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33

8.1. LA TEORIA DI FERMI q 2 2 2 4

W = E + p c + m c

e ν ν

E

quindi, ssata e q

1

2 2 2 2 4 2 2 2 4

− − −

− − → (W E ) m c (W E )dW

p c = (W E ) m c p dp = e e

e ν ν

ν ν ν 3

c

m = 0

Sostituendo tutto, nell'ipotesi otteniamo quindi

ν 2 2

16 π V 1

2 2 2

d N = (W E ) p dp dW

e e

e

6 3

(2 π h̄) c

2

d N ρ

La quantità è proprio la densità degli stati nali per cui l'elettrone ha quantità di

dW

p , p + dp W, W + dW

moto tra quando l'energia totale è tra . Utilizzando quindi la relazione

e e e

g g

R S

M = u u dr = concludiamo

if

if i

f

V V 2

2 π 16 π

2 2 2 2

|S | −

dω(p ) = g (W E ) p dp

e if e e

e

6 3

h̄ (2 π h̄) c V

dove sparisce ovviamente la dipendenza dal volume di integrazione.

Nella trattazione fatta, tuttavia, non si è tenuto conto della

attrazione o repulsione coulombiana subita rispettivamente dal-

l'elettrone o dal positrone da parte del nucleo: questa forza porta

Z

una deformazione dello spettro beta dipendente da del nucleo

e dall'energia dell'elettrone. Si introduce quindi un fattore cor-

funzione di Fermi

F (Z, E)

rettivo detto , che in pratica correg-

ge l'approssimazione di onda piana fatta per l'elettrone uscente,

troppo drastica per la sua funzione d'onda. Si ottiene quindi

2

ω(p ) dp = C F (Z, E ) (W E ) p dp

e e e e e e

Se consideriamo la funzione r ω(p ) 1/2 −

e = C (W E )

e

2

F (Z,E ) p

e e

E E = W m = 0

tale funzione è lineare in e interseca l'asse delle ascisse in per : questa

e e ν

plot di Kurie

rappresentazione si chiama . In gura è mostrata la deformazione che ci si

6

m = 0

aspetta nel caso .

ν β

34 CAPITOLO 8. DECADIMENTO

8.2 Regole di selezione

Se torniamo all'espressione della costante di decadimento

2 2

|S |

g p 4 1/2 2

2

2

R

if max dp

c ) ]p

+ m

[W (p

λ = e

7 e

e

e

0

3

2 π h̄ 2

m c +T W

e e,max

= =

l'integrale, scritto come funzione della variabile adimensionale può

0 2 2

m c m c

e e

F ( )

essere calcolato e diviene una funzione della sola variabile . Si ha quindi

0 0

2 2

|S |

g if

λ = F ( )

0

7

3

2 π h̄

λ = 1/τ

e posto 7

3

2 π h̄

F ( ) τ =

0 2

2 5 |S |

g m if

e

F ( )

La quantità , nota dalla teoria la forma dello spettro beta, può essere calcolata.

0 vita media di riferimento

F τ

La quantità , chiamata ha lo stesso ordine di grandezza,

superpermesse permesse

3 5

10 10

circa per le transizioni , mentre vale circa per quelle . Esi-

stono alcune regole di selezione riguardanti la conservazione del momento angolare e la parità

per i decadimenti beta delle transizioni permesse:

regola di selezione di Fermi

4

• secondo la le transizioni permesse lasciano immutati il

∆ J = 0, P = P

momento angolare e la parità del nucleo ( );

f i

regole di selezione di Gamow-Teller 5

• nelle la parità resta immutata, ma il cambio di

±1 →

∆ J = 0, 0 0

momento angolare soddisfa la relazione , con l'eccezione , prevista solo

dalla regola di selezione di Fermi.

y

Deniamo il rapporto tra gli elementi di matrice di Fermi e di Gamow-Teller come

g M

y = F F

g M

GT GT

Dunque nel decadimento beta la variazione del momento angolare tra nucleo padre e glio

sarà 6

• ∆ J = 0 regola di Fermi 7

• ±1

∆ J = regola di Gamow-Teller.

Queste non sono vere e proprie regole di selezione, dal momento che sono possibili, anche

|∆

l> 0 J| > 1

se improbabili, valori di e quindi variazioni .

proibite F τ

Transizioni con elevato valore sono caratterizzate da una violazione delle regole

F τ

di selezione: maggiore è il valore della costante , maggiore è la violazione.

4 Spin antiparalleli.

5 Spin paralleli. antiparalleli

6 Se gli spin sono non può esserci variazione di spin nello stato nale, e allora .

|S −S |

∆ J = = 0

paralleli f i

7 Se gli spin sono portano un momento angolare totale , dunque e questo è possibile

+1 S = S + 1

i f

.

⇔ ±1

∆ J = 0, 35

8.3. L'ESPERIMENTO DI WU

8.3 L'esperimento di Wu K

Durante l'analisi di un esperimento sulle proprietà dei mesoni fu trovato che in alcuni schemi

di decadimento essi si comportavano come particelle dispari, in altri come pari: la legge di

g

conservazione della parità veniva violata. Dal momento che il valore della costante che carat-

K

terizza il decadimento dei è molto prossima a quella del decadimento beta, si ipotizzò che

anche in questo caso la parità potesse essere violata. Fu realizzato l'esperimento da Wu e col-

laboratori, che misurarono la distribuzione angolare degli elettroni emessi da nuclei polarizzati

60 Co

di . Per una funzione d'onda a parità denita deve essere

2 2

|ψ(−x, −y, −z)| |ψ(x,

= y, z)|

o, ugualmente 2 2

|ψ(r, |ψ(r, −

θ, φ)| = π θ, π + φ)|

così una particella, per conservare la parità, deve avere la stessa probabilità di essere emessa

θ π θ

ad un angolo e a rispetto ad una denita direzione (asse z). In altre parole, la funzione

2

f (θ) = a + b cos(θ) + c cos (θ) + ...

non deve contenere potenze dispari del coseno. Essa rappresenta la distribuzione angolare

delle particelle e corrisponde al numero di particelle rivelate sperimentalmente entro un angolo

∆Ω θ

solido attorno alla direzione .

Ovviamente è necessario ssare un sistema di riferimento rispetto al quale denire l'angolo

θ : a questo scopo si denisce l'asse z, che coincide con la direzione e il verso dello spin nucleare.

60 Co

Nell'esperimento Wu sottopose i nuclei di ad un intenso campo magnetico: i dati

raccolti mostrarono che la distribuzione angolare delle particelle beta rispetto alla direzione

dello spin nucleare del cobalto potevano essere descritti da una funzione tipo

f (θ) = A (1 + a cos(θ)) a< 1

, con

la presenza di una potenza dispari del coseno indica inequivocabilmente la non conservazione

della parità. Questo è messo in evidenza anche dalla misura di quantità pseudoscalari.

γ

I rivelatori di consentono di misurare il grado di polarizzazione tramite una misura del

grado di anisotropia della radiazione emessa: per un campione totalmente polarizzato ci si

β

36 CAPITOLO 8. DECADIMENTO

γ

aspetta che al radiazione sia emessa con la distribuzione angolare mostrata in gura. La

β θ =

quantità studiata sperimentalmente è la frequenza dei per due orientazioni opposte,

0, θ = π . γ

Le osservazioni sperimentali sono riassunte nella gura seguente: i raggi in un campo

magnetico vengono emessi anisotropicamente, e la loro misura (che avviene simultaneamente

con due rivelatori) fa capire quando i nuclei sono polarizzati, mentre la misura delle particelle

β viene fatta in due volte separate, con il campo magnetico in due diverse orientazioni (i dati

∆P (π) > ∆P (0)

sono stati in seguito sovrapposti, mostrando chiaramente ).

La non conservazione della parità signica che accanto all'esperimento reale non si possono

realizzare in natura esperimenti "speculari". Nelle interazioni forti ed elettromagnetiche non

compaiono nell'hamiltoniana termini che non conservano la parità: per analogia tutti i termini

che non conservano la parità furono omessi nello scrivere l'hamiltoniana per le interazioni deboli,

no e quando l'esperienza mostrò che essi non possono essere eliminati.

Capitolo 9

Emissione γ

γ

La radiazione è l'emissione spontanea di quanti da parte del nucleo: emettendo fotoni esso

passa da uno stato eccitato ad uno stato meno eccitato. Vi possono esser transizioni singole,

γ

quando il nucleo emette un solo quanto e transisce allo stato fondamentale, oppure transizioni

a cascata quando l'energia di eccitazione è rimossa tramite l'emissione in cascata di due o più

E M eV A

fotoni. Per nuclei leggeri l'energia è della decina di e diminuisce al crescere di .

γ α β

Molto spesso, a seguito di un decadimento o il nucleo glio, per la conservazione del

momento angolare e/o della parità, viene creato in uno stato eccitato: transisce quindi allo

γ

stato fondamentale con l'emissione di uno o più quanti .

Un nucleo eccitato emette fotoni quando l'energia di eccitazione non è suciente a separare

7 8M eV

un nucleone dal nucleo (circa ) e l'unico modo che esso ha per liberarsi dell'eccesso di

γ

energia è appunto l'emissione , oppure l'energia di eccitazione è superiore a quella di legame

dei nucleoni, ma l'emissione del nucleone è vietata da regole di conservazione della parità o del

momento angolare.

γ l

I quanti emessi possono avere diversi valori del momento angolare :

• →

l =1 radiazione di dipolo;

• →

l =2 radiazione di quadrupolo;

• →

l =3 radiazione di ottupolo. l = 0

Non esiste radiazione di monopolo, cioè con .

γ

I quanti sono il risultato di diverse oscillazioni del uido nucleare, sia elettriche che ma-

gnetiche: le prime sono causate da una ridistribuzione della carica elettrica nel nucleo, mentre

le seconde da una ridistribuzione degli spin e dei momenti angolari orbitali dei nucleoni. L'e-

γ

missione di un quanto è associata alla transizione di un nucleone tra due livelli: la probabilità

può essere calcolata con la solita regola d'oro dn

2 π 2

|M |

P = if

h̄ dE El M l l

Le transizioni elettriche e magnetiche vengono indicate con i simboli ed , dove

sta a indicare il momento angolare del gamma uscente: così si parla di transizioni di dipolo

E1 M 1 E2 M 2

elettrico e di dipolo magnetico , di quadrupolo elettrico e quadrupolo magnetico ,

E3 M 3

di ottupolo elettrico e ottupolo magnetico , di esadecupolo, e così via.

37 γ

38 CAPITOLO 9. EMISSIONE

9.0.1 Regole di selezione

l l

L'insieme di possibili valori di e è determinato dalle regole di selezione del momento

E M

angolare e della parità.

Secondo la prima regola, il momento angolare portato via dalla radiazione elettromagnetica

ed i momenti angolari iniziale e nale dello stato nucleare devono essere legati dalla seguente

relazione |J − | ≤ ≤

J l J + J

i f i f

l

(−1)

La parità di una transizione elettromagnetica vale se la transizione è di tipo elettrico,

E

l +1

(−1)

e se la transizione è di tipo magnetico.

