Fisica Tecnica - Esercizi

Fisica Tecnica

Es. 3.1 (lavoro di espansione)

Del gas contenuto in un sistema cilindro-pistone subisce un'espansione per il quale la relazione tra p e V è data da: pVⁿ = costante. Sapendo che p₀ = 3 bar. Si determini il lavoro di espansione in kJ quando V₀ = 0,1 m³ V_g = 0,2 m³ n = 1,5 n = 1,0 n = 2,0.

Svolgimento

L'espressione analitica pVⁿ = cost. in cui il valore di n è una costante caratteristica del processo indica una legge quasi statica della trasformazione politropica.

Poiché cost. = p₀V₀ⁿ p_gV_g sostituendo L = p₀V₀ⁿ 1 − n = p₀V₀V_g¹⁻ⁿ

Per determinare L si trova p_g

p₀V₀ⁿ = p_gV_gⁿ → p_g = p₀ (V₀⁄V_g)ⁿ = 1,06 [bar]

• Sostituendo L = 17,6 [kJ] → per n=1,5

Nel caso in cui n=1 la relazione tra p e V risulta pV = costante e quindi

L = cost ∫VgV0 dv v = cost. ln(Vg⁄V0)

(p₀V₀) ln(^V_g⁄_V0) = 20,79 [kJ]

Nel caso in cui n=2 la relazione tra p e V risulta p = costante e quindi

L = cost∫VgV0 dv = p (Vg − V0) = 30 [kJ]

• Ricorda: 1 bar = 10⁵ N m⁻²
• 1 kPa = 10³ N m⁻²
• L'espansione, come la compressione sono trasformazioni politropiche

È possibile tracciare in grafico p-V per ogni n-viato che mi descrive il processo di espansione.

In ciascun caso il lavoro può essere interpretato come l'area sotto la curva. Nel caso n=0 ho una trasformazione isobara.

• Una trasf. quasi statica è una trasf. in cui tutti gli stati attraverso cui il sistema evolve possono essere considerati di equilibrio.

Es: 3.2 (diff. di in g/jass)

Quattro chilogrammi di gas sono contenuti in un sistema cilindro-pistone. Il gas subisce un processo durante il quale la relazione tra p e V risulta pV¹=cost.

La variazione di energia interna specifica del gas durante la trasf. è u₂-u₁ = -5.6 kJ/kg. Non vi sono variazioni significative di energia potenziale e cinetica del sistema; inoltre il calore netto scambiato durante il processo sapendo che p₁=3 bar.

V₁ = 0,1 m³    V₂ = 0,2 m³

Svolgimento

Il bilancio energetico risulta:

ΔE_c + ΔE_p + ΔU = Q - L

ΔU : Q - L

    - m (u₂ - u₁) . Q - L

• L'energia interna può essere scritta in funzione delle energie interne specifiche ΔU: m (Δu)
• L'energia interna corrisponde alla somma di tutte le variazioni di energie che non sono di tipo cinetico e potenziale.

Q = m (u₂ - u₁) + L -> 0.8 [kJ] -> il lavoro è stato ricavato nell'Es 3.1

↑

il sistema cede energia all'ambiente circostante sotto forma di calore.

• Nell'espansione il lavoro è positivo poiché è il sistema a far lavoro sull'ambiente mentre in una compressione sarà negativo.

Es. 4.6 (Analisi di due trasformazioni in serie)

Dell’acqua contenuta in un sistema cilindro-pistone comp. due trasf. in serie a partite da uno stato in cui la pressione è p = 10 bar e T = 400°C.

Trasf. 1: L’acqua è raffreddata mentre rimane costante p = 10 bar fino al vapore saturo.

Trasf. 2: L’acqua è raffreddata a volume costante fino a 150°C.

Schematizzare i processi nei diagrammi p-v e T-v; trovare lavoro e calore scambiato

durante il processo complessivo in kJ/kg.

Svolgimento

• Lo stato 1 si trova nella regione di vapore surriscaldato poiché la temperatura di saturazione

è minore di quella data (corrispondente a p = 10 bar)

Dalle tabelle, la temp. di saturazione per p = 10 bar è T_s = 179.9 °C

Pochié il lavoro è compiuto solo dal pistone ho che:

• ∫₂¹ pdV = ∫₁² pdV + ∫₃² pdV

Il secondo integrale è nullo poiché sono a volume costante.

