Formulario Fisica Tecnica: Formule e Costanti

Formulario di fisica tecnica

Potenziali termodinamici e grandezze specifiche

Uu = − F U TS G H TS m

Potenziale di Helmholtz; Potenziale di Gibbs; Energia interna specifica;

S H W Qs = h = w = q = m m m m

Entropia specifica; Entalpia specifica; Lavoro per unità di massa; Calore per unità di massa;

Grandezze variabili nel tempo

• Calore diviso la dimensione caratteristica (lunghezza, area, volume)

Forma differenziale dei potenziali termodinamici

(si trascura potenziale chimico e variazione di massa/moli):

= dU TdS − PdV Energia;

= + = dH d(U PV) TdS + VdP Entalpia;

= − = − SdT − dF d(U TS) Pd Potenziale di Helmholtz;

= − = − SdT + VdP dG d(H TS) Potenziale di Gibbs;

Legami vari tra variabili termodinamiche

Si assume sempre costante anche la massa/numero di moli:

• ∂U ∂H = = T ∂S ∂S V P
• ∂U ∂F = − = − P ∂V ∂V S T
• ∂H ∂G = = V ∂P ∂P S T
• ∂F ∂G − = − S = ∂T ∂T V P

Relazioni di Maxwell

Numero di moli/massa sempre costanti:

∂T ∂P ∂T ∂V ∂S ∂P = − = = ∂V ∂S ∂P ∂S ∂V ∂T S V S P T V

da dU; da dH; da dF;

∂S ∂V = − ∂P ∂T T P da dG;

Calore specifico

∂sdq = c = T ∂TdT

• dQ dQ = = = = C cm C cm dT dT Capacità termica e capacità termica di portata

= dU Tds − PdV Relazione fondamentale in forma energetica;

dE = ∑ ( − ∑ ( + = + + me) me) Q − W dU E Ei u k pdt Bilancio energetico;

∆E = ∆U Spesso questa vale perché si trascurano energia cinetica e potenziale;

Energia associata all'unità di massa

e = u + PV e e e = h + e ek p k p Energia associata all’unità di massa;

h = u + PV Entalpia associata all’unità di massa;

∆H = + → ∆T + m P∆V) m P∆V) (cp Variazione di entalpia;

= → = → ∆TdQ mc dT Q mc q = c(∆T)p p p Calore scambiato e calore scambiato per unità di massa;

= −PdVdW Lavoro scambiato;

Bilancio entropico

dS = ∑( − ∑( + + ms) ms) S Si u q irr dt Bilancio entropico: dipende dall’entropia entrante e uscente nel sistema e dall’entropia dovuta a scambi di calore (S ) o di lavoro (o meglio attriti, quindi per irrevresibilità S );

q irr mc dT T TdQ = → ∆S= → ∆s=p f f dS = mc c ln( ) ln( )p p T T T Ti i Per trasformazione internamente reversibile;

∆E = → − + = m e Q − W 0 (e ) 0i u ∆S = → − + + = m s S S 0 (s ) 0i u q irr Se regime permanente;

∆U = Q − W ∆S = + S S q irr Se sistema chiuso; − ∆s ∆h dP s s − s + = − s + → = = = dT v dP dT v dP 2 1 1 2 2 − ∆v dT v v T∆v Dall’equazione di Clausius-Clapeyron che 2 1 esprime in termini differenziali il legame tra P e T in condizioni di saturazione;

Volume massico e densità

V = = v v x + v x)(1 − x vss lsm Volume massico; x è la frazione massica del vapore;

m1 ρ = = v V Densità o massa volumica;

Entalpia e energia per trasformazione sotto la curva limite

xh = h x + h x)(1 − vss ls Entalpia per trasformazione sotto la curva limite (regola della leva);

u = u x + u x)(1 − vss ls Energia per trasformazione sotto la curva limite;

Entropia per trasformazione sotto la curva limite

s = s x + s x)(1 − vss ls Entropia per trasformazione sotto la curva limite;

Entalpia per liquido sottoraffreddato

+ − h = h v P(P )ls ls ls Entalpia per liquido sottoraffreddato

Equazione di Clausius-Clapeyron e variazione di entalpia

− X(X ) = + − Y Y Y(Y ) 11 2 1 − X(X ) X è la variabile di cui si conosce il valore, X e X sono i valori che 2 1 1 2 precedono/seguono quella variabile. Y è la variabile che sto cercando, Y e Y sono i valori che 1 2 precedono/seguono quella variabile

∆h − h h ∆h q = = T vss ls ∆S = ∆S = ∆S − s s T T (iso-T) e (iso-P) quindi Vale se la trasformazione è isotermobarica.

