANDO VOGLIO SCRIVERLALUNGO I TRE ASSI DEVO CONSIDERARE LE VELOCITA IN X Y E Z

L'equazione di Navier Stokes messa a sistema con Ci daranno 4 equazione e 4 incognite. (le incognite sono U, V, W e la pressione perché la densità viene considerata costante).

Le equazioni di conservazione della quantità di moto sono note come equazioni di Navier-Stokes, N-S, e, per un fluido incomprimibile la cui viscosità non dipenda dalla posizione (costante).

Ora andiamo a trovare una delle poche soluzioni esatte dell'equazione di N-S, il problema è quello del flusso tra 2 lastre, due superfici parallele.

IPOTESI:

1. Siccome il problema è bidirezionale cioè che queste 2 lastre sono infinitamente estese sull'asse x e z, allora tutte le derivate parziali fatte rispetto a z sono 0, e su tutti i piani paralleli alla lavagna è sempre uguale a

1. Data la geometria, l'unica componente di velocità diversa da 0 è la velocità lungo l'asse x, inv = w = 0. In altre parole, ipotizziamo che le componenti della velocità v e w siano entrambe nulle.

2. Tutte le derivate parziali nel tempo sono 0, in altre parole trattiamo il problema come stazionario, in un punto le grandezze fluidodinamiche non variano nel tempo (sono costanti).

3. ρ e μ sono costanti.

Inoltre, ipotizziamo che e sono...

Ora iniziamo a guardare questa equazione di N-S, la divergenza del vettore velocità è 0 ma v e w sono entrambi nulli (sempre) quindi questo termine è nullo.

Questa relazione ci dice che la u non varia lungo l'asse x, questa condizione di un profilo di velocità costante viene chiamata "moto completamente sviluppato" o che non cambia nella direzione del flusso. Il primo risultato che otteniamo sarà indipendente dalla x.

A questo punto andiamo a guardare l...

‘equazione di conservazione della quantità di moto in direzione x,y,z. Le derivate fatte rispetto alle tre direzioni sono tutte costanti, allora la pressione si può scrivere come questa relazione mi dice come va la pressione, notiamo subito che questa relazione, in direzione verticale la distribuzione di pressione è come quella idrostatica, quindi la pressione varia linearmente in x e in y ad una distribuzione identica a quella di prima. Questa K4 la posso levare se assegno la pressione in un punto (è una costante che posso determinare se assegno nel problema una pressione in un punto). Adesso andiamo a vedere qual ‘è la soluzione per quanto riguarda la velocità, riprendiamo l’equazione usata in precedenza ma desso so che l’unica variabile indipendente della funzione u è la y e la derivata seconda di questa funzione è K1/µ, quindi la derivata seconda è anche lei una costante. Queste sono le costanti

gradiente di pressione in direzione x è nulla.

∂p/ ∂x < 0 →SeΠ = - (∂p/ ∂x) h²/ 2µV > 0πu(y)/V= - (η² - η) + η> 0Più faccio diminuire ∂p/ ∂x più il profilo di velocità aumenta.

∂p/ ∂x < 0 vuol dire che sto andando da una zona a pressione maggiore ad una zona a pressione minore.

∂p/ ∂x < 0 il gradiente di pressione è favorevole.

∂p/ ∂x > 0 →SeΠ = - (∂p/ ∂x) h²/ 2µV < 0πu(y)/V= - (η² - η) + η< 0La velocità rispetto al caso lineare, la velocità diminuisce al punto che in prossimità della parete inferiore, se il variante di prossimità inversa è sufficientemente elevato, vedo che il flusso si muove da destra verso sinistra perché è spinto dalla pressione, mano a mano che mi alzo all'h, la

velocità torna ad essere versodestra (da sinistra a destra )..Si dice che gradiente di pressione è sfavorevole

Guardiamo ora come vengono questi termini per un flusso reale

Il tensore s lo prendo in due dimensioni perche la terza è nulla. In questa sezione non ho indipendenza da x ∂u/ ∂x ∂v/ ∂y ∂v/ ∂yquinti è 0 ed anche è 0 , è V/h.

Il tensore τ è uguale alla s ma moltiplicato 2μA questo volumetto di fluido,le velocità di deformazione lungo x e y sono 0, il volume è costante (gia sappiamo che il fluido è incomprimibile ), i sforzi che agisce in questo volumetto sono solo i sforzi tangenziali τxy e τyx (sono uguali tra di loro) , questi due sforzi sono responsabili della deformazione angolare , notiamo che questo angolo era 90°.

Se io facessi la velocità di rotazione otterrei che l’angolo di 90° è diventato qualcosa di più piccolo

econtemporaneamente ha ruotato.Il lato QR rispetto Q’R’ dovrebbe essere uguali ma il lato Q’R’ si è allungato, invece il lato Q’P’ si èaccorciato,se io scrivessi le cose in un sistema di riferimento ruotato di 45° vedrei che una cosadecisamente diversa, e il tensore s e τ.Nella visione ruotata agisce una tensione normale τx’x’ questo è positivo, mentre la tensione τy’y’ agiscesulla faccia y’ che è negativa cioè di compressione, lo sforzo viscoso tira questo volumetto in direzione x’ elo comprime in direzione y’ con una velocità di deformazione che è uguale ma di segno opposto.Come vediamo le cose appaiono diverse a seconda del sistema di riferimento scelto, nel sistema diriferimento originale vedevo solo deformazioni angolari e sforzi di taglio (ABCD), quando io guardo le cosenel sistema di riferimento ruotato di 45° vedo invece stati

tensionali normali e velocità di deformazione lineari. È chiaro che dire, che gli sforzi associati alla viscosità sono solo tangenziali è sbagliato, perché se io guardo le cose dal punto di vista del sistema di riferimento ruotato addirittura vedo solo sforzi normali, dire che la viscosità ha effetti solo tangenziali è sbagliato. Quello che vediamo dipende dal sistema di riferimento.

Per il caso intermedio tra 0° e 45° abbiamo contemporaneamente sforzi di taglio e sforzo normale.

Fluidodinamica 28/11/17 Seconda parte lezione

Volumi di controllo

Tecniche dei volumi di controllo

Inseriamo un profilo o un oggetto dentro una galleria del vento e lo facciamo investire da un flusso.

Per calcolarmi la forza di resistenza del profilo o adopero una bilancia dinamometrica, oppure posso ricavarmi la forza tramite la quantità di moto, per fare ciò dovremmo misurare la velocità in scia del corpo; prendiamo un volume di controllo divergente

Che gira intorno all'oggetto questo volume di controllo lo scelgo con le pareti molto distanti dall'oggetto e con le pareti orizzontali su una linea di corrente.

Il primo integrale si pone uguale a zero perché si considera la velocità costante in ogni punto.

L'ultimo invece lo trascuriamo perché storicamente per calcolare la forza di resistenza si usavano gas o aria e in generale avendo densità bassa, la forza peso (risultato dell'ultimo integrale) è trascurabile.

Termine 1:

• L'integrale fra a-b e l'integrale fra h-i è uguale a zero perché è su una linea di corrente e non c'è scambio di massa.
• L'integrale fra d-f (tratto di volume di controllo vicino al profilo) invece è uguale a zero perché non entra massa nel profilo studiato.
• Invece gli integrali fra c-d e f-g vanno a zero perché sono uguali e opposti.

Quindi l'equazione si semplifica.