M l l

In base al principio di conservazione della parità, i momenti angolari e della radiazione

E M

Π Π

elettrica o magnetica devono essere legati alle parità iniziale ( ) e nale ( ) dello stato

i f

nucleare dalle seguenti relazioni: l

Π = Π (−1) E

f i l +1

Π = Π (−1) M

f i

9.1 Conversione interna

γ

Oltre all'emissione di quanti vi è un altro meccanismo di diseccitazione: l'emissione di elettroni

per conversione interna. In questo caso l'energia di diseccitazione viene trasferita direttamente

ad un elettrone orbitale, senza alcuna emissione intermedia. In questo meccanismo vengono

emessi elettroni monoenergetici, la cui energia cinetica è determinata anche dall'energia di

legame dell'elettrone nella shell atomica. Il processo ha la più alta probabilità per elettroni

K E < B L

della shell ; se , si può osservare conversione elettronica dalla shell . Il fenomeno di

K X

conversione è sempre accompagnato da emissione di raggi , caratteristici della shell atomica,

elettroni Auger.

e da

9.1.1 Conversione Auger

Questo è il processo che deriva da cambiamenti di stato e della congurazione degli orbitali

atomici: quando un atomo è colpito da un elettrone o un fotone con energia elevata, può

avvenire l'espulsione di un elettrone interno. L'atomo fa sì che un altro elettrone interno si

X

posizioni nella vacanza creata, emettendo energia, che viene espulsa con raggi o ceduta ad

un terzo elettrone, che fuoriesce quindi dalla materia (quest'ultimo è detto appunto elettrone

Auger). 39

9.2. ISOMERISMO NUCLEARE γ

Gli elettroni di conversione possono essere osservati con e senza radiazione : il rapporto tra

coeciente

il numero di elettroni di conversione emessi rispetto al numero di fotoni è detto

di conversione interna ed è denito come 1

N = α + α + α + ...

α = e K L M

N

γ

9.2 Isomerismo nucleare

Le regole di selezione possono rallentare le transizioni elettromagnetiche ad un punto tale che

lo stato eccitato viene ad avere una vita media molto lunga (da una frazione di secondo a molti

metastabile stato isomerico

anni): lo stato eccitato è allora detto o , in analogia con gli

isomeri chimici. −16 8

γ 10 10

Si hanno in natura transizioni con vite medie tra e secondi, ed il punto in cui

uno stato si chiama "metastabile" è arbitrario. Spesso l'isomeria nucleare si accompagna a

β

transizioni .

1 è il coeciente di conversione parziale per gli elettroni della shell .e così via.

(N )

e K

α = K

K N

γ γ

40 CAPITOLO 9. EMISSIONE

Capitolo 10

Modelli nucleari

10.1 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di li-

quido α

Nel 1911 Rutherford, per spiegare i risultati del suo esperimento di diusione di particelle da

−13

≈ 10 cm

nuclei pesanti, ricavò che il nucleo è assimilabile ad una sfera di raggio . In seguito

τ α T

il raggio fu stimato da un'analisi della relazione tra degli emettitori e l'energia cinetica α

delle particelle emesse, che fu trovata essere del tipo

ln τ + a ln T = costante

α

a T 4 9M eV

dove è tale che per un piccolo intervallo di variabilità di (tra e ), la vita media

α

−7 10

10 s 10 y

varia enormemente (tra e ).

[Considerazioni e calcoli fatti per ricavare la formula di Weizsacker].

10.1.1 Applicazioni del modello a goccia −4

10

Il calcolo della massa è molto preciso, con un errore relativo di , ma nel caso di diseccitazioni

dei nuclei, dove nel calcolo intervengono dierenze di masse, il modello non è attendibile. Infatti

γ β

nel caso di diseccitazioni e di decadimento le dierenze in energia dei livelli sono dell'ordine

− −

0.1 1M eV 1 100GeV

di , mentre le masse coinvolte sono dell'ordine e l'indeterminazione

0.1 10M eV

assoluta risulta dell'ordine di .

10.2 Modelli nucleari a particelle indipendenti

Il modello a goccia fornisce una corretta idea di masse nucleari, energie di legame e altri

α β

parametri del nucleo, ma non rende conto dell'emissione e in termini energetici. La sola

analogia con la goccia non era suciente a descrivere il nucleo, tanto è vero che abbiamo dovuto

introdurre due termini ad hoc;inoltre il modello non descrive gli stati eccitati del nucleo.

Sono state notate delle conformazioni di nucleoni particolarmente stabili, che ricordano

da vicino la struttura degli elettroni negli atomi: certi atomi, caratterizzati da un "numero

magico" di elettroni, sono particolarmente stabili. Il modello moderno dell'atomo è basato

sull'assunzione che gli elettroni si muovono indipendentemente in un potenziale centrale: per

analogia possiamo assumere che la periodicità nelle proprietà dei nuclei sia spiegata con un

a particelle indipendenti

modello . In verità, essendo i nucleoni soggetti ad una interazione

41

42 CAPITOLO 10. MODELLI NUCLEARI

forte ed avendo un libero cammino medio molto minore delle dimensioni del nucleo, questa

1

assunzione non sembra corretta. A causa del principio di esclusione di Pauli il libero cammino

medio aumenta e invece questa assunzione risulta corretta. modelo a gas di Fermi

I due modelli a particelle indipendenti considerati sono il e il

modello a shell

.

10.2.1 Il modello a gas di Fermi

Questo modello considera il moto dei nucleoni non interagenti nel campo di una buca di poten-

1/3

R = r A

ziale medio di ampiezza : il potenziale che ogni nucleone sente è la sovrapposizione

0

dei potenziali degli altri nucleoni. Assumiamo che esso abbia la forma di un pozzo, costante

2

nel nucleo e tagliato bruscamente ai bordi. V dp

Il numero di stati possibili per un nucleone in un volume e di momento è

2

4 π p dp

dn = 2

(2 π h̄) momento di

0

Allo assoluto (stato fondamentale) gli stati più bassi sono tutti occupati dal

Fermi p

, : il numero di questi stati si ricava integrando la formula precedente

F 3 3

p V p V

4 π

n = =

F F 3

3 2

(2 π h̄) 3 (6 π h̄ )

poichè ogni stato può contenere due fermioni della stessa specie,

n 3

(p ) V

N = F 3

2

(3 π h̄ )

pF 3

(p ) V

Z = 3

2

(3 π h̄ )

A 3 A

Z = N = V = 4/3 π r si ha

Posto e considerando un volume nucleare di 0

2 pF 9 π h̄

3 3 3

nF 3

=

) = (p ) = p

(p ( )

F 8 r 0

3

pF

nF ≈ 250M eV /c

p = p

da cui si ricava

I nucleoni appaiono come particelle libere in moto nel nucleo con una grande quantità di

energia di Fermi ≈

E 32M eV

moto. L'energia dello stato occupato più alto, detta è ed

F

B E

essendo la dierenza tra la cima del pozzo e l'energia costante per tutti i nuclei e circa

F

7 8M eV , la profondità della buca di potenziale risulta

V = E + B 40 M eV

0 F

L'energia cinetica media per nucleone è 2

3 p

< E >= F

k 10 M

mentre quella totale del nucleo sarà pF

3 nF 2 2

E (N, Z) = N < E > +Z < E >= (N (p ) + Z (p ) )

k n p 10 M

1 Essendo la densità nucleare , risulta un libero cammino medio , ben

−13

38 3

∝ ≈

10 nucleoni/cm 0.3 10 cm

inferiore delle dimensioni del nucleo.

2 Il potenziale protonico ha una profondità inferiore a quello neutronico soprattutto a causa della repulsione

coulombiana.

3 2 Z

p 1/3

p ( )

max A .

2 N 1/3

nmax ∝

p ( )

A 43

10.2. MODELLI NUCLEARI A PARTICELLE INDIPENDENTI

pF

nF , p

p

ossia, sostituendo i valori di 2 2

5/3 5/3

h̄ h̄

3 N 9 π Z 9 π

2/3 2/3

E (N, Z) = ( ) )

( + ( ) =

k 2 2

2/3 2/3

10 M 8 r 8 r

A A

0 0

4

2 5/3 5/3

3 9 π N +Z

2/3

( ) ( )

2 2/3

10 M 8 r A

0

(N Z)

Espandendo la relazione in otteniamo 2

2 −Z)

5(N

9 π h̄

3 2/3

( ) (A + + ...)

E =

k 2

10 M 8 r 9A

0

Il primo termine contribuisce al termine di volume nella formula delle masse, mentre il

energia asimmetrica

6

N = Z

secondo è la correzione per : questa cosiddetta cresce come il

N Z ζ

quadrato di (corrisponde al termine ).

Il range di applicabilità del modello non è molto ampio: può essere fruttuosamente appli-

cato soprattutto per spiegare le proprietà dei nuclei associate alla distribuzione di impulso dei

nucleoni.

10.2.2 Evidenza dei numeri magici nel sistema nucleare

Vi sono molti indizi sul fatto che i nucleoni, all'interno del nucleo, siano organizzati in certe

congurazioni particolari (che ricordano la struttura atomica), caratterizzate da una maggior

stabilità ed identicate dai cosiddetti numeri magici.

1. Numero degli isotopi e degli isotoni stabili attorno ai numeri magici. Se si riporta in

un graco il numero di isotopi stabili in funzione del numero di neutroni e/o di pro-

toni, si notano delle strutture più o meno evidenti in corrispondenza di certi numeri:

2, 8, 20, (28), 50, 82, 126

4 Abbiamo assunto .

n p

R = R

44 CAPITOLO 10. MODELLI NUCLEARI

16 40

O Ca

2. Energia di legame dell'ultimo nucleone intorno ai numeri magici. I nuclei e

8 20

8 20

sono doppiamente magici: hanno cioè un numero di protoni e di neutroni corrispondente

ad un numero magico. Se si aggiunge a questa congurazione un protone oppure un

neutrone, questo ultimo nucleone risulta assai poco legato, segno che la struttura di

partenza era particolarmente stabile. Per esempio, vediamo qualche energia di legame

per l'ultimo nucleone nel caso che si arrivi o si superi di un'unità un numero magico.

In gura sono riportate le dierenze di energia di legame sia sperimentali che teoriche

in prossimità dei numeri magici: è evidente il brusco salto, spesso dell'ordine di qualche

M eV .

3. La sezione d'urto di assorbimento dei neutroni termici presenta dei profondi minimi per

quei nuclei che già posseggono un numero di neutroni pari ad un numero magico.

4. Le famiglie radioattive naturali terminano con il Piombo, che è doppiamente magico.

Da quanto osservato è evidente la somiglianza con il sistema atomico, caratterizzato an-

ch'esso da strutture particolarmente stabili in presenza dei numeri magici (gas nobili).

10.3 Il modello a shell

Si può immaginare che l'aggregato di nucleoni su un livello energetico o su livelli molto vicini

formi una shell nucleare, il cui graduale riempimento conduce alla formazione di nuclei parti-

colarmente stabili, in analogia con la formazione dei gas nobili come risultato del riempimento

45

10.3. IL MODELLO A SHELL

di shell atomiche. A prima vista sembra impossibile costruire un analogo del modello atomico

per il nucleo. Infatti due delle tre condizioni necessarie non sono soddisfatte:

• a dierenza dell'atomo il nucleo non ha un centro di forza isolato;

• i nucleoni, a dierenza degli elettroni, sono particelle fortemente interagenti.

L'interazione tra due nucleoni, a causa della sua intensità e del suo corto range, può essere

−13

≈ ≈

10 cm 40M eV

descritta come una stretta ( ) e profonda ( ) buca di potenziale, che in prima

approssimazione può essere considerata rettangolare. Nel nucleo atomico i nucleoni si muovono

rapidamente gli uni rispetto agli altri a distanze confrontabili con le dimensioni della buca

di potenziale: quindi l'interazione di un nucleone con il nucleo può essere descritta mediante

un campo medio indipendente dal tempo rappresentato dalla buca di potenziale formata dalla

5

sovrapposizione di parecchie buche di potenziale adiacenti e sfericamente simmetrica.

I nucleoni che si muovono nella buca possono trovarsi in diversi stati energetici: il riempi-

mento completo di tutti gli stati più bassi corrisponde allo stato fondamentale del nucleo. Una

collisione tra due nucleoni è ridotta ad una ridistribuzione di momento ed energia tra di essi

e quindi uno dei due nucleoni deve perdere una parte della sua energia e nire in un livello

energetico più basso. Questo comunque non è possibile dal momento che tutti i livelli più bassi

sono completamente riempiti, e secondo il principio di esclusione di Pauli non vi può essere

sistemato nessun ulteriore nucleone. Così il libero cammino medio tra collisioni diviene molto

maggiore di quanto predetto dalla formula precedente, e noi possiamo supporre che i nucleoni

6

all'interno del nucleo siano praticamente particelle non interagenti.