Entropia a volume costante e pressione costante

∆S(T, P) = − → ∆s(T, P) = −f f f f P) m Rln P) c Rln(c ln ) ln p p T P T P i i i i Entropia con volume costante;

T v T v ∆S(T, V) = + → ∆s(T, V) = + f f f f m Rln c Rln(c ln ) ln v v T v T v i i i i Entropia con pressione costante;

Entropia a temperatura costante

v P v P ∆S(P, V) = + → ∆s(P, V) = + f f f f m c c c(c ln ln ) ln ln p v p v v P v P i i i i Entropia con temperatura costante;

Regola dei gas ideali

= → = *PV nRT PV mR T Regola dei gas ideali (T≫T ) e P basse;

Costante dei gas e densità

R P = *R ρ = MM *R T gas Costante dei gas in funzione della massa; Densità o massa volumica;

Trasformazioni isoterme, iso-volumiche e iso-bariche

T P T V = = 2 2 2 2 = V P V P T P T V Se ISO-T; Se ISO-V; Se ISO-1 1 1 1 1 2 2 − c c c 7 γ = = = x p p = + c c R − c c c 5 p v x v v Relazione di Mayer; Usando l'aria, vale Cp/Cv = 7/5. (Cp = 7/2; Cv = 5/2) γ γ = P V P V Vale per trasformazioni ISO-S (ΔS = 0), ovvero adiabatiche e reversibili, ovvero per le 1 1 2 2 politropiche;

Condizioni di equilibrio e gas ideali

1 − γ 1 − γ γ 1 − 2 γ γ = → = − T P T P 1 1 2 2 γ 7 Vale per trasformazioni ISO-S (ΔS = 0), ovvero adiabatiche e reversibili, ovvero per le politropiche;

∆H = ∆T → ∆h = ∆T ∆U = ∆T → ∆u = ∆T mc c mc c p v v e Valgono solo per gas ideali;

Lavoro e calore in trasformazioni isoterme

*mR T dV V ∫ ∫ ∫ 2 2 2 = = = = * * W P dV dV mR T mR T ln 2V V V 1 1 1 Vale se è ISO-T: infatti ΔU = 0 Q = W

Frazione molare e massa molare

w w = ¬ − = m m m e(h + ) (h + ) (e ) 0i u i u 2 2 Vale per ugelli e diffusori;

Relazioni per ugelli e diffusori

 ∆ρ− = ∆PV =h h i u ρ 2 2w w− = − h h u ii u 2 2 ρd dP dA− + = 0 ρ ρ2w A Relazioni per quanto riguarda Ugelli e diffusori. N.B. massa entrante = massa uscente, sempre;

− =m s S(s )i u irr Vale se è un regime permanente con ugelli e diffusori;

Lavoro per compressore/pompa e turbina

 = − >W m h(h ) 0in u i = − <W m h(h ) 0 Lavoro per compressore/pompa (sempre sistema adiabatico)out i u = − <W m h(h ) 0in u i = − >W m h(h ) 0 Lavoro per turbina (sempre adiabatico);out i u

Valvola di laminazione e scambiatori di calore

− =m h(h ) 0i u Valvola di laminazione;

  = −Q m h(h )1 1 1u 1i  = − Q m h(h )2 2 2u 2i  + =Q Q 0 1 2 Per scambiatori di calore (Q +Q =0 perché è adiabatico verso l’esterno);

Rendimento per compressore/pompa e turbina

W Wη = <c/ p−iso η = <1 1t−reale c/ p t W W c/ p−reale Rendimento per compressore/pompa Rendimento t−iso per turbina;

Lavoro per liquido in assenza di irreversibilità

− = −h v P(h ) (P )i u x i u (liquido in assenza di irreversibilità)

Rendimento della macchina motrice

   = − → = −W mT s W W W(s )recuperato amb rev reale recuperato 1 2 Vale solo in caso di reversibilità (Sirr=0, s ≠s )

= + ¬ ∆E = ∆E + ∆EQ Q Wh c h c W Per macchine termodinamiche motrici: bilancio di energia;

Efficienza della macchina frigorifera e pompa di calore

W Qη= = c1−Q Qh h rendimento della macchina motrice, sempre <1;

∆S = ∆S + ∆S(> 0) (< 0)tot c h Variazione di entropia; ΔS e ΔS si considerano nulli;

