Appunti Fluidodinamica

La posizione della linea di azione della forza di galleggiamento determina la stabilità:

Il punto di

applicazione di Fb è il - Nel caso a sinistra, la

centro di massa del coppia tende a

volume sommerso raddrizzarlo.

- Nel caso a destra, la

coppia tende a

rovesciarlo.

i La ρ del corpo è una ρ media

Concettualmente possiamo concludere che a seconda delle forze che si generano il corpo potrà

risultare stabile o meno, inoltre il corpo potrebbe rimanere dov’è, galleggiare o altro.

Se la ρ del corpo è uguale alla ρ dell’acqua rimarrà lì, se ρ del corpo è inferiore galleggerà, mentre se

ρ è maggiore tenderà ad affondare, e in particolare affonderà con una determinata velocità.

Fondamentale per la determinazione di ciò, oltre alla ρ, è il volume del corpo dal quale dipenderà

l’equilibrio o meno tra la forza peso e la forza di galleggiamento (infatti se ρ del corpo è inferiore,

fuoriuscirà dall’acqua un volume tale da far sì che il volume immerso generi una spinta in grado di

mantenere l’equilibrio tra le due forze). Nel caso invece che il corpo affondi, la velocità con cui scende

il corpo sarà legata alla forza di resistenza (dipendente dalla forma del corpo). La velocità aumenterà

finché la forza di resistenza non bilancierà la forza verso il basso e quindi non vedremo più un

aumento di v.

In generale come già detto possiamo parlare anche di stabilità o meno, ovvero se poniamo un corpo in

acqua in una determinata posizione, il corpo mantiene la posizione o no?

Per verificare la stabilità diamo al corpo una leggera inclinazione e verifichiamo se la coppia che si

sviluppa è una coppia tale da riportare il corpo in posizione (1) o da ribaltarlo (2).

Di grande influenza a questo proposito è la posizione del baricentro del volume del corpo immerso. Nel

primo caso la quota z del CG coincide sostanzialmente con il pelo libero. Altro fattore fondamentale è

la larghezza del corpo, più è largo e più la forza di galleggiamento sarà spostata verso l’esterno

(barche). Un corpo con stessa larghezza e CG più alto si ribalterà.

Quindi la stabilità di un corpo sarà dovuta alla posizione del baricentro e alla forma del corpo stesso; in

generale potremo giocare su questi aspetti per influire sulla stabilità:

- se il punto di applicazione di Fg è sotto a quello di Fb ~> STABILITÀ DI PESO;

- se non si verifica la precedente condizione su Fg e Fb possiamo comunque trovare la stabilità

aumentando la larghezza del corpo ~> STABILITÀ DI FORMA.

Esempi:

STABILITÀ DI FORMA

Consideriamo ad esempio una petroliera, a seconda che sia carica o scarica varieranno molto le condizioni di stabilità,

quando è carica lo scafo sarà quasi del tutto immerso. Le petroliere come le navi container sono talmente larghe che la

larghezza garantisce la stabilità (di forma) anche quando sono scariche e quindi si ha un innalzamento di CG.

Aspetto costruttivo fondamentale è il pescaggio massimo della nave, la nave può infatti talvolta poggiare su un piano, si

ha infatti un rialzamento della parte di poppa per garantire che timone e eliche siano immerse anche in condizioni di

pescaggio massimo.

Per imbarcazioni di grandi dimensioni la stabilità di forma è raggiunta grazie all’elevata larghezza dell’imbarcazione.

Nella maggior parte dei casi, per imbarcazioni di piccole dimensioni, si ottiene stabilità di forma mediante l’aggiunta di

bumps (allargamento dello scafo).

STABILITÀ DI PESO

Si raggiunge spesso mediante l’aggiunta sotto lo scafo di un contrappeso solitamente in piombo (bulbo) avente una

massa diverse volte maggiore a quella dell’imbarcazione stessa (barche a vela, da competizione, barche pilota, ecc..)

