Appunti Fluidodinamica

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B" =Per un fluido incomprimibile, costante:j 2% %∗, = å o .) ≈ å o .)S1 U S1 UL LB B% ≈ L ) = ,, ) ≫ , 0.

Dal momento che per l’integrando per è essenzialmenteè,Lo spessore di moto / impulso: è la distanza alla quale la piastra dovrebbe esseremossa per cui la perdita di quantità di moto sia equivalente alle perdite causatedalla presenza dello strato limite. La quantità di moto senza strato limite è:j j ó"%L .) + . "% .) + .® ®La quantità di moto con lo strato limite è: Quindi, laB Bj "#L o %& .) + .®perdita dovuta allo strato limite è: Se immaginiamo di tenere laBL è,velocità cosante e muoviamo la lastra di una quantità la perdita di quantità di! ó"LL .) + = "L è+ .®moto è: Eguagliando le perdite di quantità di moto,Bottengo: j Calcolo prima la perditaó"L

lo strato limite diventano accoppiabili perché dentro lo strato limite ho gradienti di velocità ma non di pressione. Fuori dallo strato limite ho la pressione che si lega bene con l'equazione di Eulero. Considerando questi spessori ingrandisco il corpo ed escludo le zone in cui ho sforzi di taglio e quindi posso applicare Eulero su tutto il flusso.

Determiniamo a questo punto la portata attraverso ogni superficie, la quantità di moto attraverso ogni superficie e infine le forze. Sostituendo nell'equazione della quantità di moto otteniamo un'equazione che dipende dal gradiente di pressione, gradiente che possiamo calcolare applicando Bernoulli fuori dallo strato limite.

Il gradiente δP/δx fuori dallo strato limite è uguale a quello all'interno (su ogni sezione) perché, poiché lo strato limite è molto sottile, δP/δy ≈ 0. Usando infine la definizione di δ* e θ otteniamo

quantità di moto eintegrandola ricavo l'andamento di δ rispetto ad x

Lo strato limite laminare cresce come x, mentre quello turbolento come x => lo strato limite turbolento si sviluppa più rapidamente di quello laminare e le tensioni di taglio a parete sono più intense nel regime turbolento.

Troviamo quindi oltre che una espressione per δ anche una espressione per Cf (coefficiente di frizione) sia per il caso laminare che per il caso turbolento:

Laminare

Turbolento

Ricordiamo che tutto ciò che abbiamo detto finora è valido per un flusso con gradiente di pressione nulla (ad esempio il caso della lastra piana).

Consideriamo adesso il caso che il gradiente di pressione non sia nullo

GRADIENTI DI PRESSIONE NEL FLUSSO DELLO STRATO LIMITE

FLUSSI DI FLUIDO SU CORPI IMMERSI

Il corpo subisce un campo di forze (dipendente da molti fattori). Per convenzione F può essere scomposta in due componenti F = F_Drag + F_Lift

- il Drag è la

manieraminore all'aumentare di Re, fino a che raggiungiamo una zona piatta caratteristica degli aspetti legati all'effettoche ha la transizione dello strato limite da laminare a turbolento. L'ultima parte in cui si ha un calo molto forte del CD è quella che corrisponde al passaggio di un flusso con un importante zona laminare ad un flusso turbolentocon la formazione di una scia. Questo si vede bene nel grafico della distribuzione di pressione alla pagina successiva, dove c'è la corrispondenza tra il calo di CD e il passaggio dalla configurazione laminare alla configurazione turbolenta.

Coefficiente di Drag per un cilindro/sfera

Ha una componente dovuta alla forma (pressione) e una d'attrito.

1. Re<1000 - Cd decresce qualilinearmente
2. 1000<Re<3*10^6 - Cd rimane praticamente costante, quindi indipendente da Re
3. Re >3*10^6 - Brusca caduta di Cd
4. Re>>3*10^6 - ulteriore incremento di Cd

Si giustifica l'andamento osservando

L'andamento della pressione in funzione della posizione angolare sulla superficie della sfera:

Ci sono tre curve:

Quella riferita al caso non viscoso (andamento simmetrico => resistenza di forma nulla).

La curva nel caso laminare e turbolento.

Re<1000 -> caso laminare.

Si ha separazione a monte della sezione diametrale a causa dell'intenso gradiente avverso che il caso non viscoso prevederebbe nella sezione posteriore. Sia forma una scia ampia, con quindi un'ampia zona di ricircolo, le forze viscose qui presenti non permettono di recuperare la pressione (come si avverrebbe sempre nel caso non viscoso), quindi a valle la pressione si stabilizza su valori prossimi al valore minimo, e rimane circa costante. Si formano due vortici contro rotanti simmetrici.

Di conseguenza si genera un gradiente di pressione non indifferente tra la parte frontale e posteriore, causando un'intensa azione di drag.

1000<Re<3*10^6 -> i punti di separazione si stabilizzano circa sul piano

diametrale e Cd si mantienecirca costante. La zona di ricircolo e la distribuzione di pressione rimangono circa costanti. Ricordiamoche comunque la forza di resistenza dipende anche da quadrato della velocità.

Re>3*10^6 -> Lo strato limite transisce a turbolento nella zona frontale, lo strato limite si posizionadopo il piano diametrale. La zona di ricircolo si riduce notevolmente, facendo crollare il Cd, si riducequindi la resistenza di forma.

In generale all’aumentare di Re i punti di separazione si spostano a destra, la zona di ricircolo si riducee il drag diminuisce, la distribuzione di pressione recupera simmetria e si riduce.