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NOTAZIONE
e(i) = generica base ortonormale (tutte componenti nulle tranne la i-esima componente)
V = V1e(1) + V2e(2) + V3e(3) + ... + Vne(n) = Vie(i)
A = \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\) = dij = matrice
PRODOTTO MATRICE PER VETTORE
V = Au con V = Vie(i) ed u = aje(j)
\(\begin{cases} V_{1} = a_{11}u_{1} + a_{12}u_{2} + a_{13}u_{3} \\ V_{2} = a_{21}u_{1} + a_{22}u_{2} + a_{23}u_{3} \\ V_{3} = a_{31}u_{1} + a_{32}u_{2} + a_{33}u_{3} \end{cases}\)
in forma compatta
\(\begin{cases} V_{i} = a_{ij}u_{j} \end{cases}\)
DELTA DI KRONECKER
Presa una base ortonormale in 3 dimensioni S = {e(1), e(2), e(3)}
\(\begin{cases} \bar{e}_{(i)} \cdot \bar{e}_{(i)} = 1 \\ \bar{e}_{(i)} \cdot \bar{e}_{(j)} = 0 \end{cases} \Rightarrow \bar{e}_{(i)} \cdot \bar{e}_{(j)} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}\)
\(\Rightarrow \bar{e}_{(i)} \cdot \bar{e}_{(j)} = \delta_{ij}\)
ESEMPIO
Siamo in dim 3
Sii = S11 + S22 + S33 = 1+1+1=3
PRODOTTO SCALARE
x x ->t(->w)) ds
∫χ (->x x ->a) ρ dV = ∫χ(->x x ->f) ρ dV + ∫∂χ (->x x ->t(->w)) ds
∫χ (->x x ->a) ρ dV = ∫χ(->x x ∇) dV + ∫χ εijk Tk3 (->ei) dV
Portando i primi due termini di destra a sinistra:
∫χ (->x x (ρ->a - ρ->f - ∇)) dV = ∫χ εijk Tk3 (->ei) dV = φ
φ È una delle equazioni sopra!
ρ ∂/∂t + ρ->u ∇u = ∇ t + ρf
εijk Tk3 (->ei) = 0
V
ε123 T32 + ε132 t23 = T32 - T23 = 0 ⇒ T32 = T23
// Tensione T simmetrico
Parte Antisimmetrica
È legata alla vorticità ω definita come:
ω = ∇ × u̅
Indica la capacità delle particelle di ruotare su se stessa.
Ovvero parliamo di segmenti che mantengono costante l'angolo tra di loro, cioè ruotano rigidamente.
d/dt (δxα + δβi) = ∂u1/∂x2, ∂u2/∂x1, ω3 = Ω12 = −Ω21
ω = ∇ × u̅ = εijk ∂ju(k)
ω(2) = ε213 [∂u(3)/∂x2] + ε221 [∂u(1)/∂x2] + ε231 [∂u(1)/∂x3]
+ ê(3) {ε312 [∂u(2)/∂x1] + ε313 [∂u(3)/∂x1] + ε321 [∂u(1)/∂x1]}
sono le componenti della matrice antisimmetrica
ω = | 0 -ω3 ω2 | | ω3 0 -ω1 | | -ω2 ω1 0 |
= | 0 ∂u2/∂x3 - ∂u3/∂x2 ∂u1/∂x2 - ∂u2/∂x1 | | ∂u3/∂x1 - ∂u1/∂x3 0 ∂u3/∂x2 - ∂u2/∂x3 | | 0 ∂u3/∂x1 - ∂u1/∂x3 ∂u3/∂x2 - ∂u2/∂x3 0 |
Per comprendere il significato fisico prendiamo due segmenti che ruotano rigidamente.
d/dt (δx + δβ) = limh→0 1/2 (δx + δβ) d/dt
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