Variazione di entropia per sorgenti infinite

nodo WQ Q∆S = − =c h S tot irr T T Vale per sorgenti infinite, quindi la loro T è costante sempre anche dopo lo scambio termico; S non è presente perché si considera il sistema adiabatico, quindi non ci sono scambi q verso l’esterno;

Q Q= ¬ =c h S 0irr T T Se il processo è reversibile, non ci sono irreversibilità;

Rendimento di Carnot

c h Tη =1− c^Carnot T Rendimento massimo che si può ottenere (in assenza di irreversibilità e per sistema adiabatica): macchina reversibile di Carnot;

ηη =II η Rendimento di secondo principio, per macchine non reversibili;

Conservazione dell'energia per macchine operatrici

+ =Q W Qc h Conservazione dell’energia per macchine operatrici;

Efficienza della macchina frigorifera

Q 1ε = = =cCOPmf mf Q W −1h Qc Efficienza della macchina frigorifera;

Efficienza della pompa di calore

Q 1ε = = = >hCOP 1pc pc Q W c1− Qh Efficienza della pompa di calore;

Variazione di entropia per sorgenti infinite (ripetizione)

= ∆S + ∆SS (< 0) (> 0)tot c h Come prima, ΔS e ΔS si considerano nulli;

nodo WQ Q∆S = − =c h S tot irr T T Vale per sorgenti infinite, quindi la loro T è costante sempre anche dopo lo scambio termico; S non è presente perché si considera il sistema adiabatico, quindi non ci sono scambi q verso l’esterno;

Q Q= ¬ =c h S 0irr T T Se il processo è reversibile, non ci sono irreversibilità;

Efficienza massima per macchina frigorifera e pompa di calore

c h 1 1ε ε= =T Tmf^rev pc^rev−1 1−h c T Te Efficienza max per macchina frigorifera e pompa di calore (reversibili c h εε =II ε ed adiabatiche); Efficienza di secondo principio, per macchine non reversibili;

Equilibrio termico

rev m c m c T T h h c c+m +m∆S + ∆S = → + = → =eq eq m c c m c cm c m c T T T0 ln ln 0 h h c c c c h h c h c Se le sorgenti non sono infinite, e raggiungono una T di equilibrio (macchine motrici);

Scambio termico e umidità

Q∆S= − = → = −m s Q mT(s s(s ) )ceduto2 1 1T 2 Se sorgente a T costante (ISO-T); ante cost m kg P kg P MM P= = =x= 0.622 0.622v v v v v v v− −m kg P kg P P MM P P Umidità assoluta; as as as as tot v as tot v P xξ=ϕ= v P x(T) Umidità relativa; Grado di saturazione: umidità assoluta fratto umidità di saturazione alla T data;

Pressione di saturazione e temperatura di rugiada

7.5T (°C)=P 237.7+T (°C) 611.2 Pa×10^sat Pressione di saturazione (a T di saturazione=T di rugiada);

λ= + = + → = + = − + + −H H H h m h m h h xh c x c(T 0°C) (0°C) (T 0°C)au as v as as v v au as v Pa s Lv P v aria umida;

 237,7 P ln  ÷sat  7.5T (°C) 611, 2Pa  r= ¬ = 237.7+T (°C)T P 611.2Pa×10 r r sat7,510 611, 2Pa ÷ln P sat Temperatura di rugiada (dalla P di saturazione);

Legge di Stevino

= +H H H−ρ=dP gdx BU auiniz H O evaporata Legge di Stevino; Entalpia di bulbo umido;

Equazioni di Laplace e Poisson

ρ∂ ∂T  2 T q c + = λ λ∂x ∂t² Equazione di Laplace (con variazione di temperatura nel tempo);

∂   2 T q x q + = → = + − + T(x) T T x(s− x)0 (T )1 2 1 λ λ∂x² s² Equazione di Poisson (regime permanente, senza variazione di T nel tempo); le cond al contorno solitamente sono: T(0)=T e T(s)=T ;

 − T T q −λ= +Q A (s− 2x)² 1  λs² Potenza termica trasmessa con Poisson;

∂ 2 T x= → = + −T(x) T T0 (T )1 2 1∂x² s Equazione di Laplace: regime permanente e non viene prodotto calore;

−λ −A T T = − → =Q T Q(T ) 2 12 1s R Potenza termica trasmessa con Laplace; analogia elettrica;

s 1= =R Rλ hλ A hA Resistenza per conduzione (senza movimento di massa); Resistenza con movimento di massa;