Abbiamo quindi tutte le premesse per costruire il modello a shell del nucleo: particelle non

interagenti, cioè protoni e neutroni che hanno spin semi-intero ed obbediscono al principio di

Pauli, si muovono in campo di potenziale sferico. In prima approssimazione (trascurando la

forza di Coulomb) il campo è lo stesso per protoni e neutroni: in eetti i numeri magici per

modello a

protoni e neutroni sono gli stessi. La versione più semplice di modello a shell è il

particella singola per i nuclei con A dispari

.

10.3.1 Il modello a particella singola

In questo modello si assume che tutti i nucleoni, ad accezione di quello dispari spaiato, formino

un nocciolo (core) inerte sfericamente simmetrico con momento angolare e momento magnetico

uguali a zero: tutte le proprietà di base del nucleo sono determinate dall'ultimo nucleone dispari.

Per determinare la posizione dei livelli di particella bisogna specicare certi parametri della

buca di potenziale: la sua larghezza è presa uguale al diametro del nucleo e la profondità è

determinata dalla condizione che l'energia di legame di un nucleone nel nucleo è dell'ordine di 8

MeV. La soluzione dell'equazione di Schroedinger per una particella in questa buca di potenziale

fornisce una serie di autofunzioni ed autovalori che descrivono i vari stati della particella nella

buca. Se si usa una buca rettangolare si ottiene la soluzione riportata nella tabella che segue.

5 Somiglianza col potenziale centrale.

6 Risolto il problema del libero cammino medio.

46 CAPITOLO 10. MODELLI NUCLEARI

Se si cambia la forma della buca di potenziale i livelli si spostano lunga la scala dell'energia

(talvolta questo spostamento distrugge la sequenza originaria) e si combinano a formare diversi

gruppi di livelli vicini tra loro in energia, ciascuno dei quali separati dagli altri gruppi da un

salto in energia maggiore: questi gruppi di livelli vicini tra loro possono essere considerati le

diverse shell nucleari. Nel modello corretto il numero di occupazione totale di ogni shell deve

coincidere con un numero magico.

Il cambio più naturale della forma della buca consiste in un

arrotondamento dei bordi: una buca del genere prevede i seguenti

2, 8, 20, 40, 70, 112

numeri magici: . 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Un confronto con i numeri magici reali ( )

mostra che questo schema fornisce valori corretti solo per la prime

tre shell. Nel 1949 Goeppert, Mayer e Jensen proposero un mo-

7

dello modicato che tenesse conto della interazione spin-orbita

per i nucleoni: la forma del potenziale diventa

s

V (r) = V (r) + U (r) l

tot potenziale di Wood-Saxon

V (r)

dove è un potenziale detto

(o di oscillatore armonico), arrotondato sia sul fondo che alla

sommità. Risulta 8

−V

V (r) = 0

r−R

1+exp( )

a

1 ∂V

U (r) risulta invece proporzionale a . In questo modo l'e-

r ∂r l

nergia di uno stato con dato momento angolare assume due

s

l

valori che dipendono dalla mutua orientazione di ed : l'orien-

tazione parallela corrisponde al più basso valore di energia (cioè

alla più alta energia di interazione). Viene così osservato uno

l

splitting dei livelli di dato in due sottolivelli di momento an-

1

± np

j = l . Pertanto al posto di uno stato otteniamo i

golare 2

np np nd

due stati e , al posto di uno stato otteniamo i due

3/2 1/2

nd nd j

stati e , e così via: lo stato a maggiore ha la più

5/2 3/2 l

bassa energia. Lo splitting è piccolo per bassi , cresce con esso

l 4

e per diviene così importante che muove i due sottolivelli

1 12

l

l + e in diverse shell. Tutte le shell ora si chiudono sui

2

corrispondenti valori sperimentali dei numeri magici.

7 Questo è il fenomeno per il quale lo spin di una particella risente del moto della particella stessa: l'osserva-

zione più diusa di tale fenomeno riguarda lo spin dell'elettrone di un atomo che risente del campo magnetico

generato dal suo stesso moto orbitale attorno al nucleo atomico.

8 è il raggio nucleare, lo spessore della corteccia nucleare, ossia la distanza che impiega la densità

R a

superciale del nucleo per passare da a , ed è .

0.1 0.9 2.42 f m 47

10.3. IL MODELLO A SHELL

10.3.2 Momenti magnetici e modello di Schmidt

Prendiamo ora in esame i momenti angolari e i momenti magnetici dei nuclei. Per nuclei

A

con dispari, che dieriscono dai nuclei pari-pari per un nucleone addizionale o mancante,

il momento angolare e quello magnetico sono determinati dal momento angolare e magnetico

del nucleone:questa assunzione è pienamente confermata dagli esperimenti, ma si osserva una

situazione anomala quando il momento angolare e il momento magnetico di un neutrone sono

13 C

confrontati con i valori di momento angolare e magnetico del , che dierisce dal nucleo

12 13

C C

pari-pari per un neutrone addizionale. Il nucleo ha lo stesso spin del neutrone, ma il

suo momento magnetico dierisce da quello del neutrone non solo in grandezza ma anche nel

−1.91

0.7 µ µ

segno: contro del neutrone. Stessa conclusione si trae analizzando il nucleo

N N

15 N , che ha un protone spaiato ma un momento magnetico negativo. Questa anomalia può

essere risolta assumendo appunto che il nucleone spaiato partecipi al moto orbitale, generando

ulteriore momento angolare (momento angolare orbitale) e ulteriore momento magnetico. In

analogia con la sica atomica, il momento magnetico corrispondente al momento angolare

l µ = l µ (g ) = 1

orbitale di un protone è , di modo che il rapporto giromagnetico vale .

l N l p

Il moto orbitale del neutrone non crea momento magnetico dal momento che il neutrone ha

(g ) = 0

carica zero, di conseguenza . Schmidt nel 1937 usò questi concetti per sviluppare un

l n

semplice modello a singolo nucleone per spiegare i momenti angolari e magnetici dei nuclei.

A

Secondo questo modello il momento angolare e il momento magnetico di un nucleo dispari

sono determinati dal momento angolare (totale) e dal momento magnetico (totale) del nucleone

spaiato, secondo J = l + s

µ = g l + g s

l s g g

Il diverso valore numerico dei rapporti giromagnetici e è la causa del non parallelismo

l s

J µ µ J

tra e : precede attorno a e il suo valore medio coincide con la sua componente parallela

momento magnetico

J

a . Questo valore medio del momento magnetico, talvolta chiamato

ecace µ , costituisce la grandezza osservabile e che si manifesta negli esperimenti.

ef f

Risulta (g l+g s) J

µJ s

l

µ = µ cos(θ) = =

ef f |J| |J|

ossia il segno del momento magnetico del nucleone è determinato dalla mutua orientazione di

−0.26

s J l µ = µ

e di , oltre che dal valore di . In particolare, quando il protone è nello stato

N

p (l = 1, J = 1/2) µ = 2.79 µ s

invece che quando è nello stato . I corrispondenti valori

N

1/2

48 CAPITOLO 10. MODELLI NUCLEARI

−1.91

µ = 0.64 µ µ = µ

per il neutrone sono rispettivamente e . Questi valori sono in buon

N N 13 15

C N

accordo con i valori sperimentali dei momenti magnetici dei nuclei e considerati sopra.

A

Le gure mostrano un confronto di questi valori calcolati per nuclei con dispari e i corri-

spondenti valori sperimentali: icalcoli sono mpstrati con linee continue e sono noti col termine

linee di Schmidt 9

. g

Un difetto della teoria è assumere che per un nucleone in un nucleo coincida col valore

s g

del nucleone libero: in realtà i valori dei fattori dieriscono considerevolmente da quelli attesi

1 . Spieghiamo questa dierenza in termini della nuvola

per una particella elementare a spin 2 g

di mesoni che circonda il nucleone, e si tiene conto di questo eetto riducendo il valore di :

s

g (legato) = 0.6 g (libero)

nelle gure le linee tratteggiate sono state calcolate con . Questa

s s

correzione (in qualche modo arbitraria) e la dispersione dei punti sperimentali attorno alle linee

teoriche suggeriscono che il modello a shell dia solo una spiegazione semplicata della struttura

dei nuclei.

10.3.3 Nucleoni di valenza

Il modello a shell, nonostante la sua semplicità, spiega con successo spin e parità dello stato

A

fondamentale di praticamente tutti i nuclei -dispari, e in maniera soddisfacente rende conto del

momenti di dipolo magnetico (e anche di quadrupolo elettrico). La particolare interpretazione

modello a shell estremo

del modello a shell che abbiamo considerato è detto . La sua

assunzione di base è che tutti i nucleoni meno uno sono accoppiati e che le proprietà del nucleo

derivano dal moto del singolo nucleone spaiato. Questa è ovviamente una semplicazione

estrema, e come migliore approssimazione possiamo trattare tutti i nucleoni delle shell non

43 Ca N = 20

riempite: così in un nucleo come il con tre nucleoni oltre la shell con , il modello

23

20

a shell estremo considera soltanto il ventitreesimo neutrone, mentre un modello a shell più

realistico dovrebbe considerare tutti e tre i neutroni di valenza.

9 in ordinate, in ascisse.

µ j

N

Capitolo 11

Fissione nucleare

I primi studi relativi alla ssione furono svolti da Enrico Fermi: subito dopo la scoperta del

neutrone iniziò, insieme ai suoi collaboratori, uno studio sistematico delle reazioni indotte dal

bombardamento dei nuclei pesanti con neutroni. In generale il nucleo bombardato diventa

instabile a causa dell'eccesso di neutroni e si porta verso una conformazione più stabile trasfor-

β

mando il neutrone in eccesso in protone, ed emettendo una . In questo modo si ottiene un

Z Z = 92

elemento con maggiore di una unità rispetto a quello di partenza; l'uranio, con era

l'ultimo elemento del sistema periodico conosciuto. Z = 93

Ci si aspettava quindi di ottenere un elemento transuranico, cioè con : quello che

Fermi ottenne fu una serie di elementi nali radioattivi, con tempi di decadimento non noti,

82 < Z < 92

con . Pensarono di aver trovato gli elementi transuranici, ma in seguito Hahn e

Strassmann ipotizzarono che invece fosse avvenuto un processo di "ssione", ossia la scissione

del nucleo bersaglio in due frammenti. La loro ipotesi fu poi confermata da una serie di ricerche

successive. La spiegazione teorica della ssione fu suggerita prima da Meitner e Frisch e poi

ripresa e sviluppata da Bohr e Wheeler, sull'analogia del processo di suddivisione di una goccia

di liquido in due gocce più piccole: è quella usata tutt'oggi per trattare questo processo.

Come nella formula di Wiezsacher sono stati aggiunti due termini semiempirici per tener

conto della carica dei protoni e della simmetria tra protoni e neutroni, anche in questo caso,

2

∝ Z

nell'analogia con la goccia, bisogna tener conto della repulsione coulombiana ( ) e della

maggiore stabilità che si ha per simmetria tra protoni e neutroni, in assenza di repulsione

∝ A

coulombiana ( ). Il processo è schematizzato come

Penetrando in un nucleo pesante, il neutrone lo eccita e lo fa deformare attorno alla forma

sferica: la repulsione elettrostatica che tende ad allungare la goccia può prevalere sulla tensione

49

50 CAPITOLO 11. FISSIONE NUCLEARE

superciale, che invece tende a ripristinare la forma sferica, e quindi il nucleo può spezzarsi in

due parti.

