Fisica - onde e elettromagnetismo

LEZIONE 24

CAPITOLO 13

‘LE ONDE MECCANICHE’

ONDA: 1) PROPAGAZIONE NELLO SPAZIO DI UNA PERTURBAZIONE2) SUPPORTATA DA UN MEZZO ELASTICO

v_onda = ^dx/_dt

y - QUANTITÀ DI PERTURBAZIONEx - DIREZIONE DI PROPAGAZIONE

y(x,t) = f [(x±vt)]

FUNZIONE D’ONDA = FUNZIONE IN DUE VARIABILI CHE RAPPRESENTA L’ONDA

y(x,t) + A sin[(x-vt) * ^-2π/_λ] —> ONDA CONTINUA

λ/v = T

A = LUNGHEZZA D’ONDA

T = PERIODO —> TEMPO PER COMPIERE UN’OSCILLAZIONE

FREQUENZA SPAZIALE a = ^2π/_λ

FREQUENZA ANGOLARE w = ^2π/_T = ^2πv/_λ = av

—> A sin (ax-wt)

VELOCITÀ TRASVERSALE: v_y = ^∂y(x,t)/_dt |_{t costante}= -Aw cos (ax-wt) | v_y,max = wA

ACCELERAZIONE TRASVERSALE: a_y = ^∂v_y/_dt|_{t costante}= -w²A sin (ax-wt) | a_y,max = w²A

^∂y(x,t)/_∂x |_{t costante} = aA cos (ax-wt)

^∂2y(x,t)/_∂x² |_{t costante} = -a²A sin (ax-wt)

Lezione 24

Capitolo 13

"Le onde meccaniche"

1. Propagazione nello spazio di una perturbazione
2. Supportata da un mezzo elastico

Funzione d'onda: funzione in due variabili che rappresenta l'onda

y(x,t) = A sin [(x-vt) _-2π/_λ] - onda continua

λ/v = T

A = lunghezza d'onda

T = periodo - tempo per compiere un'oscillazione

Frequenza spaziale: a = _2π/_λ

Frequenza angolare: ω = _2π/_T = _2πv/_λ = a v

A sin (ax - ωt)

• Velocità trasversale: v_y = ∂y(x,t)/∂t |_{x constante} = -Aω cos (ax - ωt)
• v_y,max = ωA
• Accelerazione trasversale: a_y = ∂v_y/∂t |_{x constante} = -ω²A sin (ax - ωt)
• a_y,max = ω²A

∂y(x,t)/∂x |_{t constante} = a A cos (ax - ωt)

(∂²y(x,t)/∂x²) |_{t constante} = -a²A sin (ax - ωt)

Lezione 26

• Interferenza (Cap. 14.1)

"Non avendo massa, le onde, non urtano ma interferiscono"

y₁, y₂, y_tot = y₁ + y₂

Per il principio di sovrapposizione (piccole perturbazioni)

y₁(x,t) = A sin (ax - ωt)

y₂(x,t) = A sin (az - ωt)

y_r = y_r[x,t) + y₂ (z,t)

Formule di prostrafusi: sin(a) + sin(b) = 2 sin (a) - cos (a-b/2)

y_r: 2 A sin (a x₀+az₀, zut/2) cos (ax₀-az_k/2)

OSS.

• Se a (x_s-z₀) = 0 cos[z]=a
  • Interferenza costruttiva (fig. 14.3 a)
• x₀, z = 2Nt/a, = Na
• Se a (x_s, z) == cos [] = 0 = y₀
  • Interferenza distruttiva (fig. 14.3 b)
• x₀, z, π = 2Nt/a = a/NA
• Se a (x_s, z) = π
• x₀-z₀ = π/2
  • Interferenza a quadratura

14.3 (a) Interferenza costruttiva

φ = 0°

14.3 (b) Interferenza distruttiva

φ = 180°

Se due onde di stessa frequanza e stessa direzione e con uno sfasamento allora l'equazione dell'onda risultante, sarà:

y = 2A cos (1/2) sin (ax-wt + φ/2)

φ = 2. 2. x₀.

cos (φ/2) = { 1 → costruttiva -1 → distruttiva √a/2 → quadratura

φ (x, x_i)

Lezione 27/28

Onda Stazionaria

Un'onda stazionaria è la sovrapposizione di due onde di uguale ampiezza e uguale frequenza che si propagano nella stessa direzione e in versi opposti. Poiché le due onde componenti trasportano in versi opposti la stessa quantità di energia, l'energia netta trasportata dall'onda stazionaria è nulla.