16

So che quello che entra deve anche uscire,

1. Conservazione della Massa: → non ho variazione di m

.- ../

® ®

.Ø à

¥µ%%µ 0123¥(

= = =0

f K

.# .# .# .Ø 6

%±%'(¥µ .1$

= å . ./ + “ .+

##$ ∙ = 0

.£ 6 .# 6#

á

.1$

= å i ../ + “ i.+

##$ ∙

f E

À; ÀÇ

.# 6# K

%±%'(¥µ À; ÀÇ integrale di

Ø=£ e i=1 Ü superficie del

volume di controllo

L’equazione ottenuta si chiama equazione di continuità, casi particolari:

. = costante:

1.1. Fluidi incomprimibili,

6 6/

.1$ .1$

. å ./ + . “ +

##$ ∙ = 0 → +“ +

##$ ∙ = 0

6# 6#

À; ÀÇ ÀÇ

1.2. Regime stazionario (volume di controllo indeformabile di dimensione e

Ÿ = 0:

forma fissa), Ÿ6 .1$

“ +

##$ ∙ = 0

ÀÇ

1.3. Velocità uniforme a ciascun ingresso ed uscita:

.1$

+

##$ ∙ = 0

⁄ Nel caso di flussi mono

ÀÇ dimensionali l’integrale di

superficie si trasforma in un

1.4. Portata Volumetrica: integrale con i rispettivi

segni (+ se esce e - se

entra)

.1$

/ø = å +

##$ ∙ →

@

1.5. Velocità media: esprime la relazione

esistente tra velocità e

(nel caso di flussi /ø portata. Una volta

monodimensionali) 1 .1$ definita la sezione

+

##$ = = å +

##$ ∙

^ 1 1 possiamo trovare con

@ l’equazione di

continuità la velocità

del flusso nel volume di

controllo

21

le forze che agiscono sul nostro sistema sono bilanciate dalla

2. Seconda Legge di Newton: → variazione della quantità di moto

#$ +

##$ .- +

##$ ../

® ®

.Y à

4$ ¥µ%%µ 0123¥(

= ª = = K

.# .# .#

%±%'(¥µ K #$

.Y 6

4$ 4$ 4$

Forza Risultante: = + .1$

ª = å +

##$ ../ + “ +

##$.+

##$ ∙

zc0123¥(d Çc%3›(fifl±‡±(d .# 6#

á

.£ 6 À; ÀÇ

%±%'(¥µ

.1$

f = å i ../ + “ i.+

##$ ∙ K

.# 6# te

K

%±%'(¥µ À; ÀÇ

#$

Y = £ e i = +

##$ Ü risultato dell’applicazione del teorema del trasporto alla

quantità di moto; considerando l’approccio euleriano abbiamo

che la variazione della quantità di moto che non è altro che la

Poiché si ha: risultante delle forze agenti sul volume di controllo; conoscendo

la forza posso vedere come varia la quantità di moto

?

#$

.Y

4$ = ª 6

.# .1$

4$ 4$ 4$

= + = å +

##$ ../ + “ +

##$.+

##$ ∙

‚ z Ç

%±%'(¥µ 6# À; ÀÇ

4$ 4$ ctempo d

= #

· · /

%±%'(¥µ 0‡

2.1. Flusso uniforme con un solo ingresso ed uscita: Questo, da un punto di vista

pratico, lo possiamo andare

Mmm

ad esplodere prendendo in

6 considerazione più nel

.1$

4$ 4$ 4$

= + = å +

##$ ../ + +

##$.+

##$ ∙

⁄ dettaglio le forze che sono la

z Ç 6# ÀÇ forza di volume e la forza di

À; superficie

Nella meccanica dei fluidi la forza di volume è generalmente la gravità:

{$ = Accelerazione di gravità

4$ ###$

å „

= .{$ ./ = o = Ø{$

z À; ###$ ë

o = Peso istantaneo dell intero volume di controllo

À; À;

In molte applicazioni la forza di superficie è causata dalla pressione:

in caso di assenza di sforzi di taglio le forze di superficie sono ricavabili attraverso

mmm

la pressione; c’è il segno - perché la pressione agisce verso l’interno del nostro

.1$

4$ = å o|

corpo mentre noi abbiamo scelto come verso positivo quello uscente. Questo ci

Ç

consente di sviluppare la parte delle forze di superficie ed avere relazioni

@

importanti tra variazione della quantità di moto e variazione delle forze

z{|

Spesso scriviamo le componenti delle forze rispetto al sistema di riferimento:

•

6

94$ .1$

4$ 4$

= + = å % ../ + “ % .+

##$ ∙

G z Ç

G G 6#

K À; ÀÇ

% K

4

G 6

•

4$ )

4 .1$

4$ 4$ 4$

= e +

##$ = ⟹

Â Ê É Ñ = + = å ) ../ + “ ) .+

##$ ∙

H H z Ç

H H 6#

8

Á

4 À; ÀÇ

I K 6

O

K .1$

4$ 4$ 4$

= + = å Á ../ + “ Á .+

##$ ∙

I zI ÇI 6#

7 À; ÀÇ

molto spesso tratteremo flussi stazionari, di conseguenza si elimina la componente dipendente dal tempo e

mai

22 -

di conseguenza è piuttosto intuitivo comprendere la relazione tra la variazione della quantità di moto (quindi

della velocità) e la variazione della sezione.

