Fisica - Prima parte

FISICA 1

LA CINEMATICA

La cinematica riguarda lo studio del moto di un corpo: essa spiega la relazione che esiste tra le cause che generano il

moto e le caratteristiche di questo e la esprime con leggi quantitative.

LA CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Il punto materiale (o particella) si tratta di un corpo privo di dimensioni ovvero che presenti dimensioni trascurabili

rispetto a quelle dello spazio in cui può muoversi o degli altri corpi con cui può interagire.

Il moto i un punto materiale è determinato, se è nota la sua posizione in funzione del tempo, in un determinato

SISTEMA DI RIFERIMENTO.

La TRAIETTORIA è il luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento e costituisce una curva continua

nello spazio.

La QUIETE è un tipo di moto in cui le coordinate sono costanti e quindi la velocità e l’accelerazione sono nulle.

MOTO RETTILINEO

LA CINEMATICA:

Il moto rettilineo si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati arbitrariamente un’origine e un verso. Il moto

del punto è descrivibile tramite sono x(t). .O .P

X(t) può essere determinata ponendo lungo la retta, dei traguardi collegati ad un cronometro, possiamo cosi

determinare x e t e ricercare la funzione x(t).

i i

DIAGRAMMA ORARIO: ci da le posizioni occupate dal punto nel tempo.

Se nell’istante t=t il punto si trova nella posizione x e nell’istante t=t nella posizione x .

1 1 2 2

Lo SPOSTAMENTO del punto nell’intervallo ∆t = t t è ∆x = x x .

2- 1 2- 1

= ′

′

=

La VELOCITA’ VETTORIALE MEDIA è la rapidità dello spostamento

∆ −

=

Vm = ∆ −

v>0 X cresce

v<0 X decresce

v=0 MOTO RETTILINEO UNIFORME

VELOCITA’ SCALARE MEDIA (sempre positiva)

( − )+( − )

=

Vsm= ∆ −

La VELOCITA’ ISTANTANEA VETTORIALE è la rapidità di variazione temporale della posizione nell’istante t.

()

Vx (t) =

La VELOCITA’ ISTANTANEA SCALARE è il modulo della vettoriale.

Lo SPAZIO PERCORSO NEL MOTO RETTILINEO

+ ()

X(t) = ∫

VALORE MEDIO DI UNA FUNZIONE IN UN INTERVALLO

× ()

Vm = ∫

−

EQUAZIONE DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME (V= costante)

X (t) = x +v(t)

0

Le equazioni del moto rettilineo uniforme o LEGGI ORARIE mostrano che in questo moto lo spazio è una funzione

lineare del tempo: in tempi eguali sono percorsi spazi eguali. La velocità istantanea coincide con la velocità media.

ACCELERAZIONE NEL MOTO RETTILINEO

Quando la velocità del punto varia nel tempo il moto si dice accelerato. Se tra gli istanti t e t la velocità varia da v a

1 2 1

v , si definisce accelerazione media del punto il rapporto tra la variazione di velocità ∆t in cui avviene la variazione:

2 − ∆

=

a =

m − ∆

L’ ACCELERAZIONE ISTANTANEA cioè la rapidità di variazione temporale della velocità è:

^

=

a(x ) =

m ^

L’accelerazione istantanea è dunque la derivata della velocità rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda dello

spazio rispetto al tempo.

Se a=0 la velocità è costante (moto rettilineo uniforme), se a >0 la velocità cresce nel tempo, se a<0 la velocità

decresce.

Se conosciamo a(t) possiamo ricavare v(t) tramite l’integrazione dell’equazione differenziale dal legame tra

l’accelerazione e la variazione di velocità nel tempo dt.

()

V(t) = V + ∫

0

Se l’accelerazione è costante durante il moto questo si dice uniformemente accelerato e la dipendenza della velocità

dal tempo è lineare.

V(t) = V + a(t-t )

0 0

Mentre la posizione x(t) 2

X(t) = x + v (t-t ) + a (t-t ) con t = 0

0 0 0 0

2

X(t) = x + v (t) + a (t) con t = 0

0 0

Dunque, nel moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità è una funzione lineare del tempo mentre lo spazio

è una funzione quadratica del tempo.

− ∆

=

a =

Riguardo ∆>0 si vede che:

m − ∆

- a maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x:

m

• v finale è maggiore di quella iniziale e se la velocità è positiva il valore della VELOCITA’ aumenta, se la

velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta e il valore assoluto diminuisce.

- a minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x:

m

• v finale è minore di quella iniziale e se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce e se la velocità

è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce e il valore assoluto aumenta.

Quindi, se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta; se ha verso

opposto il modulo della velocità diminuisce.

Conoscendo la legge oraria x(t), posso: ()

• calcolare la velocità Vx (t) = ^

• =

calcolare l’accelerazione a(x ) = (derivata seconda della funzione x(t)

m ^

• velocità V= ACCELERAZIONE x TEMPO

Lezione2_Cinematica_2.pdf

Lezione2_Cinematica_3.pdf

MOTO VERTICALE DI UN CORPO

Se trascurassimo la resistenza dell’aria.