I frammenti della ssione sono però in generale nuclei ricchi di neutroni, e quindi instabili.

Questo spiega perchè durante il processo di ssione vengono emessi uno o più neutroni ed i

β

nuclei frammenti in generale sono emettitori . Un esempio del processo di ssione è

235 140 94

U + n Xe + Sr + 2n

92 54 38

140 94

Xe Sr β

dove e decadono a loro volta .

54 38

Il fenomeno della ssione può anche essere spiegato con l'analogia meccanica di una sferetta

posta in cima ad una collina, che presenta al centro una depressione più o meno accentuata.

ssione spontanea

• Nel primo caso ( ) l'energia necessaria

a far precipitare la sfera è nulla, mentre quella guadagnata

mgh m

è se è a massa della sferetta.

ssione indotta da neutroni termi-

• Nel secondo caso (

ci mg(h−b)

), l'energia necessaria è pari a e l'energia nale è

mgh h b << h

ancora : essendo , con una piccola quantità

di energia iniziale se ne può ottenere una grande quantità

nale. ssione indotta da neutroni velo-

• Nel terzo caso (

ci

), l'energia necessaria iniziale è quasi uguale a quella

guadagnata nale.

Il graco che segue mostra l'energia potenziale di un nu-

cleo che sta subendo il processo di ssione in funzione del-

la distanza tra i due centri dei frammenti: tale energia è

dovuta all'antagonismo tra tensione superciale e repulsione

coulombiana.

Se la depressione è importante, il guadagno dell'energia di legame non è suciente ed il

neutrone deve possedere un'energia cinetica incidente addizionale al ne di indurre la ssione.

51

11.1. LA REAZIONE A CATENA

11.1 La reazione a catena

Il processo può avvenire per qualunque nucleo, ma diventa importante solo per nuclei pesanti

(torio ed oltre). Un'altra caratteristica del processo è che ogni ssione indotta da neutroni pro-

duce molti altri neutroni che possono essere usati per nuove ssioni: questa catena di reazione

di ssioni può avvenire rapidamente e senza controllo, come nel caso di ssione esplosiva, o

lentamente e sotto controllo sicuro, come in un reattore a ssione. Sono importanti 3 parametri

per realizzare e controllare la reazione a catena:

• ν

il numero di neutroni emessi per ogni ssione;

• la distribuzione energetica dei neutroni emessi;

• ∝

P σ

la probabilità di indurre la ssione ( ) 2 2

P ν P ν

Da una ssione primaria ( ) ne scaturisce una secondaria ( ) e così via, ossia

2

N = N (1 + P ν + (P ν) + ...)

0

P ν > 1 N

serie geometrica che diverge per . se è il numero di atomi ssili presenti nel campione,

dopo un tempo più o meno lungo tutti questi atomi saranno scissi, tutta l'energia verrà liberata

ν P

e la reazione a catena si fermerà. Mentre dipende dall'elemento considerato, dipende da

molti fattori, come l'energia dei neutroni, la forma geometrica del materiale,... Maggiore è la

supercie a parità di volume, maggiore è il numero di neutroni che sfuggiranno dal materiale

P

senza fare alcuna reazione, portando quindi a diminuire: per minimizzare la fuga di neutroni,

conviene minimizzar la supercie a parità di volume, tendendo quindi a preferire la forma sferica,

per la quale si parla di

• raggio critico, quello per cui fuga e produzione di neutroni si compensano;

• P ν = 1

massa critica, quella per cui .

P

Un altro modo di variare è quello di variare l'energia dei neutroni, che può essere solo

P

diminuita: in questo modo, si vede che tende ad aumentare. Questo può avvenire attraverso

113

C, D O Cd

l'uso di un moderatore che li rallenti ( ) o li catturi direttamente ( ).

2

Nei reattori, l'innesco della reazione a catena è facilitato e velocizzato dalla presenza, ac-

canto al combustibile, di una sorgente di neutroni: poichè non esistono elementi che emettano

9

γ Be

spontaneamente neutroni, le sorgenti sono miscele di elementi alfa o emettitori e di .

11.2 Caratteristiche della ssione

11.2.1 Distribuzione di massa dei frammenti

I prodotti di ssione non sono determinati in modo univoco, bensì si nota una distribuzione delle

masse dei due prodotti, nella forma in gura. La distribuzione deve essere simmetrica rispetto

A = A

a un valore centrale: la ssione per è meno probabile di un fattore 600 rispetto a

1 2

85 < A < 95, 130 < A < 140

quella per . Fino ad ora non è stata trovata una spiegazione

1 2

convincente a tal proposito, anche perchè la ssione indotta da particelle molto energetiche

mostra al contrario una distribuzione di massa che favorisce prodotti uguali.

52 CAPITOLO 11. FISSIONE NUCLEARE

11.2.2 Numero di neutroni emessi

A = 95, A = 140

I prodotti prossimi ad devono avere 92 protoni: se ciò accadesse in propor-

140

95 Cs

Rb, , estremamente ricchi di neutroni.

zione alle loro masse, i nuclei formati sarebbero 55

37

A = 95 Z = 42 Z = 58

L'isobaro stabile per ha , mentre l'altro ha : i frammenti della ssione

perdono questi neutroni in eccesso attraverso l'emissione di uno o più neutroni all'istante della

−6

10 s

ssione ( ): questi sono chiamati neutroni veloci, e il numero di neutroni veloci emessi

in un evento di ssione varia a seconda della natura dei due frammenti. Il numero medio di

ν

neutroni veloci si indica con (governato da distribuzione gaussiana). In più, vengono emessi

spesso anche neutroni lenti: l'intensità totale del numero di neutroni lenti è di circa 1 su 100,

ma questi sono essenziali per il controllo dei reattori nucleari.

11.2.3 Sezione d'urto della ssione 235 U

La sezione d'urto per la ssione indotta dai neutroni di mo-

1 100eV

stra una zona dominata dalla risonanza, nella regione :

la sezione d'urto termica domina lo scattering e la cattura radia-

tiva. 238 U

Per l' , invece, non c'è ssione nella regione termica: essa av-

viene solo con neutroni di alta energia. Questa enorme dierenza

di comportamento deriva dalla relazione tra l'energia di eccita-

zione del sistema e l'energia di attivazione necessaria a superare

la barriera.

11.3 L'energia nella ssione

Per comprendere perchè durante il processo di ssione si guadagna molta energia, ci riferiamo

all'andamento dell'energia media per nucleone in funzione del numero di nucleoni

≈ ≈ ≈ ≈

A 240 B/A 7.5M eV A 120 B/A 8.5M eV

ricordando che per si ha mentre per si ha :

A = 240 A = 120 A = 120

quando un sistema di nucleoni passa dalla congurazione a più , si

1 2

M eV 240M eV

guadagna circa un per nucleone, cioè circa per l'intero nucleo. 53

11.4. REATTORI A FISSIONE

11.3.1 Potere calorico della ssione 1kg 1kg

Viene denito come l'energia sviluppabile in forma di calore da di combustibile: in di

235 24 26

∝ ∝

U 10 Q = ∆BN 10 M eV /kg =

vi è un numero di atomi . Il potere calorico risulta

92 13 6

10 cal/kg 10

(per il tritolo è ).

11.4 Reattori a ssione

Tutti i reattori sono formati dagli stessi elementi: il carburante, o il materiale ssile; un mode-

ratore per rallentare i neutroni; un riettore che ingloba il nocciolo per ridurre la dispersione

di neutroni; un contenitore per prevenire la sfuggita di prodotti di ssione radioattivi, come i

γ

gas; una schermatura, per prevenire che i neutroni e i raggi provochino danni biologici per il

personale operativo; un rareddante per rimuovere il calore dal nocciolo; un sistema di control-

lo che permetta all'operatore di controllare il livello della potenza e per mantenerlo costante

durante il funzionamento quotidiano e vari sistemi di emergenza.

Tipi di reattori La classicazione base è l'uso per il quale il reattore è progettato. Si

distinguono 3 categorie

• Generatori di potenza: sono utilizzati per estrarre l'energia cinetica dei frammenti della

ssione come calore e per convertire quest'ultimo in energia elettrica;

• Ricerca: sono di solito progettati per produrre neutroni per la ricerca in aree come la sica

1−10M W

nucleare e dello stato solido. Solitamente lavorano a bassi livelli, nel range tra ;

• Conversione: sono reattori progettati per avere un'alta ecienza per convertire materiale

che non è ssionabile con neutroni termini in un materiale che lo sia. La conversione

β

include la cattura di un neutrone a seguito di un decadimento .

Energia del neutrone Si possono progettare i reattori per operare con neutroni termici,

intermedi o veloci.

Tipi di carburante I carburanti più usati sono l'uranio naturale e quello arricchito.

54 CAPITOLO 11. FISSIONE NUCLEARE

Moderatore Il moderatore ideale dovrebbe

1. essere economico ed abbondante;

2. essere chimicamente stabile;

3. avere una massa di circa 1 per assorbire la quantità massima di energia in una collisione

con un neutrone;

4. essere un liquido o un solido in modo che la sua densità sia costante;

5. avere una sezione d'urto di cattura del neutrone minima.

D O

Con l'acqua pesante si può usare l'uranio naturale come carburante, mentre l'acqua

2 BeO

leggera richiede l'uranio arricchito. Vengono usati anche berillio e , anche se è dicile

lavorare con essi e sono veleni pericolosi.

Montaggio I reattori sono di solito classicati come eterogenei quando il moderatore e il

carburante sono concentrati, omogenei quando sono mescolati insieme.

Rareddamento Il rareddamento è una parte essenziale del reattore, senza il quale il calore

generato dalla reazione fonderebbe il nocciolo. I materiali rareddanti possono essere gas, acqua

o altri liquidi, o anche metalli liquidi, che hanno una grande capacità termica.

Capitolo 12

Fusione nucleare

B/A A

Partendo dalla curva di in funzione di è chiaro che esiste un altro modo di guadagnare

A

energia mediante trasformazioni nucleari: nella zona a bassa l'energia di legame per nucleone

2

1.2M eV ( H) 7M eV /A

passa da valori di no a valori dell'ordine di . Sono esempi di questo

1

tipo le reazioni 1 2 3

H + H H + γ ∆B = 4.9M eV

1 1 2

6 2 4

Li + H 2 He ∆B = 22.4M eV

3 1 2

Questo tipo di reazioni nucleari è detto "fusione" o "reazione termonucleare": il termine

indica che due nuclei leggeri vengono fusi in uno più pesante. Anche se in alcuni casi il valore

∆B

di è maggiore, il guadagno energetico per ogni reazione è più basso che nel caso della

ssione, in quanto il numero di nucleoni interessati è molto più basso, mentre il potere calorico

è confrontabile 1 21 32 13

→ ∝

H + H H + γ Q 10 cal/kg

1

1 21 32 13

→ ∝

H + H H + γ Q 10 cal/kg

1

Tuttavia c'è uno svantaggio: prima che i nuclei leggeri possano essere combinati tra loro,

deve essere superata la loro mutua repulsione coulombiana. Tra due nuclei interagenti esiste un

2

Z Z e ≈

R = R +R , f m >>

V = 1 2 , con : la fusione avviene se l'energia cinetica è del

potenziale 1 2

R 7 8

≈ −

decina di keV 10 10 K

potenziale ( ), ossia a temperature molto alte ( ), a cui la materia è in

stato di plasma totalmente ionizzato. Si hanno pertanto problemi tecnologici per raggiungerle

ed avere contenitori che le tollerino (es. laser di potenza, col quale si possono ottenere anche

100J ma per tempi brevissimi, dell'ordine del nano secondo). A queste temperature, il plasma

è contenuto attraverso intensi campi magnetici. 10keV

Al ne unico di studiare il processo di fusione, l'energia cinetica di può essere ottenuta

tramite una macchina acceleratrice (ciclotrone o acceleratore lineare), ma comunque non è

possibile produrre eettivamente energia, solo a scopo di ricerca o per la produzione di minime

quantità di elementi leggeri, radioattivi o no.