3. Primo Principio della Termodinamica:

.æ

Yø oø f à

o = .# K

%±%'(¥µ K

æ=å å

m .- = m. ./ K .æ 6 .1$

¿c%±%'(¥µd ;c%±%'(¥µd f å “

= m ../ + m.+

##$ ∙

.# 6#

á

.£ 6 %±%'(¥µ À; ÀÇ

.1$

f å “

= i ../ + i.+

##$ ∙ K

.# 6#

%±%'(¥µ K

À; ÀÇ t

ó

) K risultato dell’unione tra primo principio della

£ = æ e i = m = % + + {| Ü

2 termodinamica e il teorema del trasporto; variazione

di energia per il nostro volume di controllo, l’unico

problema è che si tratta di una equazione non

Dunque si ha: spendibile perché non sappiamo a cosa è riferito

questo

T

.æ 6

Yø .1$

oø

o = = å m ../ + “ m.+

##$ ∙

f

.# 6#

%±%'(¥µ À; ÀÇ

oø

Nota Bene: I termini sono valutati positivi quando il lavoro è fatto dal volume di

controllo sull’esterno. Esso è suddiviso in quattro termini:

non si tratta infatti solo del lavoro sull’asse del motore, ma il lavoro di tutte le forze che compiono un determinato spostamento

oø oø oø oø oø

= + + + , cioè:

]c¥(‡‡µË±‡1d Èc'(Ë%±1˱ Ë1fi¥µ2±d Íc'(Ë%±1˱ α 'µÏ2±1d µ2'fi1

oø

① : Lavoro prodotto dalla turbina a vapore (positivo) ed il lavoro

]c¥(‡‡µË±‡1d

4

speso per azionare un compressore (negativo).

È il lavoro che a noi interessa, quello

applicato sull’asse del motore, ovvero lo .1$

oø :

② Per un elemento di area , possiamo

scambio di energia meccanica con l’esterno È

scrivere un’espressione per lo sforzo normale

.4$ , che sarà dato dalla tensione normale

Ë1fi¥µ2

? moltiplicata per l’elemento vettore area

55

.1$ (normale alla superficie di controllo), quindi

la variazione del lavoro sull’elemento di area

vale: .1$

.4$ ∙ +

##$ = ? ∙ +

##$

Ì 55

-

Potenza infinitesima delle forze di tensione normali

Dal momento che il lavoro esterno sul confine al volume di controllo è opposto di

segno rispetto al lavoro fatto sul volume di controllo, la variazione totale del lavoro

esterno al volume di controllo a causa degli sforzi normali vale:

.1$ .1$

oø = o “ ? ∙ +

##$ = o “ ? +

##$ ∙

Èc'(Ë%±1˱ Ë1fi¥µ2±d 55 55

ÀÇ ÀÇ

23

Lavoro che il sistema fa sull’esterno

oø

③ : Riprendendo la figura precedente, si nota che la forza di

Íc'(Ë%±1˱ α 'µÏ2±1d

taglio agente su un elemento di area della superfice di controllo è data da:

E$.1$ .1$y

.4$ = wE$ = sforzo di tagio agente in una direzione sul piano

Ó

Dal momento che il lavoro esterno sul confine al volume di controllo è opposto di

segno rispetto al lavoro fatto sul volume di controllo, la variazione totale del lavoro

termine dovuto alle superfici in

esterno al volume di controllo a causa degli sforzi tangenziali vale: rotazione (l’asse), nel nostro caso

(possiamo suddividere il lavoro relativo agli sforzi di taglio in tre termini) potrebbe essere un’elica mediante

la quale estraiamo lavoro (turbina)

##$.1$ ##$.1$ ##$.1$ ##$.1$

oø “ “ “ “

= o E$ ∙ + = o E$ ∙ + o E$ ∙ + o E$ ∙ +

Í ÀÇ @c¥(‡‡µË±‡1d %3›(fifl %12Î ±ËÏfi(%%1/3%‡±'µ

+

##$ = 0,

Abbiamo già calcolato il primo termine. Sulle superficie solidi, la velocità

÷

quindi il secondo integrale è nullo. Dunque: importante considerazione concettuale, anche se c’è

ne teniamo già di conto nel Ws , sforzo di taglio, sulle superfici solide il lavoro è nullo

