Formulario Fisica Tecnica: Formule e Costanti

IN OUT

fluida, ω la velocità media di essa).

Differenziando: d(ρωA)=0  dρωA+ρdωA+ρωdA=0

Dividendo per ρωA: dρ/ρ + dω/ω + dA/A = 0.

Primo principio della termodinamica per sistemi fluenti

Riprendendo l’equazione generale vista prima per Y e inserendoci i termini in entrata e

uscita, si ottiene una roba del genere:

∑M’ (e +e +e )

INi internaINi potINi cineticaINi

+Ĺ +Q’-∑M’ (e +e +e )=∂(Me )/∂τ

TOT OUTu internaOUTu potenzialeOUTu cineticaOUTu TOT

cioè esplicitando le espressioni di ciascun termine energetico specifico:

2

∑M’ (u +gz +ω /2 )

INi INi INi INi 2 2

+Ĺ +Q’-∑M’ (u +gz +ω /2 )=∂[M(u+gz+ω /2)]/∂τ.

TOT OUTu OUTu OUTu OUTu

È quindi evidente che la somma algebrica di tutti gli scambi energetici sia puri sia

associati al trasporto di massa, deve eguagliare la variazione energetica del sistema

nel tempo.

Analizziamo in dettaglio i vari termini:

- M’ è la portata massica del fluido;

- u è l’energia interna per unità di massa del fluido;

- gz è l’energia potenziale gravitazionale per unità di massa del fluido;

Sia l’energia interna che potenziale sono definite a meno di una costante: per la prima

il valore in uno stato di riferimento, per la seconda il valore rispetto a quello assunto

ad una quota di riferimento. Poiché gli stati di riferimento sono gli stessi sia per le

grandezze valutate alla sezione di ingresso, sia per quelle valutate alla sezione di

uscita, non vengono scritti esplicitamente nell’equazione.

- 2

ω /2 è l’energia cinetica per unità di massa del fluido, dove ω è la velocità

media nella sezione considerata di fluido;

- Ĺ è la potenza meccanica totale scambiata dal fluido attraverso i contorni del

TOT

sistema. Anch’essa può essere espressa come M’l e include lavori sia

TOT

dilatativi che non dilatativi. Il contributo dilatativo a sua volta è scomposto

(essendo dovuto a forze agenti su contorni mobili del sistema):

∫d(Pv)=∫Pdv+∫vdP  P v -P v =∫Pdv+∫vdP 

OUT OUT IN IN

l =∫Pdv=∫vdP+P v -P v dove i termini P v P v rappresentano il

D IN IN OUT OUT OUT OUT IN IN

lavoro legato allo spostamento di quei contorni mobili permeabili alla massa che

sono le sezioni d’ingresso e uscita dal sistema: sono detti lavori di pulsione (per

unità di massa) ed esprimono lo sforzo che ciascun elementino di fluido di

massa unitaria deve rispettivamente compiere per entrare e poi uscire dal

sistema, vincendo la pressione all’ingresso/uscita dello stesso. ∫vdP rappresenta

il lavoro legato allo spostamento di contorni mobili impermeabili, anche detto

lavoro utile perché è il lavoro effettivamente estraibile dalla corrente fluida

senza arrestarne il moto, o che è necessario fornire per mantenerla in

movimento.

- Q’ è la potenza termica scambiata dal fluido attraverso i contorni impermeabili

del sistema. Può essere espressa come M’q e q può essere espresso a seconda

delle condizioni del fluido attraverso il calore specifico o il calore di transizione

di fase. Generalmente, la potenza termica eventualmente scambiata attraverso

i contorni permeabili alla massa viene trascurata.

Inserendo nella megaequazione di conservazione dell’energia anche il termine L’ si

TOT

ha quindi: 2 2

∑M’ (u +gz +ω /2 +P v )+Ĺ +Q’-∑M’ (u +gz +ω /2 +P v )

INi INi INi Ini INi INi TOT OUTu OUTu OUTu OUTu OUTu OUTu

2

= ∂[M(u+gz+ω /2)]/∂τ

introducendo l’entalpia h=u+Pv, si può riscrivere come:

2

∑M’ (h +gz +ω /2 )

INi INi INi INi 2 2

+Ĺ +Q’-∑M’ (h +gz +ω /2 )=∂[M(u+gz+ω /2)]/∂τ

TOT OUTu OUTu OUTu OUTu

l’entalpia specifica rappresenta per ogni elemento fluido di massa unitaria il contenuto

energetico statico, non associato né ad un movimento in atto (en cinetica) né ad un

movimento potenziale (en pot).

Per un sistema aperto con un'unica sezione di ingresso e uscita, si ha

2 2

M’ (u +gz +ω /2 )+Ĺ +Q’-M’ (u +gz +ω /2 )=0 cioè

INi INi INi INi TOT OUTu OUTu OUTu OUTu

2 2

M’ (u +gz +ω /2 )+Ĺ +Q’=M’ (u +gz +ω /2 )

INi INi INi INi TOT OUTu OUTu OUTu OUTu

Ciò significa che in condizioni stazionarie la somma di tutti i contributi energetici in

ingresso al sistema associati agli elementini di fluido in movimento, incrementata dagli

scambi energetici netti di tipo meccanico o termico attraverso i contorni impermeabili

del sistema, deve essere uguale alla somma di tutti i contributi energetici in uscita dal

sistema.

Se si esplicitano entrambi i termini come nel caso generale e si divide per M’:

2 2

u +gz +ω /2 +P v +l+q=u +gz +ω /2 +P v

IN IN IN IN IN OUT OUT OUT OUT OUT

e con l’entalpia

2 2

h +gz +ω /2 +l+q=h +gz +ω /2 equazione che useremo quasi sempre da

IN IN IN OUT OUT OUT

qui in poi.