Tramite la fusione termonucleare hanno avuto origine gli elementi che oggi compongono

nucleosintesi primordiale (BBN) nucleosintesi stellare

l'universo: si parla di e . La prima av-

venne durante i primi minuti di formazione dell'universo e produsse essenzialmente elio (tracce

di deuterio e litio), mentre la seconda avviene all'interno delle stelle e ne caratterizza la nascita,

la vita e la morte. 55

56 CAPITOLO 12. FUSIONE NUCLEARE

12.1 Basi del processo di fusione

La fusione non è un processo naturale sulla Terra, come invece lo è la ssione, a causa delle

limitazioni imposte dalla barriera coulombiana; una volta superata la barriera, la fusione diventa

molto probabile, poichè i nuclei raggiungono velocemente uno stato di minima energia.

2

p + p He

La reazione di fusione più elementare, non è possibile, a causa dell'instabilità del

2 He . Un'altra reazione elementare è 2 2 4

H + H He + γ 4

γ He

dove il è essenziale per il bilancio di energia, dal momento che non ha stati eccitati.

Ovviamente più sono stabili i prodotti della reazione, più energia viene persa.

4 He

La fusione di 4 protoni per formare è responsabile dell'energia termonucleare persa nelle

H He

stelle simili al sole; il passo successivo, terminato il carburante è la fusione di . La reazione

4 4 8 8 4

He + He Be Be He

più semplice, non viene osservata, perchè il si spezza subito in due

−6

10 s

velocemente quasi quanto si forma ( ). Al suo posto, si verica un processo più complicato

4 12

3 He C

La probabilità di legare insieme tre particelle in un punto è molto bassa; tuttavia il processo

8 Be

nelle stelle prima produce una piccola concentrazione in equilibrio di , e in seguito la cattura

12

α C

di una particella produce una risonanza nel . La grande barriera coulombiana della

reazione dell'elio relativa a quella dell'idrogeno indica che avviene solo nelle stelle più calde (e

più antiche). A temperature davvero elevate possono avvenire altre reazioni che producono dal

56 F e

carbonio energia e prodotti pesanti (no al ).

12.2 Caratteristiche della fusione

Energia persa Q−

Il calcolo è molto più diretto che nella ssione: basta calcolare il valore

della reazione appropriata. Per la maggior parte delle applicazioni della fusione, le particelle

1 10keV

reagenti hanno energie nel range : 1

1 2 2 '

m v + m v Q

b Y

b Y

2 2

b, Y

con particelle prodotte. Trascurando i moti iniziale, i momenti nali sono uguali ed opposti

'

m v m v

b b Y Y

e dunque Q Q

1 1

2 2

' '

m v m v

b Y

b Y

2 1+m /m 2 1+m /m

Y Y

b b

dai quali si può calcolare la distribuzione di energia.

Una conseguenza è immediatamente evidente: la particella più leggera prende la parte più

ampia di energia.

Barriera coulombiana R , R

Se sono i raggi delle particelle interagenti, la barriera è

a X 2 Z Z

e

V = a X

c 4π R +R

a

0 X

quando le particelle si toccano in supercie, l'eetto della barriera coulombiana è molto simile al

α

decadimento : non è necessario che le particelle vi si trovino al di sopra, perchè è la probabilità

di penetrazione della barriera che determina i prodotti. 57

12.2. CARATTERISTICHE DELLA FUSIONE

Sezione d'urto −2

v

L'energia dipende da due termini: e la probabilità della reazione parziale,

−2G

e

che per due particelle cariche include il fattore della probabilità di penetrazione , come nel

α

decadimento . Dunque −2G

1

σ e

2

v

v

con velocità relativa delle due particelle reagenti.

Tasso di Reazione σv

Il tasso di reazione dipende da : per reazioni indotte da neutroni fuori

σ 1/v σv = const

la regione di risonanza, e dunque . Non vale lo stesso per la reazione di fu-

sione: nelle reazioni termonucleari c'è una distribuzione di velocità descritta dalla distribuzione

di Maxwell-Boltzmann 2

−mv /2kT

n(v) e

2

n(v)v dv v, v + dv

dove dà la probabilità di trovare una particella con velocità tra in un insieme

T σv

di particelle in equilibrio termico a data . Risulta più corretto calcolare mediata su tutte

le velocità o energie ∞ 2

−2G −mv

1 /2kT 2

R e e v dv

< σv >∝ 0 v

La teoria semplicata usata n qui per il calcolo è valida solo per le reazioni più semplici: la

σ(v ) (σ(v ), v )

sezione d'urto e il tasso di reazione devono includere la velocità relativa, e , e

rel rel rel

la media dovrebbe essere fatto sulla distribuzione di Maxwell-Boltzmann di entrambe le specie.

Tuttavia, anche specicando dettagli più complessi, le conclusioni restano generalmente valide.

58 CAPITOLO 12. FUSIONE NUCLEARE

Capitolo 13

Passaggio della radiazione attraverso la

materia

I processi di interazione particella-materia dipendono sia dal tipo di particella incidente, sia

dalla natura del mezzo attraversato. Il trasferimento di energia può essere considerato da due

punti di vista:

• diminuzione di intensità;

• perdita di energia.

I processi attraverso i quali le particelle cariche perdono energia sono sostanzialmente di due

categorie:

1. perdita di energia per collisione

2. perdita di energia per irraggiamento (bremsstrahlung)

13.1 Energia di particelle pesanti persa per collisioni ato-

miche

In generale, due realtà caratterizzano il passaggio di particelle cariche attraverso la materia: la

perdita di energia da parte delle particelle e la deessione delle particelle dalla loro direzione

incidente. Questi eetti derivano da due processi:

• collisioni anelastiche con gli elettroni atomici del materiale;

• scattering elastico del nucleo.

Queste reazioni avvengono molte volte per unità di cammino, ed è il loro risultato cumulativo

a produrre gli eetti osservati. Altri processi che avvengono includono

• emissione di radiazione Cherenkov;

• reazioni nucleari;

• bremsstrahlung. 59

60 CAPITOLO 13. PASSAGGIO DELLA RADIAZIONE ATTRAVERSO LA MATERIA

Risulta necessario dividere le particelle cariche in due classi: elettroni e positroni, particelle

α

pesanti, i.e. più pesanti degli elettroni (muoni, pioni, protoni, particelle , nuclei leggeri). Per

entrambe, le collisioni anelastiche sono le uniche responsabili dell'energia persa nella materia:

nelle collisioni essa è trasferita dalle particelle agli atomi, causando una ionizzazione o un'ec-

soft

citazione del mezzo. Queste collisioni atomiche sono divise in due gruppi: collisioni , dalle

hard

quali può risultare sono una eccitazione, e collisioni , nelle quali è trasferita una quantità

di energia suciente a causare la ionizzazione.

Le collisioni anelastiche sono ovviamente statistiche in natura, ed accadono con una certa pro-

babilità: poichè tuttavia il loro numero nel cammino ottico macroscopico è di solito molto

elevato, è possibile lavorare con l'energia media persa lungo di esso. Questa quantità, chiamata

potere frenante dE fu calcolata per la prima volta da Bohr usando argomenti

o semplicemente dx

classici e in seguito da Bethe e Bloch usando la meccanica quantistica.

13.1.1 Il calcolo di Bohr- Il caso classico

ze M

Consideriamo una particella pesante con carica , massa e

v

velocità che passa attraverso un mezzo materiale e supponiamo

b

che ci sia un elettrone atomico a distanza dalla traiettoria della

particella (assumiamo che sia libero e a riposo). Dopo la colli-

sione, assumiamo che la particella non sia stata deviata dal suo

M >> m

cammino originario a causa della sua grande massa ( ).

e

Calcoliamo l'energia guadagnata dall'elettrone. Da E dx

dt R

R R R dx = e

I = F dt = e E dt = e E ⊥

⊥ ⊥ dx v b

applicando il teorema di Gauss su una supercie cilindrica di raggio

R Edσ = 4πze

cilindro

otteniamo +∞

R E 2πbdx = 4πze

−∞ 2ze

⇒ R E dx =

⊥ b

e dunque 2

2ze

I = bv

e l'energia guadagnata dall'elettrone è 2 2 4

I 2z e

∆E(b) = = 2 2

2m m v b

e e 3

N cm

Consideriamo che la particella si muova in un materiale con atomi/ : il numero di

e

dx b b + db

elettroni incontrati da essa in ad una distanza tra e è

2 4 2 4

2z e 4πz e dbb

−dE(b) N 2πb db dx = N

= ∆E(b) = dx

e e

2 2 2

m v b m v

e e

2 4

dE 4πz e dbb

⇒ = N

e

2

dx m v

e ∞

dx b =0 b =

Complessivamente l'energia persa in si trova integrando la formula tra e ;

tuttavia questi estremi di integrazione non sono validi, in quanto nel primo si ha divergenza

+∞

a , nel secondo si sta considerando il contributo delle collisioni sempre più lontane, che

risultano invece schermate (e quindi ininuenti) in un breve intervallo temporale. Bisogna

b , b

quindi trovare due estremi max min 61

13.1. ENERGIA DI PARTICELLE PESANTI PERSA PER COLLISIONI ATOMICHE

2 4

4πz e b

dE ) = N ln

( max

ion e

2

dx m v b

e min

Per stimare i valori degli estremi di integrazione, dobbiamo fare alcune considerazioni:

• classicamente la massima energia trasferibile è quella in un'interazione frontale, in cui

1 2 2 2

E = m (2v) E = 2m γ v

l'elettrone ottiene ; a livello relativistico diventa che,

e e

2 ∆E(b)

confrontata con la formula di dà 2 4

2z e 2 2

∆E(b) = = 2m γ v

e

2 2

m v b

e

2 2

2 2

γ v

m ze

1 ⇒

= b =

e min

2 2 4 2

b z e m γv

e

• b

per dobbiamo ricordare che gli elettroni non sono liberi, ma in realtà sono legati

max ν

agli atomi con una certa frequenza orbitale . Anchè gli elettroni assorbano energia, la

perturbazione causata dal passaggio della particella deve avvenire in un tempo molto più

τ = 1/ν

piccolo del periodo , altrimenti la perturbazione sarebbe vista dall'elettrone come

principio di invarianza adiabatica

adiabatica e non ci sarebbe trasferimento di energia ( ).

'

t b/v

Per le collisioni considerate, il tempo tipico di interazione è che relativisticamente

t t/γ = b/(γv)

diventa e dunque 1

b ≤ τ =

γv ν̄

dove è stata presa la frequenza media dal momento che gli elettroni legati hanno dierenti

b

frequenze. Quindi un limite superiore per è γv

b =

max ν̄

dE

Sostituendo il tutto nell'espressione di troviamo 2 2

2 4 γ m v

dE 4πz e

( ) = N ln e

ion e

2

dx m v I

e

ossia dE 2

( ) z f (v)

ion

dx

formula di Bohr

chiamata .

densità massica ρ ξ = ρx

Introducendo la e posto si ha

1 dE dE

( ) = ( )

ion ion

ρ dx dξ

potere frenante massico

dE )

( è detto , il quale di-

dove ion

I

pende da in modo logaritmico: una caratteristica peculiare

delle particelle pesanti è quella di avere un picco della curva

di ionizzazione verso la ne del percorso, quando l'energia ci-

dE

netica tende a 0. Qui il valore di aumenta enormemente e

picco di Bragg

rapidamente ( ).

La formula corretta è stata calcolata da Bethe e Bloch.