(meccanico)

quindi non lo contiamo nuovamente ##$.1$

oø = o “ E$ ∙ +

Íc'(Ë%±1˱ 'µËÏ(Ëü±µ2±d ±ËÏfi(%%1/3%‡±'µ

Questo termine vale zero se scegliamo una superficie di controllo che attraversa

.1$ +

##$. E$

ciascun ingresso perpendicolare al flusso, allora è parallelo a Dato che è sul

.1$ E$ +

##$,

piano , è perpendicolare a quindi per una superficie di controllo

+

##$:

perpendicolare a se scegliamo opportunamente

oø le nostre superfici (e quindi il

E$ ∙ +

##$ = 0 ⟹ = 0

Í volume di controllo), anche

questo contributo scompare

oø

④ : Dovuto all’energia elettrica od elettromagnetica.

µ2'fi1

Unendo i quattro termini si ottiene: .1$

oø oø oø oø

= o “ ? +

##$ ∙ + +

]c¥(‡‡µË±‡1d 55 Í µ2'fi1

ÀÇ

Sostituendo nel primo principio della termodinamica: 6

Yø .1$ .1$

oø oø oø

o + “ ? +

##$ ∙ o o = å m ../ + “ m.+

##$ ∙

]c¥(‡‡µË±‡1d 55 Í µ2'fi1 6#

ÀÇ À; ÀÇ

Per far sì che l’equazione dell’energia sia spendibile è necessario che non siano presenti

sforzi di taglio, quindi dobbiamo scegliere un volume di controllo vantaggioso

24

siamo quindi riusciti, assumendo di scegliere bene il nostro volume di controllo, ad ottenere

una forma compiuta dell’equazione dell’energia in cui sono effettivamente presenti solo i

I

termini di nostro interesse

cioè: 6

Yø .1$ .1$

oø oø oø

o o o = å m ../ + “ m.+

##$ ∙ o “ ? +

##$ ∙

]c¥(‡‡µË±‡1d Í µ2'fi1 55

6# À; ÀÇ ÀÇ

Dato che:

1 .1$ .1$

c)

.= ⇒ .) = 1 = volume specificod ⇒ “ ? +

##$ ∙ = “ ? .)+

##$ ∙

55 55

) ÀÇ ÀÇ

Abbiamo che: 6

Yø .1$

oø oø oø cm

o o o = å m. ./ + “ o ? )d.+

##$ ∙

]c¥(‡‡µË±‡1d Í µ2'fi1 55

6# À; ÀÇ

Quindi il nostro σ adeguatamente riorganizzato, non

? ≈ o|: nn

Per i fluidi comuni: -

55 va altro che a costituire al Lavoro di pulsione

6

Yø .1$

oø oø oø cm

o o o = å m. ./ + “ + |)d.+

##$ ∙

]c¥(‡‡µË±‡1d Í µ2'fi1 6# À; ÀÇ

_

Ú

m = % + + {|,

Sostituendo: otteniamo il primo principio per un volume di

ó

controllo: LAVORO DI PULSIONE (in un sistema aperto, o in un volume di controllo entra ed

esce della massa con una determinata velocità e ad una determinata pressione)

÷

-

# ,

Ûø Ùø Ùø Ùø ##$

å “ *+

o o o = %& '( + + + ./ + 012 &,

###$ ∙ '3

ıcˆ˜¯¯˘˙˚¯¸d ˝ ˘˛!"¸ #$ -

)( )4

nel caso di fluidi incomprimibili la variazione di v diviene molto piccola quindi

vediamo che questo termine non è altro che il trinomio di Bernoulli, quindi

3.3 Equazione di Bernoulli: l’equazione dell’energia (in condizioni di assenza di attrito) non ci dice altro che le

1 stesse cose del trinomio di Bernoulli, con la differenza che l’equazione dell’energia,

pur non avendola scritta esplicitando le τ, contiene gli effetti di esse (attriti —> causa

.

se conosco la Vs posso trovare m=Vs A;

. delle irreversibilità). Nell’equazione di Bernoulli abbiamo assunto in partenza le τ=0,

conoscendo la distribuzione di velocità progetto

-

in questo caso abbiamo invece soltanto ipotizzato di considerare un volume di

p