Fluidodinamica

Fluido dinamica – Lezione del 2 ottobre 2017

Capitolo 1: Introduzione - slide 15 a 27

Capitolo 2: Proprietà dei fluidi – slide 1 a 6

Moto laminare e turbolento

Una classificazione che si può fare dei moti dei fluidi è quella secondo cui si dividono i moti in:

• Laminare: le particelle del fluido si muovono lungo una lastra piana, conducono quindi un andamento rettilineo. In tale tipologia di moto quindi sono ben distinguibili le traiettorie intraprese dalle particelle.
• Turbolento: le particelle che compongono il fluido si muovono secondo un moto disordinato e caratterizzato anche da variazioni di velocità. Le traiettorie non sono distinguibili in quanto notiamo la presenza di vortici.
• Di transizione: le particelle che compongono il fluido si muovono in alcune regioni conducendo un moto turbolento mentre in altre hanno un moto laminare.

Il termine numerico che stabilisce se un moto condotto dalle particelle del fluido è laminare, di transizione o turbolento è il valore numerico adimensionale in cui:

• ρ = densità del fluido
• U = velocità del fluido
• L = dimensione tipica del fluido
• μ = viscosità del fluido

E ci fornisce una stima di quanto vale il rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose. Maggiore il Numero di Reynolds è elevato, maggiore sono le forze d’inerzia rispetto alle forze viscose (basso numero di Reynolds = forte effetto viscoso del fluido), e nei nostri casi si aggira attorno a valori del milione quindi ci troveremo a lavorare con sistemi in cui le forze d’inerzia sono molto più intense rispetto alle forze viscose.

Moto stazionario e non stazionario

Un altro modo per poter definire i moti delle particelle del fluido sono le seguenti:

• Stazionario: un moto di un flusso può essere definito stazionario se in ogni punto del dominio le grandezze non variano nel tempo; cioè focalizzando la mia attenzione in un punto vedrò che i parametri in quel punto restano costanti nel tempo (es. pressione).
• Non stazionari: sarà quindi l’opposto di ciò che abbiamo definito precedentemente e focalizzando la mia attenzione in un punto del dominio posso percepire come le grandezze che lo descrivono variano nel tempo. Un flusso non stazionario può anche essere considerato stazionario se “mediato nel tempo”, ovvero prese le caratteristiche che lo descrivono e considerato il range di variazione nel tempo, se le variazioni successive rientrano nel range allora può essere considerato stazionario.

Il più famoso fenomeno non stazionario è quello che si instaura nella scia di un cilindro investito da una corrente, in cui si formano due vortici sfasati tra loro e quasi perpendicolari al cilindro. La formazione di tali vortici è stata comportata da una variazione di pressione che comporta sul cilindro una variazione di velocità data da forze pulsante; quindi la variazione di velocità è stata data da variazioni di pressione. Tale forza a cui è sottoposto il cilindro è una forza pulsata (non costante) ad una determinata frequenza che corrisponde alla frequenza di distacco dei vortici.

Proprietà dei fluidi

Le proprietà di un fluido sono quelle caratteristiche che lo descrivono; possono essere suddivise in:

• Intensive: Proprietà del fluido che non risultano essere dipendenti dalla massa (es. pressione, temperatura, densità del fluido, conducibilità termica ed elettrica).
• Estensive: Le proprietà estensive “mettono in gioco la massa del fluido”, ovvero risultano essere dipendenti dalla massa di fluido considerato (es. massa, volume, forza, energia). Definiamo anche che le proprietà estensive per unità di massa sono definite proprietà specifiche (es. volume specifico = V_tot / M_tot).

A livello microscopico, sapendo che un gas è composto da delle molecole separate tra loro, avremo che la densità sarà massima in prossimità delle molecole e 0 nel vuoto che c’è tra le molecole componenti il gas (funzione discontinua). A livello macroscopico il fluido è inteso come corpo continuo quindi la densità anche sarà definita da una funzione continua, ma definendo ciò tralasciamo quindi il concetto espresso precedentemente riguardante lo studio del fluido a livello microscopico. Tale approssimazione fatta a livello macroscopico è valida soltanto se il sistema di riferimento con cui studiamo il fluido è molto più grande delle distanze intramolecolari. Numericamente possiamo verificare tale condizione, mediante il numero di Knudsen che risulta essere:

• λ = Cammino Libero Medio, distanza che devono percorre due molecole d’aria prima di incontrarsi.
• L = dimensione del problema che sto considerando.