62 CAPITOLO 13. PASSAGGIO DELLA RADIAZIONE ATTRAVERSO LA MATERIA

13.1.2 La formula di Bethe-Bloch

Il calcolo corretto quanto meccanico fu eseguito per la prima volta da Bethe e Bloch e altri

autori: l'energia trasferita è parametrizzata in termini di momento trasferito piuttosto che

di parametro d'impatto. Questa risulta essere un'approssimazione più realistica in quanto il

momento trasferito è una quantità misurabile, il parametro d'impatto no.

Le correzioni di densità e di shell Devono essere apportate due modiche alla formula

di Bethe e Bloch dovute a due eetti che diventano importanti rispettivamente ad alte e basse

energie: eetto densità

• δ

L' ( ) deriva dal fatto che il campo elettrico delle particelle tende a

polarizzare gli atomi lungo il cammino: a causa di questa polarizzazione gli elettroni più

lontani dal cammino della particella sono schermati totalmente dall'intensità del campo.

Questo eetto diventa importante quando aumenta l'energia delle particelle, a causa della

b v b

dipendenza di da : quanto la velocità aumenta, aumenta anche il raggio di

max

integrazione, e quindi le collisioni più distanti contribuiscono sempre di più alla perdita

totale di energia. Questo eetto dipende dalla densità del materiale (da cui il nome)

poichè la polarizzazione indotta è maggiore in materiali condensati piuttosto che in quelli

più leggeri, come i gas.

correzione shell

• C

La ( ) tiene conto degli eetti che emergono quando la velocità della

particella incidente è comparabile o più piccola della velocità orbitale degli elettroni legati:

a tali energie, l'assunto che l'elettrone sia a riposo non è più valido e dunque cade la

formula di Bethe Bloch.

In gura è riportato il confronto della formula di Bethe e Bloch con e senza le correzioni

13.1.3 Leggi di scala per dE

( )

dx

Per più particelle nello stesso mezzo, la formula di Bethe e Bloch può essere vista come

dE 2

( ) z f (v)

ion

dx

dE 2

( ) z f (v)

ion

dξ 63

13.2. ENERGIA PERSA PER IRRAGGIAMENTO

f (v)

con funzione solamente della velocità della particella: l'energia persa è funzione solo della

dE

( )

carica e della velocità, qualunque sia il materiale. Se conosciamo per una particella di

dx

M z M z

massa e carica , l'energia persa da una particella di massa e carica nello stesso

1 1 2 2

materiale può essere ricavata dalla prima scalando l'energia

2

z dE

dE ) = ( )

( 2

2 1

2

dξ dξ

z 1

ed essendo q q

2E 2E

v =

v = 1 2

2

1 m m

1 2

m

v = v E = E 1

se , quindi la legge di scala diventa

1 2 1 2 m 2 2

z m

dE dE

(E )] = (E = E )]

[ [ 1

2

2 2 1 2 1

2

dξ dξ m

z 2

1

dE

Stesso vale per .

dx

Composti e miscele

Una buona approssimazione è data da

dE w dE w dE

1 = ( ) + ( ) + ...

1 2

1 2

ρ dx ρ dx ρ dx

1 2

w , w , ...

con pesi di ciascun elemento del composto. Più precisamente

1 2 a A

w = i i

i A m P

a i− A A = a A

dove è il numero di atomi dell' esimo elemento, il suo peso, .

i i m i i

13.2 Energia persa per irraggiamento

Classicamente la potenza irraggiata è data da 2

2e 2

W = < a >

3

3c

1 6

F = ma W 10

ed essendo , risulta (l'irraggiamento è più grande di un fattore per

2

m

l'elettrone rispetto al protone): per questo risulta più importante per particelle leggere. Le

relazioni che si adottano dipendono dalla distanza alla quale avviene l'interazione. Se la distanza

−15 −10

10 m 10 m

è compresa fra (nucleo) e (atomo), il campo elettrico della particella non è

inuenzato dagli elettroni atomici che non producono alcun eetto di schermo; se invece la

−10

> 10 m

distanza è (atomo), il campo elettrico della particella è fortemente inuenzato dagli

elettroni atomici che svolgono una azione di schermaggio tanto più elevata quanto più elevata

è l'energia della particella.

Una particella carica interagendo con il campo del nucleo subisce una deessione e quindi

una accelerazione alla quale si accompagna irraggiamento di energia (radiazione di frenamento

bremsstrahlung). energia critica

Deniamo dunque quel valore per cui la radiazione e la ionizzazione si

equivalgono, cioè dE dE

)

( ( )

rad EZ

rad ≈

dξ = dx

dE dE 800

( ) ( )

ion ion

dx dξ

800

⇒ E = [M eV ]

c Z

e corrisponde al punto di intersezione delle curve parziali di ionizzazione e radiazione dell'ele-

mento.

64 CAPITOLO 13. PASSAGGIO DELLA RADIAZIONE ATTRAVERSO LA MATERIA

13.2.1 Range

Sapendo che le particelle cariche perdono energia nell'interazione con la materia, quanto riescono

a penetrare prima di perderla totalmente? Se assumiamo che l'energia sia persa come continuo,

allora la distanza sarà un numero ben denito, lo stesso per particelle identiche con la stessa

range

energia iniziale, nello stesso tipo di materiale: questa quantità è chiamata della particella,

e dipende dal tipo di materiale, dalla particella e dalla sua energia (corrisponde alla distanza

E = 0

attraversata dalla particella nel mezzo prima che ). Può essere determinato facendo

k

passare un fascio di particelle all'energia desiderata attraverso diversi spessori del materiale in

questione e misurando il rapporto tra le particelle trasmesse e quelle incidenti.

La curva decresce velocemente ad un certo valore dello spessore (non è una vera e propria

funzione a gradino): questo è dovuto al fatto che l'energia in realtà non è persa in continuo, ma

in modo statistico; per questo due particelle identiche con la stessa energia iniziale, in generale,

non subiranno lo stesso numero di collisioni e non perderanno quindi la stessa energia. Una

misura di un insieme id particelle identiche, comunque, mostra una distribuzione statistica di

straggling

ranges centrati attorno a un valor medio: questo fenomeno prende il nome di ed in

prima approssimazione la distribuzione ha una forma gaussiana.

range medio E

Il di una particella di data energia è dato dall'integrazione della formula di

0

dE , ossia

dx 65

13.2. ENERGIA PERSA PER IRRAGGIAMENTO

0 −1

dE

R ) dE [cm]

R (E ) = (

l 0 E dx

0

range massico

mentre il è dato da 0 −1

dE 2

R

R = ( ) dE [g/cm ]

m E dξ

0

dE 1

2

∝ ∝

( ) z m R

Dalla proporzionalità deriva m 2

dξ z m

ossia il range massico risulta dipendente dal tipo di materiale.

Anche in questo caso valgono le leggi di scala, sia per il range medio che per quello massico

2

m z m

1 R (E = E )

R (E ) = 1

1 1 1 2

2 2 2 m

m z 2

2 2

Una formula semi empirica per calcolare il range è

E −1

dE

R 0

R(E ) = R (E ) + ( ) dE

0 0 min E dx

min dE ) R (E )

E ( , è una costante de-

dove è l'energia minima per cui è valida la formula di 0 min

min dx

terminata empiricamente che tiene conto degli eetti dovuti all'energia residua con cui riemerge

la particella nel caso in cui lo spessore del materiale sia minore del range.

13.2.2 Eetto Cherenkov

radiazione Cherenkov

La si verica quando una particella carica si muove in un mezzo con

una velocità maggiore di quella della luce in quello stesso mezzo. Questa velocità è data da

βc = v = c/n

n

don indice di rifrazione. Una particella che emette radiazione Cherenkov ha dunque

v > c/n

particella

In questi casi si genera un'onda d'urto elettromagnetica: il fronte d'onda coerente formato è

conico ed è emesso a un angolo ben denito 1

cos(θ ) =

c βn(ω)

rispetto alla traiettoria della particella (la formula è valida per una particella che viaggia in un

mezzo innito).

66 CAPITOLO 13. PASSAGGIO DELLA RADIAZIONE ATTRAVERSO LA MATERIA

13.3 Energia persa da elettroni e positroni

In quanto particelle cariche, anche elettroni e positroni subiscono perdita di energia per col-

lisioni quando attraversano la materia: tuttavia a causa della loro piccola massa interviene

anche un altro meccanismo di perdita di energia, l'emissione di radiazione elettromagnetica che

deriva dallo scattering del campo elettrico del nucleo (bremsstrahlung). Ad energie dell'ordine

M eV

del o inferiori, questo processo interviene minimamente; quando l'energia aumenta, la

M eV

probabilità del bremsstrahlung cresce repentinamente tanto che a poche decine di diven-

ta comparabile con la perdita per ionizzazione. Ad energie superiori a quella critica, l'eetto di

frenamento è totalmente dominante. Questo accade perchè durante l'urto l'elettrone decelera

maggiormente poichè, a parità di forza di interazione, subisce un'accelerazione maggiore (es-

dE

F 2

( ) = W a

a = ) e quindi irraggia maggiormente, essendo . L'energia totale

sendo rad rad

m dx

e

persa da elettroni e positroni è quindi composta da due parti

dE dE

dE ) = ( ) + ( )

( ion rad coll

dx dx dx

13.3.1 Lunghezza di radiazione

lunghezza di radiazione

Un'altra quantità molto usata è la , denita come lo spessore del

1/e

mezzo che riduce l'energia media di un fascio di elettroni di un fattore .

13.3.2 Il fenomeno dello scattering multiplo

Una particella che penetra in un mezzo subisce, oltre alla perdita di energia, anche delle de-

essioni dovute all'interazione coulombiana con i nuclei. Si può trattare l'interazione come un

urto elastico a seguito del quale la particella subisce un cambiamento della direzione di moto

E p θ

e il nucleo rincula. Nel processo si conservano e totali. L'espressione per l'angolo di

k

deessione può essere valutata come (considerando dapprima una singola interazione)

∆p = p senθ

f

p = p cosθ

f 2

∆p F ∆t zZe ∆t

⇒ ≈

tgθ = = = ∆t

Poichè deve essere

2

p p b p

2b risulta

v 2 2

zZe 2b 2zZe

tgθ = =

2 2

b pv bmv

Nella trattazione esatta della diusione Rutherford si

ottiene invece

2

θ zZe

tg( ) = 2

2 bmv

θ tgθ θ

Si vede che, per piccolo, essendo , le due formule coincidono. Naturalmente, per

quanto possa essere sottile il bersaglio, una particella che lo attraversa interagisce in succes-

sione con moltissimi nuclei, e subisce quindi altrettante deessioni indipendenti: l'angolo nale

2

< Θ >

quadratico medio sarà 2 2

P

< Θ >= p θ

i

i i 67

13.3. ENERGIA PERSA DA ELETTRONI E POSITRONI

p θ

dove è la probabilità che l'angolo di deessione sia . Supponiamo di far incidere un fascio di

i i

n x N

particelle su un bersaglio spesso e contenente nuclei per unità di volume: ciascuna delle

n N b b + db

particelle potrà avere, rispetto a ciascun nucleo , un parametro d'impatto tra e e

θ θ + dθ

un angolo di deessione tra e . Il loro numero è

dn = n N x 2πb db

dP b b + db

e la probabilità che in un singolo urto il parametro sia compreso tra e (e quindi

θ θ + dθ

l'angolo tra e ) è dP = dn/n = N x 2πb db

Integrando 2

2zZe

2 2

R R N x 2πb db =

< Θ >= θ dP = 2

bmv

2 2 4

8z Z e N xπ b

= ln( )

max

2 4

m v b

min

• b : il massimo parametro d'urto si ha quando il proiettile passa ad una distanza pari al

max

raggio atomico; in questo caso gli elettroni schermano completamente la carica del nucleo

a

b = 0

max 1/3

Z

a 0.5x10 8cm Z

con raggio di Bohr ( ) e numero atomico.

