Fisica Tecnica: Teoria

Fisica tecnica

Trasmissione del calore per conduzione interna

• Il calore si trasmette lungo le linee di flusso termico.
• Il calore si trasmette all'interno di un corpo se e soltanto se la temperatura non è uniforme, quindi ci sono gradienti termici non nulli.
• Insieme di punti ad uguale temperatura = superfici isoterme.
• Insieme di superfici = campo termico.
• Regime variabile = temperatura funzione del tempo.
• Regime stazionario = temperatura indipendente dal tempo.
• Le linee di flusso sono perpendicolari alle superfici isoterme.
• Due linee di flusso non si incontrano mai all'interno di un campo termico ma si incontrano in una sorgente puntiforme.
• Se entro un campo termico individuo una linea chiusa allora individuano le linee di flusso che delimitano questo spazio avrò un tubo di flusso.

Trasmissione del calore per convettività interna

• Il calore si trasmette lungo le linee di flusso termico.
• Il calore si trasmette all'interno di un corpo se e soltanto se la temperatura non è uniforme, quindi ci sono gradienti termici non nulli.
• Insieme di punti ad uguale temperatura = superfici isotermiche.
• Insieme di superfici = campo termico.
• Regime variabile = temperatura funzione del tempo.
• Regime stazionario = temperatura indipendente dal tempo.
• Le linee di flusso sono perpendicolari alle superfici isotermiche.
• Due linee di flusso non si incontrano mai all'interno di un campo termico ma si incontrano in una sorgente puntiforme.
• Se entro un campo termico individuo una linea chiusa "ABCA", individuo le linee di flusso che delimitano questo spazio avrò un tubo di flusso.

Postulato di Fourier

Trasmissione di calore attraverso piastre piane. Quantità di calore trasmessa in regime stazionario:
dQ = λ dA dT dγ / dm

• λ: Conduttività termica
• dA: Area
• dT: Temperatura
• dγ: Tempo
• dm: Spessore piastra

λ = Quantità di calore che si trasmette nell'unità di tempo, attraverso coppia di elementi unitaria, a distanza unitaria.

Una ulteriore elaborazione

dQm = -λ dA dγ dT / dm

1. Semplice versione ma è inversa la quantità di calore che si trasmette nel tempo γ è proporzionale alla derivata della temperatura rispetto ad m.

Equazione di Fourier

Hp:

• Materiale omogeneo e isotropo
• Il materiale presenta gradienti termici: Flusso termico.

Per conoscere l'andamento del calore bisogna conoscere il campo termico e quindi la funzione temperatura T(x,y,z, t). Utilizzare Fourier considerando la legge della calorimetria su un elemento infinitesimo dV.

Dati:
dV = dx . dy . dz
dQ_i = Quantità di calore che rimane all'interno (differenza tra calore che entra e calore che esce)
dQ₂ = Quantità di calore che è prodotto internamente

Calorimetria
dQ = c M dT → dQ_i + dQ₂ = c S dVdT/dt
Quindi dQ_i = c . S dV . dT / dT

Trovo dQ_z:
dLQ_x = dLQ_x
dLQ_y
dLQ_z

Applico il postulato di Fourier a tutte le facce
dLQ_x = -λ · dy · dz · d_r · dT/d_r
dLQ_x+dx = λ · dy dz d_r dT/d_r + d²T/dx²

Faccio la differenza e trovo dLd_x
dLd_x = λ · dy · dz · d_r · d²T/dx · d_x
dLd_x = λ · dV · d_r · d²T/dx²

Faccio la stessa cosa per tutte le facce
dQ_dy = λ_y ∙ dV ∙ dv ∙ ^d2T⁄_dy²
dQ_dz = λ_z ∙ dV ∙ dv ∙ ^d2T⁄_dz²

Sapendo che λ_x = λ_y = λ_z = λ → Materiale isotropo
dQ_.. = λ ∙ dV ∙ dv ^d2T⁄_dx² + ^d2T⁄_dy² + ^d2T⁄_dz²
dQ_.. = λ ∙ dV ∙ dv ∇²T

Calcoliamo dQ₂
dQ₂ = qv ∙ dv ∙ dv

Calcoliamo dQ_tot
dQ_tot = dQ_.. + dQ₂ → cδ ∙ δx ∙ δy ∙ δT = λ ∙ dV ∙ dv ∇²T + qv ∙ dv ∙ dv
Q = λ/cδ ∙ ∇²T + qv/cδ

Se D = ^λ⁄_cδ ottengo
D∇²T + 9V = T/t
Se 9V=0 → No produz. interna di calore
Da cui D∇²T = T/t
Se regime stazionario T=T_st → T/t=0