γ = (2A sin kx) cos ωt

1^a armonica λ = 2L f = ᵥ/₂L

2^a armonica λ = L f = ᵥ/L

3^a armonica λ = ⅔ L f = 3ᵥ/₂L

m-esima armonica fₙ = ᵥ/₂L

λₘ = 2L/m

fₙ = ᵥ/λₘ = m/₂L ᵥ = m/₂L √(T/μ)

Tensione

Densità lineare di massa

Lezione 29

Forze Elettriche e Campi Elettrici

• L'unità di carica elettrica

e = 1.602·10^-19 C (coulomb)

• Forza fra due cariche elettriche

F = k_e ᵩ₁ᵩ₂/r²

[F] = N = N·m²/c² · c²/m²

ove k_e = 8.988·10⁹ N·m²/c²

• La legge di Coulomb esprime l'interazione fra due oggetti carichi di dimensioni piccole rispetto alla loro distanza
• Costante di dielettrico nel vuoto: ε_e = 1/4πk

(k_e = 1/4πε)

ε_e = 8.854·10^-12 c²/N·m²

Campo Elettrico

(forza)

"Rappresentato di spazio attorno all'oggetto con linee di campo vettoriali sui cui agisce la forza quando si inserisce una seconda particella"

Q = carica sorgente

non si trova

q = carica di prova

si muove

Q >> q

E_q ≈ k_e ^Q/_r² î

E = F_{e, q}/_q

[E] - ^N/_C

carica di prova

Q > 0

Q < 0

Campo del dipolo elettrico

(pag. 268)

Principio di sovrapposizione

∑_tot (x, y, z) = E₁ (x, y, z) + E₂ (x, y, z)

|E₁|=|E₂| = k_e ^q/_r² = k_e ¹/_{y² + x²}

cos ϴ = ^a/₂

E_tot = E₁ + E₂ = 2 k_e ^q/_{y² + x²} cos ϴ

= 2k_e ^q/_{(y² + x²)²} = k_e ^2qa/_{(y² + x²)²} = E_tot

se y >> a => E_tot ≈ k_e ^{2q a}/_y³

Linee di campo

1. Le linee di campo devono avere origine dalle cariche positive e terminare sulle cariche negative; nel caso di un eccesso di carica di un tipo, alcune linee inizieranno o termineranno all'infinito
2. Il numero di linee di campo è proporzionale alla carica
3. Due linee di campo non si possono intersecare

Lezione 30 - Capitolo 20

Potenziale elettrico: V = ^U/_q

[V]: Volt = ^Joule/_Coulomb

• Potenziale
• Differenza di potenziale (o tensione)

ΔV = ^ΔU/_q = -∫_a^b ∈ ⋅ ds

• Differenza di potenziale in un campo uniforme

ΔV = -∫_a^b ∈ ⋅ d = -E ⋅ d (Il segno "-" indica che il potenziale elettrico nel punto b è minore che nel punto a)

Vedi esempio pag 650 #21

• Il potenziale elettrico dovuto a una carica puntiforme in un punto A distanza r dalla carica è dato da:

V = k_e ^q/_r (V_P = k_e (^q₁/_r1 + ^q₂/_r2))

• Energia potenziale di una coppia di particelle cariche:

U = k_e ^q₁q₂/_r12

Componenti campo elettrico - (Cap. 21.4)

ΔV - ∈ ⋅ ds → E_P = ^-1V/_1m

E = {

E_x = -^ΔV/_Δx

E_y = -^ΔV/_Δy

E_z = -^ΔV/_Δz

}

"La superficie di un qualunque conduttore in equilibrio elettrostatico è una superficie equipotenziale: ogni punto sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico si trova allo stesso potenziale"

La capacità

"Per tutti i conduttori si chiama capacità il rapporto tra carica e potenziale (semper costante & semper positiva)"

C = ^Q/_ΔV [C] = Farad = ^Coulomb/_Volt

(Il termine capacità si usa per qualificare i conduttori, cosi come i recipienti)

La capacità di una sfera è data da:

C = ^Q/_ΔV = ^Q/_keQ/R = ^R/_ke = R4πε₀, --- con R = raggio sfera

Se Q è uniformemente distribuita in un volume V, la densità di carica per volume ρ è definita da:

ρ = _Q/_V

Se Q è uniformemente distribuita su una superficie di area A, la densità superficiale di carica σ è definita da:

σ = _Q/_A

Se Q è uniformemente distribuita lungo una linea di lunghezza l, la densità lineare di carica λ è definita da:

λ = _Q/_l

Lezione 31

• Condensatore piano

σ = _Q/_A

E = σ/_ε0

σ/_ε0

ΔV_c^1→2 = -∫₁²σ/_ε0 x ds = -σ/_ε0

d → distanza tra le lastre

→ ΔV_condensatore = -|E| ∙ d

“Siccome i metalli sono equipotenziali, la differenza di potenziale tra i due poli della batteria, deve essere uguale anche tra le due lastre”

• Se c’è campo elettrico tra le lastre, necessariamente devono essere alimentando da una sorgente (batteria)

→ ΔV_c = ΔV_batteria

-∫_c E ∙ ds = ΔV_ext

|E| ∙ d = -σ/_ε0

J/_ε0

Q

J/

Q = C = ε₀ A/_d

C = ε₀ A/_d

ε₀ = dielettrico assoluto

8,854 × 10^-12 C²/N∙m²

Lezione 32 – Capitolo 21

• La corrente elettrica

“Una corrente elettrica è un movimento ordinato di particelle dotate di carica elettrica. Nei conduttori metallici, le particelle cariche che si spostano sono gli elettroni, che hanno carica negativa”

I = ΔQ/Δt

I_me = m_q|v|A

[[I]] = Ampere = C/s

Costante di Avogadro

N_A = 6.022 · 10²³ mol^-1 → "# di particelle in una mole"

N_A = N numero di centri presenti nel campione considerato

M = molarità di sostanza

R = [ ] = Ω (ohm) = V_tot ampere

Resistenza

"Un resistore è un semplice elemento circuito che fornisce una specifica resistenza in un circuito elettrico"

- 1^a legge di Ohm

ΔV = IR

R = ΔV/I

- 2^a legge di Ohm

R = ρ l/A

[ρ] = Ω·m (NA)

in cui il coefficiente di proporzionalità ρ (resistività) dipende dalla materia del materiale e alla temperatura costante

Energia e potenza nei circuiti elettrici

dU/dt (Δ av) = JΩ/dt √ (U = P

| ΔV = P )

[P] = Watt = J/s

Quando la potenza P_i rappresenta la rapidità con cui l’energia viene fornita alla resistenza

P = I²R - (ΔV²)_R → potenza fornita ad un resistore

2^a legge di Kirchoff "Regola delle maglie"

"La somma delle differenze di potenziale ai capi di ciascun elemento all'interno di un percorso chiuso (detto maglia) deve essere zero."

∑_magliaΔV = 0

Esempio 3:

I^mr^s = ΔV_R1 - ΔV_R2 - ΔV_m2 = 0

"I^mr^s= dei nodi

"in ogni nodo, la somma delle correnti deve essere zero "

| ∑ ^mooliI⁺ = 0

Lezione 33

• Circuito R

ΔU_i = ΔU_f → ΔU_i ∙ ΔU_f ∑ ΔV = ϕ = ΔV_Bat + ΔV_R → ΔV_R = -ΔV_Bat ΔV_R = -IR Se ci sono più resistori → ΔV_R = I (R₁, R₂, …, R_N)

• Circuito RC

(bit.ly/2LTJXJ8) Il condensatore si carica Il condensatore si scarica

1. Carica condensatore

e^{- t/τ} q(t) + (-IR) = ϕ q(t) = ϵ → condensatore è scarico I_i = e/R (corrente iniziale) Q_max C ϵ (carica massima) q(t) = C ϵ (1 - e^-t/τ) Q_max (1 - e^-t/τ) con τ = tempo caratteristico → RC e = numero di Nepero D_y/dt e/R e^-t/τ C ϵ/τ e^-t/τ In tant'è di un condensatore, la legge di Ohm vale solo per t=0 I_i = e/R

"Grafico della carica di C" "Grafico della corrente I"

1. Scarica condensatore

Q_max (Sviluppo Logaritmo a pag. 726) q(t) = Q_max e^-t/τ Q_max e^-t/τ I(t) = -Q_max/RC e^-t/τ -Q_max/τ e^-t/τ