0 1/3

• b r A

: esso deve essere maggiore sia del raggio nucleare del bersaglio ( ), sia della

min 0

h/p

lunghezza d'onda di de Broglie della particella incidente ( ).

68 CAPITOLO 13. PASSAGGIO DELLA RADIAZIONE ATTRAVERSO LA MATERIA

Capitolo 14

Interazione dei fotoni con la materia

I fotoni interagiscono con la materia attraverso tre eetti

• ph

fotoelettrico ( );

• C

Compton ( );

• pp

produzione di coppie ( ). σ , σ , σ

Per ognuno di questi eetti si denisce una sezione d'urto microscopica .

ph c pp

X γ

Queste reazioni esprimono le caratteristiche principali dei raggi e :

1. sono molto più penetranti nella materia rispetto alle particelle cariche;

2. un fascio di fotoni viene principalmente attenuato in intensità.

La prima è dovuta alla sezione d'urto, che per questi tre pro-

cessi è molto minore di quella della collisione anelastica elettro-

nica, mentre la seconda è dovuta al fatto che nei 3 processi alcuni

fotoni vengono totalmente rimossi dal fascio, per assorbimento o

scattering: i fotoni che passano sono quelli che non hanno per

nulla interagito, e mantengono quindi la loro energia originaria.

Il numero di fotoni che interagiscono nello spessore di materiale

∆ x (e che quindi vengono sottratti al fascio originario) è

∆ N N ∆ x

0 x

e il numero di fotoni presente nel fascio alla profondità è

−µ x

N (x) = N e

0

Il numero totale di fotoni è ridotto dal numero di quelli che hanno interagito.

14.1 Eetto fotoelettrico 1

Questo è il processo di interazione di un quanto gamma con gli elettroni legati. Il fotone si

annichila e la sua intera energia viene trasferita all'elettrone, che viene allora espulso dall'atomo

1 Poichè un elettrone libero non può assorbire un fotone e conservare il momento, l'interazione fotoelettrica

avviene solo con elettroni legati, in modo che il nucleo assorbe il rinculo.

69

70 CAPITOLO 14. INTERAZIONE DEI FOTONI CON LA MATERIA

T = E B E B

con una energia cinetica , dove è l'energia del fotone e rappresenta l'energia

e γ n γ n

n− E < B

di legame dell'elettrone nella shell atomica esima. Per l'eetto fotoelettrico è

γ K

L, M, ... K

possibile solo su elettroni delle shell e non della shell .

Queste energie sono date approssimativamente dalla legge di Moseley

2

(Z−σ )

n

E = R h c

n 2

n

R h c = 13.6eV, Z n σ

dove è il numero atomico, il numero quantico principale e la costante di

n

K L

schermo (vale 3 per lo strato , 5 per quello ).

La vacanza creatasi nelle shell di partenza viene riempita da elettroni delle shell più esterne e

quindi l'eetto fotoelettrico è sempre accompagnato dalla emissione di raggi X tipici dell'atomo

bersaglio.

La sezione d'urto fotoelettrica è −m

n

∝ − −

σ Z E , n = 4 4.5, m = 3 3.5

con

σ E

Come si vede dal graco ( in funzione di ), ad energie più alte la sezione d'urto è piccola, ma

E K

aumenta rapidamente all'avvicinarsi della della shell . Dopo questo punto c'è un brusco

discontinuità K

salto ( ), dal momento che non vi sono più elettroni disponibili per l'eetto

K

fotoelettrico nella shell . Oltre questa energia, la sezione d'urto aumenta nuovamente ed ha

L, M, ...

un nuovo taglio ai livelli .

14.2 Diusione Thomson e Compton

La diusione Compton è lo scattering dei fotoni sugli elettroni liberi: gli elettroni della materia

E > B.E. Binding Energy

sono ovviamente legati, ma se ( ), quest'ultima può essere ignorata

γ

e gli elettroni sono considerati essenzialmente liberi.

Un elettrone libero nel campo elettromagnetico variabile associato al fotone è posto in

oscillazione e irradia come un oscillatore: la radiazione appare sotto forma di raggi gamma

diusi. Si deve a J.J.Thomson una teoria classica di questo eetto: consideriamo un'onda

z x

piana sinusoidale che si propaga in direzione , con il vettore elettrico polarizzato lungo e di

71

14.2. DIFFUSIONE THOMSON E COMPTON

2

<E > c I

I = , dove rappresenta l'intensità di usso di energia trasportata dall'onda

intensità 0

0 4 π 2

energia/cm s.

e si misura in Un elettrone nel campo di un'onda sinusoidale subisce una forza

data da e E = e E sen(ω t)

0

e acquisterà un'accelerazione e E

a = sen(ω t)

0

m

Una carica elettrica soggetta ad una accelerazione irraggia una potenza media data da

2

2 e 2

< a >

< W >= 2

3 c

da cui si ricava <W > 8 π 2

= r

σ =

T 0

I 3

0

σ r

dove è la sezione d'urto Thomson ed il raggio classico dell'elettrone. In questa approssi-

T 0 2

mazione la sezione d'urto non dipende dalla energia del fotone incidente.

Una trattazione più completa fornisce una sezione d'urto che dipende dall'energia e tende

E 0

alla sezione d'urto Thomson per . La distribuzione angolare, come calcolato da Klein-

γ

Nishina, è data dalla seguente espressione 2 2 3

α (1−cosθ)

dσ 12 1

2

2 2

(1 + cos θ)[

= r ] [1 + ]

c 0 2

dΩ 1+α(1−cosθ) (1+cos θ)(1+α(1−cosθ)) σ

Due quantità molto utili ricavabili dalla formula di Klein-Nishina sono la di scattering

s

σ σ

Compton e la di assorbimento Compton: la prima, , è denita come la frazione media di

a

σ

energia totale contenuta nel fotone scatterato, mentre la seconda, , è l'energia media trasferita

s a

σ = σ + σ

all'elettrone di rinculo. Ovviamente vale c −1

Z E σ Z E

La dipendenza della sezione d'urto Compton da ed è , quanto all'energia

γ c γ

del fotone diuso, questa dipende dall'angolo di diusione e si calcola considerando l'urto tra

4

fotone ed elettrone completamente elastico. Facendo i calcoli , si ottiene

E

0 γ

E =

γ E

γ (1−cosθ)

1+ m e θ

che rappresenta l'energia del fotone diuso in funzione dell'angolo di scattering .

2 Lo scattering Thomson è lo scattering di un fotone su un elettrone libero nel limite classico: viene infatti

dalla formula di Klein-Nishina a basse .

E

3 2

α = E /mc .

γ

4 Calcoli fatti a cinematica relativistica.

72 CAPITOLO 14. INTERAZIONE DEI FOTONI CON LA MATERIA

In gura è rappresentato lo spettro di energia degli elettroni

diusi: il taglio verticale corrisponde alla massima energia.

14.2.1 Diusione Rayleigh scattering

Un altro processo legato allo scattering Compton è lo

Rayleigh

, che avviene tra un fotone e l'atomo nel suo insieme:

tutti gli elettroni partecipano in modo coerente (per questo viene

anche detto scattering coerente). Caratteristica di questo scat-

tering è il fatto che non vi è trasferimento di energia al mezzo: il

fotone cambia semplicemente direzione, senza eccitare o ionizzare

gli atomi.

14.3 Produzione di coppie

Per fotoni di relativamente alta energia esiste un'altra forma di

interazione con la materia: il processo di creazione di coppie. In

questo processo il fotone si annichila e materializza una coppia

elettrone-positrone: naturalmente questo è un processo a soglia, in quanto l'energia del fotone

E > 2 m =

deve essere almeno pari alla somma delle masse delle particelle create, ossia γ e

1.02 M eV . Il processo di produzione di coppie non può avvenire nel vuoto, ma richiede la

presenza di un nucleo o di un elettrone. L'espressione della sezione d'urto di produzione di

coppie è abbastanza complicata: qui diremo soltanto che essa ha un andamento del tipo

2

σ Z ln (E + cost)

pp γ

14.4 Coeciente di attenuazione lineare e massico

Oltre alla sezione d'urto microscopica per scopi pratici si denisce una sezione d'urto macro-

µ , µ , µ

scopica . I due sono legati dalla relazione

ph c pp 5

µ = Nσ

N µ

dove rappresenta il numero di bersagli (atomi) per unità di volume. Il coeciente rappre-

senta la probabilità di interazione per unità di percorso, ha come dimensioni l'inverso di una

lunghezza.

Quando un fascio di fotoni penetra in un mezzo, a causa delle interazioni con il mezzo

NI

stesso l'intensità del fascio decresce esponenzialmente. Sia infatti il numero di fotoni che

dx

interagiscono nel tratto di materiale e che quindi vengono sottratti al fascio originario.

5 Questo è il coeciente di attenuazione lineare. 73

14.5. CAMMINO LIBERO MEDIO −µ

dN = N dx

−µ x

N (x) = N e

0

N (x) x N

dove rappresenta il numero di fotoni ancora presenti alla profondità , essendo il

0

numero di fotoni iniziale.

Accanto al coeciente di attenuazione lineare, come nel caso del potere frenante, si preferisce

spessore massico

2

g/cm

misurare gli spessori di materiale in , utilizzando lo

6

µ = N σ

i i

ρ

14.5 Cammino libero medio

Rappresenta il percorso eettuato in media da un fotone prima di interagire. La probabilità di

−µ −µ

x x

x x + dx µ dx e e

interagire tra e è data da : infatti rappresenta la probabilità di non aver

x µ dx

interagito no alla profondità ,mentre è la probabilità di interagire nel successivo tratto

dx .

14.6 Strato emivalente/decivalente

Rappresenta lo spessore di materiale che dimezza l'intensità del fascio incidente. Se chiamiamo

S tale spessore, si ha

1/2 −µ

12 S

N = N e

N (S ) = 1/2

0 0

1/2

e quindi ln 2

S = = λ ln 2

1/2 µ

Allo stesso modo si denisce lo strato decivalente

ln 10

S = = λ ln 10

1/10 µ

14.7 Coecienti di assorbimento energetico

Spesso ha interesse valutare l'energia che i fotoni, nelle loro interazioni con il mezzo, deposita-

no in esso. In tutti e tre i processi il fotone cede energia ad un elettrone, il quale a sua volta

la depositerà nel mezzo attraverso i processi di ionizzazione e/o bremsstrahlung. Nell'eetto

fotoelettrico e nella produzione di coppie il fotone si annichila, e sia l'elettrone che la coppia

elettrone-positrone hanno un range limitato e cedono quindi localmente l'energia ricevuta dal

fotone. Diverso è il caso in cui avvenga un eetto Compton, perchè in questo caso parte dell'e-

nergia del fotone primario viene ceduta al fotone diuso e quindi depositata non localmente. I

µ

coecienti di assorbimento di energia, denominati , sono deniti attraverso i corrispondenti

en

coecienti di attenuazione moltiplicati per la frazione di energia ceduta agli elettroni sotto

forma di energia cinetica (e quindi dissipata localmente).

E

µ = µ e

en i i E

γ

6 Coeciente di attenuazione massico.

74 CAPITOLO 14. INTERAZIONE DEI FOTONI CON LA MATERIA

Capitolo 15

Interazione dei neutroni con la materia

Poiché il neutrone ha carica nulla esso non interagisce elettricamente con gli elettroni dell'atomo,

1

ma subisce solo interazioni nucleari con i nuclei della materia attraversata. I principali tipi di

interazione neutrone-nucleo sono i seguenti:

• diusione elastica;

• diusione anelastica;

• cattura radiativa;

• reazioni con emissione di particelle cariche;

• reazioni con emissione di neutroni.

15.1 Diusione elastica A(n, n)A

Il neutrone urta il nucleo e viene diuso secondo le leggi

della dinamica dell'urto: con una trattazione non relati-

vistica, si conservano quantità di moto ed energia cine-

tica. Il neutrone non eccita il nucleo, che generalmente

era e rimane nel suo stato fondamentale.