Divido per le masse in modo da considerare i volumi specifici:

L/m = p (v₂ - v₁) = 211.2 kJ/kg

dove v_g è il volume specifico del vapore saturo

a p = 10 bar e T_g = 179.9 °C

v_g = 0.1946 m³/kg da tab. T-3

dove v₁ è il volume specifico del vapore surriscaldato

v₁ = 0.3066 m³/kg da tab. T-4

Il bilancio energetico per il processo complessivo è

m (u₃ - u₁) = Q - L

dal 1^o principio della termodinamica usando la variazione di entalpia specifica

Q/m = (u₃ - u₁) + L/m

Es. 5.6 (bilancio energetico e massico di una turbina)

Del vapore d'acqua entra in una turbina operante in regime stazionario con una portata massica m₁ = 4600 kg/h. La turbina sviluppa una potenza all'albero di 1000 kW. In ingresso: p = 60 bar; T = 400°C; w₁ = 10 m/s. In uscita: p₂ = 0.1 bar; x = 0.9; w₂ = 60 m/s. Calcolare le potenze termiche scambiate tra la turbina e l'ambiente.

SVOLGIMENTO

Scriviamo il bilancio energetico tra ingresso e uscita del volume di controllo, in condizioni stazionarie: Q̇_vc = C_vc = 1000 kW 0 = Q̇_vc - C_vc - ṁ(h₂ - h₁) + (w₂² - w₁²)/2] Calcoliamo la variazione di entalpia ricavando h₁ dalle tab T-4 del vapore surriscaldato alla pressione 60 bar e T = 400°C - h₁ = 3177.2 [kJ/kg]. Poichè viene dato il titolo in uscita ho una miscela bifase liquido-vapore, quindi: h₂ = h'_f + x_e(h'_g - h'_f) = 2346.4 [kJ/kg]. Q̇_vc = C_vc + ṁ(h₂ - h₁) + (w₂² - w₁²)/2] = 1000 + 4600/3600 (2346.4 - 3177.2) + (50 ² . 10 ² / 2 . 10^-3) = -61.3 kW

• Tutti i membri del bilancio energetico devono essere espressi in kJ/kg. Per questo motivo la portata massica deve essere in kg/s e la variazione di velocità va moltiplicata ^... 10^-3.
• Inoltre per ottenere i kW (come richiesto qui) basta moltiplicare per kg m² = 10^-3 kJ/kg per velocità kg/s 1 x kg m² 1 kJ 1 kJ/s 1 kg m/s² x 10³ Nm 1s
• Il valore negativo di Q̇_vc indica che il trasferimento di calore avviene dalla turbina verso l'ambiente.

Es 7.10 (rendimento isentropico di una turbina)

Una turbina opera in regime isentropico variando il valore aria da pressione p₁ e temperatura T₁ a valore di pressione p₂. Il lavoro erogato per unità di massa è L_vic. Questo opera adiabeticamente e le variazioni di E_c ed E_p tra ingresso e uscita possono essere trascurati. Sfruttando per l'aria il modello di gas perfetto determinare il rendimento isentropico della turbina.

Svolgimento

Il rendimento isentropico di una turbina in cui non vi è scambio di calore e variazioni di E_p ed E_c è:

ηt = LvicLvicis

(^L_vicis_m) = h₁ – h_2s — poiché Q_sc, E_p, E_c sono nulli nel bilancio dell'energia.

Dalla tabella T-9 si ricava h₁ = 390.88 [kJ/Kg]

Per trovare h_2s possiamo utilizzare la seguente equazione in cui il termine P_ri (T_2s) si ricava dalla tabella T-9 (poiché P₁ e P₂) considerando l'aria come gas ideale.

Pri (T2s) = (psp1) ∙ Pr (T1) = (1.03.0) ∙ 3.681 = 1.1603

P_r (T_2s) = (^1.0_3.0) ∙ 3.681 = 1.1603

Trovate P_2s interpolazione lineare con i valori numerati in tabella T-9

• 1.2314 – 1.1623 Ke 1.1603 – 1.16234 → h_2s = 285.2
• 280.16 – 281.16 → h_2s = 285.14

Quindi ⟹ (^L_vic,is_m) = 340.88 − 285.2 = 105.6 [kJ/Kg]

η_t = ⁷⁶_105.6 ∙ 100 = 70%

• I valori P_r(T) non hanno significato fisico e derivano dai valori di entropia s⁰, anch'essi ricavabili dalle tabelle T-9 e T-11.
• P_ri (T₁) e altri espressioni è ottile quando conosco le sole temperature.
• Tali relazioni valgono solo con l'ipotesi dell'aria assunta come gas ideale.

η_t = W_z/Z • (^L_Wzis)

2 (^L_vic,is_m)

2 compressione