Se Kn assume valori al di sotto di 0.01 allora è possibile assumere la visione macroscopica, in quanto λ << L. La densità, ρ, di un fluido per definizione è il rapporto tra il valore della massa e il valore del volume del fluido. La densità di un gas è dipendente dal valore di pressione e dal valore di temperatura a cui è sottoposto; in un liquido invece l’unico fattore da cui è dipendente è la temperatura. Il peso specifico, γ di un fluido invece è il peso di un singolo unità di volume quindi sarà uguale al rapporto tra il valore del peso di un fluido e il volume di tale fluido.

La maggior parte dei gas considerati possono essere trattati come gas ideali ovvero gas che si trovano ad elevate temperature e basse pressioni, condizioni in cui con molta difficoltà si crea un passaggio di stato, da liquido a solido. Per tale postulato possiamo definire che la maggior parte dei gas può essere trattata con l’equazione di stato fondamentale dei gas ideali: Tale equazione conferma come i gas siano dipendenti da temperatura e pressione.

Ogni gas, ad una determinata temperatura, ha una pressione di vapore, ovvero la pressione che si crea in un contenitore chiuso quando il gas è in equilibrio di fase (tanto liquido diventa gas, tanto gas diventa liquido) con il suo liquido. Il procedimento di evaporazione ha la stessa velocità di quello di condensazione a tali condizioni e il fluido sembra in uno stato di equilibrio. Scendendo al di sotto della pressione di vapore avremo un incremento di particelle che evaporano e viceversa. La temperatura è un fattore influente in tale concetto in quanto varia la velocità di evaporazione, infatti aumentando la temperatura avremo un corrispondente aumento della velocità di evaporazione che non è corrisposto da una medesima velocità di condensazione, ciò comporta che molto liquido evapora e poco condensa arrivando al punto che tutto il liquido è scomparso e si è trasformato il gas, comportando anche l’aumento della pressione.

Fluido dinamica – Lezione del 10 ottobre 2017

Capitolo 3: Statica dei fluidi dalla slide 1 alla 11 più slide 14

Pressione

La pressione è considerata una forza che agisce su una superficie, se ad esempio prendiamo come riferimento una persona dal peso di 70 kg essa scaricherà tutto il suo peso sull’area occupata dai suoi piedi (P=peso/area).

Pressione assoluta e relativa

Iniziamo col dire che la pressione può avere solo valori positivi (a pressione pari a zero siamo nel vuoto e nella realtà non esiste una simile situazione). E parleremo di depressione per valori di pressione sotto il livello atmosferico. Possiamo avere due diversi tipi di pressione: una assoluta e una relativa. Per quanto riguarda la prima è la pressione misurata prendendo come riferimento il vuoto come detto in un fluido è sempre maggiore di zero infatti il fluido può avere solo una pressione di compressione che per convenzione si prende maggiore di zero. Quella relativa invece è misurata prendendo come riferimento un'altra pressione (tipicamente quella atmosferica), essa quindi può essere relativamente negativa (non in termini assoluti) solo perché la pressione ambiente è più alta di quella assoluta (pressione relativa = pressione assoluta – pressione ambiente).

N.B. Quasi tutte le pressioni misurate con gli strumenti che abbiamo oggi sono relative.

Pressione in un punto (fluido fermo, in equilibrio)

La pressione per definizione agisce su una superficie ed è una forza con direzione normale alla superficie stessa. La pressione quindi non varia con l’angolo e il campo di pressione quindi ha una caratteristica particolare: è isotropo. Dimostriamo allora che la pressione in un punto non varia con la direzione: Vediamo quindi che se prendiamo una porzione di fluido in un sistema di riferimento cartesiano xz e consideriamo un singolo punto (i lati del triangolo sono infinitesimi) la pressione è indipendente dalla direzione secondo cui agisce ed è quindi una quantità scalare.