A bassa energia la sezione d'urto è costante e vale

2

σ = 4 π R

R

dove è il raggio nucleare. Dopo questa zona costante

la sezione d'urto comincia a decrescere, ma si incontra

una regione di risonanze, dovute alla formazione del

nucleo composto.

15.2 Diusione anelastica 0 ∗

A(n, n )A

n 1 M eV

Anchè avvenga, deve avere un'energia : sotto tale soglia avviene solo la diusione

elastica. In questo caso il nucleo è lasciato in uno stato eccitato e quindi decadrà successivamente

emettendo in genere un fotone.

1 Poichè per interagire il neutrone deve arrivare ad una distanza di circa e la materia è essenzialmente

−13

10 cm

vuota, esso risulta una particella molto penetrante. 75

76 CAPITOLO 15. INTERAZIONE DEI NEUTRONI CON LA MATERIA

15.3 Cattura radiativa →

n + (Z, A) γ + (Z, A + 1)

In questo processo il neutrone è catturato dal nucleo.

Il nucleo composto in genere si forma in uno stato ec-

citato e decadrà emettendo uno o più fotoni. Molto

spesso il nucleo ottenuto, anche dopo essere decaduto

al suo stato fondamentale, è instabile per decadimen-

to beta. A bassa energia la sezione d'urto di questo

√ E

1/ν 1/ ) e si

processo ha il tipico andamento (ossia 1

presenta quindi come una retta di pendenza in scala

2

bi-logaritmica. Presenta risonanze nello stesso interval-

lo energetico delle risonanze della diusione elastica (e

anche ad energie maggiori) poi, al di sopra della zona delle risonanze, decade velocemente e con

continuità.

15.4 Reazioni con emissione di particelle cariche (n, α), (n, p), ..

In questo caso il neutrone viene assorbito e come risultato possono essere

emessi protoni, particelle alfa, etc. La sezione d'urto dipende molto da

1/ν

reazione a reazione; si ha un vasto intervallo energetico di andamento

(lineare in carta logaritmica).

15.5 Reazioni con emissione di neutroni

(n, 2n)

In questo caso, a seguito dell'assorbimento del neutrone, il nucleo può emettere due o più

neutroni. In tutti i casi il neutrone appartenente al nucleo era già di per sé poco legato.

15.6 Fissione

Il neutrone urta contro un nucleo pesante e lo spezza in due frammenti.

15.7 Interazione dei neutroni con la materia

A causa della forte dipendenza dall'energia delle interazioni dei neutroni, questi vengono clas-

sicati in

• ≥ 100 M eV

neutroni di alta energia ( );

• −

M eV keV

neutroni veloci (decine di centinaia di );

• −

100 KeV 0.1 eV

neutroni epitermici ( );

• ≈ 1/40 eV

neutroni termini/lenti ( );

• meV, µeV

neutroni freddi/ultra freddi (dell'ordine di ). 77

15.7. INTERAZIONE DEI NEUTRONI CON LA MATERIA

Da quanto visto precedentemente, la sezione d'urto totale (cioè la somma delle diverse sezioni

d'urto elencate) per basse energie del neutrone si può esprimere con la formula approssimata

C

2

σ = 4 π R + √

tot E

Ad energie superiori si incontra la zona delle risonanze dovute ai processi di scattering

elastico e inelastico e alla cattura radiativa. Ad energie ancora più alte la sezione d'urto torna

ad avere un andamento più regolare e velocemente decrescente con l'energia.

15.7.1 Attenuazione dei neutroni

n n(x)

Sia il numero di neutroni che incidono su un materiale e il numero di neutroni che

0 x

non hanno ancora interagito dopo aver attraversato uno spessore . La variazione innitesima

dn(x) x x + dx

nel tratto compreso tra e risulta data dall'espressione

dn = Σ n(x) dx

t

Σ

dove il fattore (Coeciente di attenuazione) rappresenta come nel caso dei fotoni la proba-

t

bilità di interazione per unità di percorso e si chiama sezione d'urto macroscopica. Anche in

λ = 1/Σ

questo caso si denisce un libero cammino medio dato da . L'integrazione fornisce la

t

solita espressione −Σ x

n(x) = n e t

0 σ

La sezione d'urto macroscopica è legata alle sezioni d'urto microscopiche relative ai vari

j

processi di interazione dalla seguente espressione P

Σ = N σ

t j

N

dove rappresenta il numero di nuclei per unità di volume.

Dalla relazione C

2

σ 4 π R + √

tot E

si deduce che la sezione d'urto (ossia la probabilità) di interazione dei neutroni con la materia

aumenta al diminuire della loro energia. Una tecnica usata nella pratica per assorbire i neutroni

(per esempio nel progetto di una schermatura) è quella di rallentarli mediante scattering elastico

con materiali leggeri e poi assorbirli (e quindi eliminarli) tramite qualche razione di cattura

(n, γ) (n, α)

o, meglio, in quest'ultimo caso non vengono prodotti fotoni, dicili da schermare,

α

ma particelle facilmente arrestabili.

78 CAPITOLO 15. INTERAZIONE DEI NEUTRONI CON LA MATERIA

Capitolo 16

Rivelatori

Sono tutti basati sullo stesso principio: traferire una parte o tutta l'energia della radiazione

alla massa ricevente, dove è convertita in qualcosa di accessibile alla percezione umana.

16.1 Sensibilità sensibilità

La prima caratteristica da considerare è la sua , ossia la sua capacità di produrre, per

un certo tipo di radiazione di energia, un segnale che possa essere usato. Nessun ricevitore può

essere sensibile a tutti i tipi di radiazione e a tutte le energie. Dipende da vari fattori:

• la sezione d'urto per reazioni ionizzanti;

• la massa del rivelatore;

• il rumore di fondo del rivelatore;

• il materiale protettivo che circonda il volume sensibile del rivelatore.

La sezione d'urto e la massa del rivelatore determinano la probabilità che la radiazione

incidente converta una parte o tutta l'energia in una forma di ionizzazione. Nel caso del

neutrino, per esempio, la massa del rivelatore necessaria è dell'ordine della tonnellata.

C'è comunque un limite inferiore, un minimo di energia necessario per attivare la ionizzazione,

costituita dal rumore di fondo del rivelatore, che appare come uttuazioni di voltaggio e corrente

nell'output del rivelatore ed è sempre presente, sia se c'è la radiazione che se non c'è. Un secondo

limite è rappresentato dal materiale che ricopre la nestra di entrata del volume sensibile

del rivelatore: a causa dell'assorbimento, solo una radiazione con suciente energia, capace

di penetrare il materiale, riesce ad essere rilevata. Anche lo spessore del materiale, dunque,

costituisce un limite inferiore per l'energia che può essere rilevata.

16.2 Risposta

Alcuni rivelatori sono capaci di restituire anche qualche informazione sull'energia della radia-

zione: questo segue dal fatto che la ionizzazione prodotta da una radiazione nel rivelatore è

proporzionale all'energia che essa perde nel volume sensibile. In generale l'output è costituito

da una serie di impulsi di corrente, il cui integrale fornisce la ionizzazione media ed è diretta-

mente proporzionale all'ampiezza del segnale. La relazione tra l'energia della radiazione e la

79

80 CAPITOLO 16. RIVELATORI

risposta

carica totale del segnale di output è denita del rivelatore; idealmente essa dovrebbe

essere lineare (in modo da lavorarci in modo più semplice), ma in generale la risposta è una

funzione che dipende dal tipo di particella e dall'energia. Un buon esempio è lo scintillatore

organico.

16.3 Risoluzione energetica. Il fattore di Fano.

risoluzione energetica

La è il limite per il quale il rivelatore è capace di distinguere due energie

molto vicine tra loro. In generale può essere misurata inviando un fascio monoenergetico nel

rivelatore ed osservando lo spettro risultate: idealmente si dovrebbe vedere una delta, ma in

realtà si osserva un picco con una larghezza nita, di forma gaussiana. Questo è dovuto alle

uttuazioni nel numero di ionizzazioni ed eccitazioni prodotte. La risoluzione è data di solito

full width at half maximum F W HM

in termini del ( ): energie minori di questo intervallo sono

∆E

di solito considerate irrilevanti. Se denotiamo questa larghezza con , la risoluzione relativa

ad una certa energia è ∆E

Risoluzione = E

In generale la risoluzione è funzione dell'energia depositata nel rivelatore: il rapporto precedente

E

aumenta all'aumentare di . Questo è dovuto alla statistica di Poisson (o simile) seguita dalla

w

ionizzazione e dall'eccitazione. In ogni caso, è richiesta un'energia minima, , dipendente solo

dal materiale. Per un rivelatore in cui la radiazione non sia totalmente assorbita, il numero di

reazioni prodotte è dato dalla distribuzione di Poisson

2

σ = J

J

con numero di eventi prodotti. Se invece l'energia della radiazione è totalmente assorbita,

l'assunzione di distribuzione poissoniana non è corretta: viene infatti osservata una risoluzione

molto inferiore a quella calcolata teoricamente con la statistica di Poisson. La dierenza rispetto

al caso precedente è che in questo caso l'energia totale depositata è un valore sso, costante,

mentre in precedenza l'energia aveva delle uttuazioni: statisticamente questo si traduce nella

reciproca dipendenza degli eventi ionizzanti, e dunque la statistica di Poisson non può essere

utilizzata. La varianza in questo caso risulta

2

σ = F J

fattore di Fano

F

con noto come e tiene conto di tutti i vari processi fondamentali che possono

portare a un trasferimento di energia nel rivelatore. Si tratta di una costante intrinseca nel

81

16.4. LA FUNZIONE DI RISPOSTA

mezzo rivelatore ed è molto dicile da calcolare in modo accurato, in quanto richiede una co-

noscenza molto dettagliata di tutti i meccanismi di reazione che possono avvenire nel rivelatore

considerato.

16.4 La funzione di risposta fun-

Per la misura dello spettro energetico, un fattore importante che bisogna considerare è la

zione di risposta del rivelatore al tipo di radiazione considerata. Si tratta dello spettro degli

impulsi di output del rivelatore quando viene bombardato da un fascio monoenergetico. Con-

sideriamo ad esempio un fascio di elettroni incidenti su un rivelatore abbastanza spesso da

fermare le particelle e assumiamo che tutti perdano la loro energia attraverso collisioni atomi-

che; è chiaro che lo spettro restituito avrà forma gaussiana. In realtà, però, ci saranno alcuni

elettroni che verranno scatterati fuori dal mezzo prima di aver depositato completamente la

loro energia, altri emetteranno fotoni di bremsstrahlung che potrebbero sfuggire dal rivelatore:

entrambi questi meccanismi contribuiscono a formare una coda a basse energie nella distribu-

zione gaussiana.

La funzione di risposta può comunque essere migliorata modicando la struttura e la geometria

Z

del rivelatore: un materiale con un basso numero atomico , per esempio, può essere usato per

minimizzare lo scattering e il frenamento.

16.5 Tempo di risposta tempo di risposta

Una caratteristica importante dei rivelatori è il , ossia il tempo impiegato

dal rivelatore stesso per formare il segnale dopo l'arrivo della radiazione: per avere un buon

tempo di risposta, il segnale dovrebbe essere formato come un impulso il più piccato possibile.

Un'altra considerazione importante è la durata del segnale: durante questo periodo, infatti,

non può essere rivelato un secondo evento, o perchè il rivelatore è insensibile, o perchè il nuovo

tempo morto

segnale si sovrapporrebbe al primo. Questo contribuisce al del rivelatore.


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Totpic

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Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Totpic di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elementi di fisica nucelare e subnucleare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Tor Vergata - Uniroma2 o del prof Bernabei Rita.

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