Resistenze in coordinate cilindriche

r1 1= =R Rln eλ cil hcil ππ λl r lr h² 2 Resistenze senza e con movimento di massa in coord.i e Cilindriche; λdR 1 1= → = → = ⇒ −r s= r r0 crit crit eλdr r hr h Raggio critico per isolare termicamente e spessore crit crit dell’isolante;

Numero di Biot e conducibilità termica

hD hV= = <Bi 0,1carλ λ A Se il numero di Biot è piccolo (minore di 0,1), allora si può usare il metodo dei parametri concentrati (conduz ince su convez);

Velocità media del fluido e dimensione caratteristica

 ρ −dT dT Vc T T= = = −hA(T − → = → = −  ÷dU mc Q T dt t ∞) ln∞ −dt Q hA T T ∞0 = −Q hA(T T ) Potenza termica trasmessa;1 2 ρ wD µhD c=Re car =Nu= Prcar Pµλ λ Numero di Nusselt; Numero di Reynolds; Numero di Prandtl;

Numero di Grashof e Raileight

ρ −3 2gD T T∞= car sGr µ 2 Ra= Gr Pr Numero di Grashof; Numero di Raileight;

Viscosità dinamica del fluido

ρ −3 Pa×s1,808×10µ= + ×T(°C) 21+ 0, 0337×T(°C) 0, 00022 Viscosità dinamica del fluido;

Calore scambiato in uno scambiatore di calore

 = − ⇒ − = − − Q Q m c T m c T(T ) (T )c f c Pc uc ic f Pf uf if Calore scambiato in uno scambiatore di calore;

Variazioni di temperatura e capacità termica

< → ∆T > ∆T > → ∆T < ∆T C C C; C c f c f c f c f A seconda della capacità termica di portata il fluido freddo può ricevere più calore di quello che da il fluido caldo;

∆T − ∆T∆T = a 0∆T ml ln a∆T Variazione di temperatura media logaritmica; 0 ∆T = =Q h A∆T ml tot ml R Calore scambiato in uno scambiatore di calore (h coef di scambio termico tot globale);

 ∆TQε= = max ∆TQ∞ ∞ Efficienza di uno scambiatore di calore; ΔT è per il fluido con la C minore; max∆T = −T T∞ ic if Variazione di temperatura all’infinito;

Potenza termica scambiata per irraggiamento

 σ= −14 24Q A(T T ) Potenza termica scambiata per irraggiamento tra due corpi neri con fattore di vista unitario;

Potenza termica per corpo grigio e grado di nerezza

Q (T) ε ε= → = grQ Q Gr N Q (T) Potenza termica per corpo grigio e grado di nerezza o emissività;

N λ1 α=ε= ρ cα p Emissività è l’inverso della diffusività termica; Diffusività termica;

σ −4 4T(T ) =Q 1 2ε ε1− 1 1−+ +1 2ε εA A F A1 1 1 1,2 2 2 Potenza termica scambiata per irraggiamento per corpi grigi e fattore di vista non unitario;

Unità di misura e costanti

3m=[v] kg=3 3 3dm= l1m 10 10 Volume:

Pressione: N1Pa= 1 = 5mmHg=1kPa= 0, 01bar 7, 0, 0099atm= 0,145psi2m ; ;1ata= 98066, 5Pa= 5 Pa 1atm=101325Pa1bar 10 = =1kcal 4,1868kJ 1kcal 4,1868kJ=1Nm1J Energia/Calore/Lavoro: kJ kJJ=1W kg kgKs

Potenza: Entalpia specifica: Entropia specifica: J J kgkgK 3K m Calore specifico: Capacità termica: Densità: W Wλ = =[ ] [h] 2mK m K Conducibilità termica: Coefficiente convettivo o liminare: µ = Pa×s[ ]Viscosità: kJkJ W=*R 0, 287 σ −8= =R 8, 3144 5, 67×10 aria kgK 2 4kmolK m KkJm kg=c 4,1868 ρ =g= 9,81 1000PH O kgK H O22 3s m2

Fisica tecnica – Capitolo 1

Un’assunzione fondamentale per l’analisi dal punto di vista macroscopico è l’ipotesi del continuo: la materia viene approssimata ad un continuo in cui ogni elemento anche di volume infinitesimo comprende un grandissimo numero di costituenti microscopici, cosicché è sempre possibile definirne le caratteristiche tramite grandezze