N.B. Quelli che prendiamo in considerazione sono volumi, non compare l’altezza perché per semplicità la prendiamo uguale a 1.

Pressione in un punto (fluido in movimento)

Il risultato ottenuto precedentemente vale in maniera più generale; a patto che non si mettano in gioco gli sforzi tangenziali lungo le facce dovuti alla viscosità e si consideri quindi un flusso ideale, anche per i fluidi in movimento: In entrambe le dimostrazioni abbiamo un termine che dipende dalla massa (o la forza peso o un termine inerziale) che scompare, diventa infatti un infinitesimo di ordine due e messo a confronto con gli infinitesimo di ordine uno dei termini della pressioni non ha molta influenza e può essere semplificato: tutto ciò è chiamato effetto scala.

Legge di Stevino

Abbiamo dimostrato che la pressione non cambia con la direzione. Allora come cambia? Vediamo quindi la variazione di pressione in un fluido fermo, in equilibrio. Per quanto riguarda l’equilibrio in direzione x la P deve essere uguale alla P₄₃, la distribuzione di pressione non varia in direzione orizzontale (Σx=P implica Δz-P₃ Δz=0 che P₃ =P₄). Questa formulazione della legge di Stevino vale solo per i fluidi a densità costante, per quelli a densità variabile devo ricorrere alla sua forma differenziale grazie alla quale posso considerare un volume così piccolo da far sì che la mia densità sia costante. ( <definizione di derivata> quindi dP/dz=-ρg)

N.B. Consideriamo sempre dei volumi e per convenienza mettiamo la profondità uguale ad 1.

Fluidi a densità variabile

Come detto poco fa se la densità è variabile bisogna usare la forma differenziale della legge di Stevino: dove ρ è funzione della variabile z ovvero della quota. L’ultima espressione dove troviamo l’integrale viene usata se voglio delle variazioni finite di pressione e non infinitesime. Chiaramente qualcuno mi deve dire come varia la densità ρ.

Quota piezometrica

Se abbiamo un serbatoio d’aria che contiene un liquido (acqua in questo caso) come varia la pressione al suo interno? All’interfaccia solido liquido avrò una pressione relativa pari a zero, mentre più vado in profondità più aumenta dato che varia come γ = ρg essendo la gravità una costante è la densità (ρ) che governa la legge, infatti in un liquido la pressione aumenta con la profondità: In questo esempio prendo la pressione relativa uguale a zero alla quota z₀ ovvero all’interfaccia liquido gas. Facendo dei semplici passaggi matematici (sottraggo alla legge di Stevino la costante P_atm / ρg) riesco a mettere in evidenza la pressione relativa a posto di quella assoluta. Chiameremo poi h, ovvero P_r / ρg, altezza piezometrica ed aggiungendo ad essa z troveremo z₀ cioè la quota piezometrica relativa che infatti se seguiamo i passaggi avrà la dimensione di un'altezza. Possiamo quindi attraverso all’ultima formula trovare come varia la pressione relativa.

N.B. La pendenza con cui aumenta la pressione è data dalla densità cioè dipende dal liquido, perciò la curva del mercurio sarà molto più ripida rispetto a quella dell’acqua.

Fluidi a bassa densità (gas)

Quanto detto per la legge di Stevino e per i fluidi può essere fatto anche per i gas ma se la densità del fluido è bassa (gas) e le dimensioni dell’ambiente che andiamo a considerare non sono troppo grandi la pressione può essere ritenuta costante (es. la pressione in una stanza di 5 metri di altezza tra il pavimento e il soffitto varia di una quantità, se consideriamo i pascal, del terzo ordine dopo la virgola).

Altezza piezometrica relativa

I discorsi fatti per la legge di Stevino sono sempre validi anche se calcolando l’altezza piezometrica e la pressione relativa non vogliamo fare i passaggi fatti poco sopra e considerare la pressione assoluta sarà tutto uguale, si sposterà solamente il piano dei carichi idrostatici relativi che sarà più alto di una quantità pari a P_atm / γ dove γ è uguale a ρg. Anche se nella maggior parte dei casi si lavorerà con la pressione relativa.