 Per profili di velocità del fluido e perdite di carico, vedi da pag 68 a 72.

Primo principio della termodinamica per sistemi chiusi

Per i sistemi chiusi, l’equazione di conservazione dell’energia si semplifica, perché le

variazioni di energia cinetica e potenziale diventano trascurabili e inoltre non ci sono

masse che devono entrare/uscire dal sistema, quindi il lavoro non è scomposto per

evidenziare i termini di pulsione. if

U +L +Q=U ΔU =L +Q

Il tutto si riassume a . Non si parla più di ingresso e

iniziale tot finale tot

uscita ma di inizio e fine. In termini differenziali e specifici rispetto alla massa si ha

if

du =δl +δq, mentre con riferimento all’unità di tempo, si scrive dU/dτ=Ĺ +Q’.

tot tot

Casi specifici d’interesse di applicazione del primo Principio per sistemi fluenti e

dell’equazione di continuità.

Turbine e turbine idrauliche, compressori e pompe (rotativi)

- Turbina: macchina che processa con continuità una corrente fluida estraendone

lavoro da dare all’esterno, al prezzo di un impoverimento energetico della

stessa. Se il fluido è un liquido, allora la turbina è idraulica.

- Compressore: duale della turbina, prende lavoro dall’esterno per

immagazzinare energia nella corrente fluida processata. Se il fluido è liquido, si

ha una pompa. I ventilatori sono una particolare categoria di compressori. Sono

macchine rotative.

Turbine e compressori costituiscono il gruppo delle turbomacchine, le turbine sono

dette motrici, perché forniscono lavoro, mentre i compressori sono macchine dette

utilizzatrici perché richiedono lavoro. Per tutte e quattro le categorie è immediato

determinare dal primo principio per sistemi fluenti, il lavoro per unità di massa e la

potenza scambiati dalla macchina. Poiché hanno generalmente un solo ingresso e una

sola uscita e si vuole che operino con continuità, allora si usa

2 2

h +gz +ω /2 +l+q=h +gz +ω /2 . Considerando che Δ(gz) solitamente è

IN IN IN OUT OUT OUT

trascurabile, che è possibile dimensionare sezioni di ingresso e uscita in modo che

2

ω =ω e quindi Δω /2 è nullo e che la macchina può essere supposta perfettamente

IN OUT

isolata dal punto di vista termico e quindi operante secondo una trasformazione

adiabatica (q =0), allora si ottiene l=h -h e quindi Ĺ=M’(h -h ).

tot OUT IN OUT IN

Se la macchina è adiabatica, le reversibilità di tipo esterno sono nulle; se poi si

trascura l’effetto degli attriti, sono nulle anche le irreversibilità interne e la

trasformazione che la macchina impone al fluido risulta quindi completamente

reversibile. Si parla in questo caso di macchina ideale isoentropica. Nella realtà può

valere l’approssimazione ad adiabatica, ma gli attriti purtroppo non sono trascurabili.

Pertanto esiste un Δh nella realtà che è diverso da quello ideale isoentropico, in tutti i

casi nel senso di un peggioramento della situazione rispetto all’idealità: le macchine

utilizzatrici, a pari condizioni di ingresso, richiedono più lavoro, mentre quelle motrici

ne offrono di meno. Per tenere in considerazione questi effetti, si definisce il

rendimento isoentropico della macchina:

IST,TI

- η =l /l

per turbine e turbine idrauliche: ;

reale isoentropico

ISC,P

- η =l /l

per compressori e pompe: ;

isoentropico reale

Si nota che in entrambi i casi 0<η<1.

Se per caso le ipotesi date non fossero valide, ovviamente si riparte dall’equazione

lunga, lasciando i termini che van lasciati: per esempio se la macchina non può essere

considerata adiabatica, l’espressione del lavoro specifico diventa l=h -h -q . A pari

OUT IN tot

Δh ottenuto, q comunque riduce le prestazioni. Altrimenti, se la differenza di velocità

2OUT 2IN

in ingresso e uscita non è trascurabile, allora si ha l=h -h +(ω -ω )/2.

OUT IN

Calcolo energetico per scambiatori di calore

Gli scambiatori di calore sono apparecchiature per il trasferimento di energia termica

tra due mezzi fluidi che non vengono a contatto tra loro. Ce ne sono diversi tipi: tubo

in tubo, fascio tubiero, compatti. Per essi la trattazione è ricondotta al calcolo

energetico ed il calcolo termico.

Il calcolo energetico ha l’obiettivo di determinare la potenza scambiata e le

temperature di ingresso e uscita dei fluidi, senza focalizzarsi su come avviene lo

scambio. Il calcolo termico invece analizza come avviene lo scambio.

Vedendo lo scambiatore come un sistema fluente, il calcolo energetico si può fare

utilizzando il primo principio per i sistemi fluenti e l’equazione di continuità. Non

avendo scambio di lavoro, si ha Q’=M’(h -h ), analoga a quella delle turbomacchine,

OUT IN

ma al posto del lavoro si ha il calore. Applicando ora questa ad entrambi i fluidi,

distinguendo con H il fluido più caldo e con C quello più freddo, si ha un sistema con

tre equazioni:

- Q’ =M’ (h -h )

HC H OUTH INH

- Q’ =M’ (h -h )

CH C OUTC INC

- |Q’ |=|Q’ |  Q’ =-Q’

HC CH HC CH

E se lo scambiatore di calore è isobaro e nessuno dei fluidi sta attraversando una

transizione di fase, si possono riscrivere mettendo la T di ingresso e uscita (T e T )

IN OUT

al posto delle h e moltiplicando per il calore specifi