Un corpo lasciato cadere liberamente in vicinanza della superficie terrestre si muove verso il basso con

-2

un’accelerazione g= 9,8 ms . -2

Prendiamo un sistema di riferimento con origine al suolo e asse x rivolto verso l’alto, quindi a= -g= -9,8 ms .

Per esempio, consideriamo che il corpo cadendo si muove lungo il verso negativo dell’asse x per cui la velocità è

negativa e negativa deve essere l’accelerazione, in quanto la velocità nel tempo diventa sempre più negativa.

Con a= -g abbiamo

− ^

V(t)= -gt X(t) =

In particolare, il tempo di caduta e la velocità al suolo (in modulo) sono:

√

t =√ v =

c c

Se invece il punto è lanciato verso il basso, condizioni iniziali x = h e v = -v

0 0 1

− − ^

V(t) = - v -gt X(t)=

1

+√ +

t =−

c

√ +

v =

c

Infine, se il punto viene lanciato verso l’alto, con velocità v , ma partendo dal suolo, le condizioni iniziali sono v =0 e

2 0

v = v >0 per t = 0

0 2

− ^

V= v -gt X=

2

Il punto inizialmente sale verso l’alto con velocità che decresce progressivamente (v>0, ma a<0 il punto viene frenato)

22

esso si ferma cioè ha una velocità nulla nell’istante t = v /g e nella posizione x(t ) = v /2 g.

M 2 M

Per t> t il punto che cade da un’altezza x con velocità iniziale nulla, risulta t = e la durata complessiva

√2/=t

M M c M

del moto è 2 t = 2 v /g.

M 2

In conclusione, le due leggi generali sono:

V(t) = v -gt

0

− − ^

X(t)=

MOTO ARMONICO SEMPLICE

Un punto esegue un moto armonico semplice quando la legge oraria è definita da:

x(t) = A sen (ωt +φ)

dove A, ω, φ sono grandezza costanti: A è l’ampiezza del moto, ωt +φ è la fase del moto, ω pulsazione e φ è la fase

iniziale.

Dunque, il moto armonico è un moto vario dove tutte le grandezze che lo descrivono variano nel tempo.

Il moto armonico, considerando che la funzione seno è periodica di periodo 2, risulta essere anch’esso periodico. In

effetti, il punto descrive oscillazioni di ampiezza A rispetto il entro tutte uguali, di periodo T.

Il moto di un punto si dice periodico quando ad intervalli di tempo uguali il punto ripassa nella stessa posizione con la

stessa velocità.

=

T= ovvero

Si definisce frequenza v del moto il numero di oscillazioni in un secondo:

= =

IL PERIODO, E QUINDI LA FREQUENZA, DI UN MOTO ARMONICO SEMPLICE SONO INDIPENDENTI DALL’AMPIEZZA DEL

MOTO.

La velocità del punto che si muove con un moto armonico si ottiene derivando x(t).

() = = ( + )

Con una ulteriore derivazione si ottiene l’accelerazione del punto:

() = = = − ( + ) = − ()

La velocità assume il valore massimo nel centro di oscillazione dove vale ωA e si annulla agli estremi (x=A e x= -A) dove

si inverte il senso del moto. L’accelerazione si annulla nel centro di oscillazione e assume il valore massimo in modulo

(ω^2 A) agli estremi, dove si inverte la velocità, che è sempre proporzionale allo spostamento dal centro di oscillazione.

Le costanti A e φ individuano le condizioni iniziali:

() = = () = = () =

e

Note le condizioni iniziali X e V

0 0

= = +

La condizione necessaria affinché un moto sia armonico è data dall’equazione del moto armonico:

()

+ () =

MOTO NEL PIANO

Nel caso che il moto sia vincolato a svolgersi su di un piano la TRAIETTORIA del punto P è una linea curva.

La posizione del di P può essere individuata per mezzo del raggio vettore che congiunge l’origine con il punto P.

() = = () + ()

Dove Ux e Uy rappresentano i versori degli assi cartesiani che si considerano fissi nel tempo. Se è nota la dipendenza

dal tempo di r, cioè la funzione r(t) è individuato il moto del punto P: conoscere r(t) significa ovviamente dare x(t) e

y(t) oppure r(t) e θ(t) ed è vero anche il viceversa.

La posizione di P lungo la traiettoria può anche essere data da una coordinata curvilinea s, misurata a partire da

un’origine arbitraria.

Il valore di s esprime la lunghezza della traiettoria e varia nel tempo durante il moto: ds / dt indica la variazione

temporale della posizione lungo la traiettoria cioè la velocità istantanea del punto, come definita nel moto rettilineo.

Se diano la forma della traiettoria e la velocità con cui viene percorsa abbiamo fornito una descrizione completa del

moto.