Pressione relativa negativa

L’interfaccia liquido gas non è detto però che mi segnali il piano dei carichi idrostatici relativi. Ad esempio in un serbatoio chiuso non è detto che il gas e il liquido presenti dentro il serbatoio siano alla pressione di un’atmosfera poiché essendo chiuso è un ambiente separato. Ma allora dove troviamo la pressione atmosferica? La troviamo nel condotto che parte dal serbatoio e si collega con l’esterno (dove troviamo la linea tratteggiata) dove c’è anche il piano dei carichi idrostatici relativi. Tutto il liquido sopra il piano sarà ad una pressione relativa negativa ed una pressione assoluta minore di un’atmosfera, è perciò in depressione. Sotto la linea tratteggiata invece avrò una pressione relativa maggiore di zero ed una pressione assoluta maggiore di un’atmosfera, sarò quindi in sovrappressione.

N.B. Pressione relativa negativa è possibile solo in recipienti chiusi (in statica). Il meno sulla formula di P_r,1 sta ad indicare che mi trovo sopra il piano dei carichi idrostatici relativi.

Barometro di Torricelli (1608-1647)

Il barometro di Torricelli non è nient’altro che un tubo trasparente chiuso ad un’estremità riempito di mercurio e poi rigirato in una bacinella con del mercurio. Possiamo immaginare che lo zero della pressione sia in C, possiamo quindi applicando la legge di Stevino (tra il punto B e il punto C) legare la pressione in B (dove abbiamo la pressione atmosferica) e in C. Abbiamo quindi che P = ρgh_mer perciò P_a = gAh_merρ_mer poi semplificando A abbiamo che P_a = ρgh_mer.

N.B. Nella sezione A prendiamo un raggio abbastanza grande da poter trascurare la tensione superficiale. Sott’acqua si sente una pressione maggiore perché è come se l’acqua scaricasse il peso sul corpo. La pressione atmosferica è il peso dei gas che la compongono sopra la nostra testa.

Fluido dinamica

19 ottobre si può studiare ogni figura piana, l’importante è sapere l’area, la posizione del baricentro e il momento di inerzia. Y_cp ci serve per valutare il momento che il fluido esercita sulla superficie. Il diagramma delle pressioni non forma più un triangolo ma un trapezio. Ha usato “b” ma lui usa “l”. Se la superficie si trova sul fondo ed è parallela al piano dei carichi idrostatici, allora per la legge di Stevino ci dice che la pressione sarà uguale su tutta la superficie e quindi il centro di pressione coincide con il baricentro.

Se la superficie è bagnata da 2 liquidi immiscibili fra di loro, il diagramma delle pressioni ha un punto angoloso quando arriviamo nella superficie di contatto dei due fluidi. Tutte le dimostrazioni che abbiamo fatto non sono più valide poiché tutte sono state fatte con “ρ” costante. Allora per trattare questo problema spezzo la superficie in 2 superfici (quelle dei due fluidi) e applico le formule singolarmente. Attenzione perché il piano dei carichi idrostatici dell’olio non è lo stesso dell’acqua che sarà più in basso.

Come si possono trattare le superfici curve?

Prendendo in considerazione un recipiente avente una superficie non piana, in questo caso AC. Come valuto la spinta? Ragioniamo sulla porzione di fluido interna alla superficie ABC. Ci sarà una forza F che la parete curva esercita sul fluido, la Forza Peso (circa nel centro della superficie ABC) e 2 Forze perpendicolari ai piani AB e BC. F (relativa alla superficie curva) avrà una componente verticale e una orizzontale.

Componente verticale

Volume di liquido sopra la superficie curva = V_abc + h_ac (volume della superficie considerata) (volume della superficie sopra il lato AB) S_v = forza che il fluido esercita sulla superficie curva nella sua componente verticale.

Componente orizzontale

Se girassi la figura la spinta verticale è verso l’alto? Per l’equilibrio alla rotazione posso considerare la spinta orizzontale e verticale applicate singolarmente nei loro punti di applicazione:

1. La FORZA verticale deve passare per il baricentro dal volume d’acqua sopra la superficie.
2. Per la FORZA orizzontale posso utilizzare le stesse formule di prima.

N.B. La forza verticale può essere diretta verso l’alto.