Lezione 34

"Meccanica Statistica"

La velocità v_i dei portatori di carica attraverso il filo conduttore è una velocità media detta velocità di deriva

(N_e i N = 10²³)

v_i:

{_vx} = < v_x >= ∑_i=1 v_{x i} / N{_vy} = < v_y >= ∑_i=1 v_{y i} / N{_vz} = ∑_i=1 v_{z i} / N

[ Temperatura = < |s|² > = < v_x² + v_y² + v_z² > ]

q.Ev_j > < v_j > = q.E / m q_e.m = 1.6. 10^-19 C

"La temperatura di un corpo è legata all'energia cinetica (E_k) media dei suoi componenti"

E_k = 1/2 m_e v_m² ---> E_k = 3/2 k_B T ove k_B costante di Boltzmann = 8.62. 10^-5 eV/K

Lezione 35

"Il Flusso" - Campo Elettrico

Φ_e = Σ E . A = Σ E . A . cos θ_{verso superficie ↑ accordo}

(Calcolo a pag. 637)

Φ_e = lim_A→∞ Σ E _i Δ A_i = ∫ E . Ăvedi fig. 149. p. 638

*Il Teorema di Gauss

"Il flusso totale che attraversa una qualunque superficie chiusa che circonda una carica puntiforme q_eè dato da 1/ε k_e ed è indipendente dalla posizione della carica all'interno della superficie"

Φ_e = q / ε_o

Lezione 36

Forze e Campi Magnetici - Capitolo 22

Sorgenti di campo magnetico:

• Magnete permanente
• Pianeta Terra
• Elettromagneti

"La forza magnetica che agisce su una carica q che si trova con una velocità v in un campo magnetico esterno B è:"

F_B = q v x B = |q| v B sin θ

[B] = Tesla = N/C s/m

Una carica puntiforme che entra in un "B" ⊥ alle sue linee di campo si trova di moto circolare uniforme.

F_B = F_centripeta ⇒ q v B = m v²/z ⇒ z = m v/q B

ω = v/z = q B/m T = 2π m/q B

- Faraday - intensità campo magnetico su un filo percorso da corrente

"Un filo percorso da corrente posto all'interno di un "B" uniforme, è soggetto ad una forza proporzionale all'intensità della corrente che lo percorre, ed alla sua lunghezza"

F = B I L sin θ

B = F/I L [B] = T = N/A m

Lezione 37

La legge di Biot-Savart → intensita' campo di un filo rettilineo

k_m = μ₀/4π → μ₀ = permeabilità magnetica nel vuoto = 4π k_m = 4π x 10^-7 N/A² = 4π∙10^-7 N/A²

d = k_m I d x /²

L d = μ₀/4π I d x /² (→ Legge B.S.)

L = μ₀ I/2π

Il campo di un solenoide

"Un solenoide è un filo avvolto su sé stesso in una serie di spire ravvicinate, tutte uguali tra loro"

B = μ₀ N I/ℓ I: μ₀ m I

N: # spire m: # spire x unità di lunghezza

Regola dx

Pollice

Torace

B = μ₀ N I/ℓ

Lezione 38

• "Seminario onde elettromagnetiche"

Lezione 39

• "Teorema di Ampere" (7 legge di Ampere)

• ∯ B · ds = circolazione del campo magnetico

• ∯ B · ds = µ₀ I

• Nel caso del cerchio: B · 2πr = µ₀ I

• Nota F_B ⊥ ds → W₀ = 0 → Il campo magnetico non fa lavoro

Lezione 40

• Circuito RL (L: bobina/spira/solenoide) - 23.6 798

Es.

• Spira

B(0) = µ₀ I / 2πr_spira

• Bobina

B(0) = ΣB_spira = µ₀ I / 2πr_spira

• Solenoide

B_int = µ_eff m I = µ_eff N / 2πr_spira

• "Se I è continuo (quindi non dipende dal tempo) allora il circuito RL si comporta come il circuito RC"

• Flusso - campo magnetico 23.1 783

Φ_B = ∫ B · dA [Φ_B] = Weber = T · m²

• Legge di Faraday-Neumann

"La f.e.m. indotta in un circuito è uguale alla rapidità con cui varia il flusso magnetico attraverso il circuito"

ξ = - ΔΦ(B) / Δt

(Per una bobina E = -N · ΔΦ(B) / Δt)