Questa può essere riassunta nella grandezza VELOCITA’ VETTORIALE

= ( + ) − ()

Si chiama vettore spostamento e si definisce VELOCITA’ MEDIA del punto materiale durante l’intervallo di tempo

il vettore rapporto tra spostamento e l’intervallo di tempo necessario per percorrerlo:

=

=

VELOCITA’ VETTORIALE è la derivata del raggio rispetto al tempo.

COMPONENTI POLARI DELLA VELOCITA’

Versore della direzione= U r

Versore ortogonale alla direzione= U θ

Il raggio vettore r può essere espresso come r U

r

= = + = +

quindi

La velocità che è sempre tangente alla traiettoria si scompone in due componenti: la VELOCITA’ RADIALE V , diretta

r

lungo r e di modulo dr/dt , che dipende dalle variazioni di del modulo del raggio vettore, e la VELOCITA’ TRASVERSA

V ortogonale a r e di modulo rdθ/dt.

θ

Il modulo della velocità è

√

= = +

( ) ( )

)

() = ( − ∫ ()

ACCELERAZIONE NEL MOTO PIANO

L’accelerazione nel moto piano deve esprimere le variazioni della velocità sia come modulo che direzione. Nel moto

rettilineo, dove la velocità mantiene sempre la stessa direzione, l’accelerazione è espressa da un solo termine.

Si definisce ACCELERAZIONE VETTORIALE

= =

Come derivata della velocità vettoriale rispetto al tempo o come derivata seconda del vettore spostamento rispetto

al tempo.

( )

= + = +

La prima componente è parallela alla velocità e quindi tangente alla traiettoria ed esprime la variazione del

modulo della velocità;

il secondo termine dipendente dalla variazione di direzione dalla variazione di direzione della velocità, è

ortogonale a questa.

è un vettore ortogonale a diretto verso la concavità della traiettoria.

ⅆ

dice quanto rapidamente cambia la direzione di e quindi di .

ⅆ MOTO DURANTE UN ISTANTE dt

Le rette normali alla traiettoria in due punti molto vicini tra loro si incontrano nel punto C centro di curvatura della

traiettoria nel punto P.

Al variare di P lungo la traiettoria variano sia il valori di R che la posizione di C.

ⅆ con R=CP RAGGIO DI CURVATURA

L’arco di traiettoria ds è pari a R

= =

=√

√

= + = + = + +

Le due componenti si chiamano ACCELERAZIONE TANGENZIALE o CENTRIPETA (diretta verso il centro di curvatura).

In un MOTO CURVILINEO VARIO le componenti sono diverse da zero.

Nel MOTO CURVILINEO UNIFORME è nulla .

Invece nel MOTO RETTILINEO VARIO è nulla .

Solo nel MOTO RETTILINEO UNIFORME = =0.

MOTO CIRCOLARE

Si chiama moto circolare un moto piano la cui traiettoria è rappresentata da una circonferenza.

Considerando che la velocità varia in direzione, l’accelerazione è sempre diversa da zero e agisce una forza centripeta

diretta verso il centro della circonferenza. =

Nel moto circolare uniforme la velocità è costante in modulo e l’accelerazione tangente è nulla per cui se

invece il modulo della velocità cambia nel tempo il moto circolare non è uniforme e è diversa da zero.

s(t

Il moto circolare può essere descritto facendo riferimento allo spazio percorso sulla circonferenza ) oppure

()

(t) () = .

utilizzando l’angolo sottesa dall’arco s(t) con

Se il punto all’istante t occupa la posizione angolare e all’istante t+∆t la posizione angolare nell’intervallo ∆t ha

1 2

subito lo SPOSTAMENTO ANGOLARE = −

Si definisce VELOCITA’ ANGOLARE MEDIA

=

Si definisce VELOCITA’ ANGOLARE ISTANTANEA

= ()

La velocità angolare istantanea è la derivata rispetto al tempo dell’angolo che descrive la posizione angolare del

punto.

= = =

la velocità angolare è proporzionale alla velocità con cui è descritta la circonferenza.

Il moto circolare più semplice è quello uniforme: v e sono costanti e le LEGGI ORARIE sono:

= + = =

)

(

() = + = =

Il MOTO CIRCOLARE UNIFORME È UN MOTO ACCELERATO CON ACCELERAZIONE COSTANTE, ortogonale alla

traiettoria.

= = =

2 2

= =

Si tratta di un moto periodico con periodo

Nel caso del MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME oltre all’accelerazione centripeta variabile perché varia la velocità,

.

=

varia anche il modulo. Consideriamo l’ACCELERAZIONE TANGENZIALE Dato che varia la velocità occorre

considerare l’ACCELERAZIONE ANGOLARE MEDIA.

=

L’ACCELERAZIONE ANGOLARE ISTANTANEA

= = = =

()

Se è nota la legge oraria angolare con le due derivazioni successive determiniamo le variazione dell’angolo e della

()

velocità an