Fisica Nucleare

A

dove ha le dimensioni di una supercie ed è tanto più piccola ( aumenta) quanto più

strette sono le sezioni trasversali medie dei fasci: i fasci, dunque, oltre ad avere grande intensità

A

devono essere focalizzati al meglio, in modo da minimizzare . Dunque

dN /dt dN /dt

r r

σ = = A

L f N N

1 2

i

dove il primo termine rappresenta la probabilità della reazione, moltiplicato la frequenza di

incrocio dei fasci. Il numero totale di eventi è dato da

L

R

N = σ dt

r T

T

dove è il tempo di durata dell'esperimento.

2.1.5 Misura di sezioni d'urto

σ

Per misurare la è necessario conoscere l'ecienza del rivelatore, composta da due fattori

d

indipendenti =

d g int

• è la frazione di angolo solido che il rivelatore copre: se la distanza rivelatore-bersaglio

g

è molto più grande delle dimensioni di quest'ultimo, allora

S

≈

e

g 2

d

S

con sezione del rivelatore perpendicolare al bersaglio. Si ha che la supercie di una

d 4π ∆Ω

sfera di raggio sta al suo angolo solido come una sua porzione sta al suo , cioè

2

4 π d S

=

4 π ∆Ω

da cui l'espressione di .

g

• dipende dal tipo di particella usata e dal materiale del rivelatore: esprime la proba-

int

bilità della particella di essere rivelata. Per particelle cariche vale circa 1.

tasso R

Il numero di eventi contati ( ) è allora

b

R

R = n d σ I dΩ = n d I σ ∆Ω

b d g int

Ω

2 Ricorda

√

√ col bersaglio sso

≈

s 2E m

1 2

√ nei colliders.

≈

s 2E

12 CAPITOLO 2. ESPERIMENTI DI DIFFUSIONE

Capitolo 3

Energia di legame

3.1 La formula di Weizsacker Z

Riportando in un graco il numero di neutroni contenuti nel nucleo in funzione di per tut-

ti i nuclei stabili, si ottiene la Tavola di Segrè: si vede subito che esiste una relazione tra N e Z, in

quanto i punti giacciono quasi tutti su una linea.

≈

n

La densità numerica dei nucleoni risulta essere

−3

38

10 cm A

, indipendente da : il fatto che la densità sia

costante ci dice che la materia nucleare è incomprimi-

bile, e questa proprietà indica la prima somiglianza tra

materia nucleare e un liquido. L'analogia segue anche

dalla dipendenza quasi lineare esistente tra l'energia di

legame di un nucleo e il suo numero di massa, che può

essere paragonata alla dipendenza lineare dell'energia

di vaporizzazione di un liquido dalla sua massa; inol-

tre, la proprietà di saturazione delle forze nucleari (che

B/A A

segue dal fatto che, riportando in funzione di

≈

B/A

si vede che costante) rende l'analogia completa

perchè la stessa proprietà è posseduta anche dalle for-

ze chimiche di legame delle molecole in un liquido. Su queste basi Bohr, Wheeler e Frenkel

svilupparono il modello a goccia del nucleo, che fu capace di spiegare molti fenomeni.

A

Il fatto che l'energia di legame per nucleone non dipenda da indica una importante

sono a corto range

proprietà delle forze nucleari: esse . Ogni singolo nucleone all'interno del

A

nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti, e non con tutti gli nucleoni (diverso è il caso

13

14 CAPITOLO 3. ENERGIA DI LEGAME

delle forze elettriche, il cui range è innito: si vede che l'energia potenziale per unità di carica

Z

aumenta linearmente con ).

Scriviamo quindi un'espressione dell'energia di legame del nucleo:

• −αA termine di volume ≈

B/A const.

il primo termine è il e discende direttamente dalla ;

2/3

• +βA

l'analogia con la goccia fa supporre eetti di supercie, per cui un nucleone più vicino alla

supercie del nucleo, avendo nucleoni solo da un lato e non tutt'intorno, non è legato così

αA

fortemente come un nucleone all'interno. Nel sottrarre si porta un correzione troppo

termine di supercie

grande e si aggiunge il , proporzionale al numero di nucleoni sulla

supercie del nucleo. Schematizzando quest'ultimo come una sfera di densità uniforme e

1/3 2 2 2/3

R = r A S = 4πR = 4πr A

raggio , si ricava ;

0 0

Z(Z−1)

• +γ 1/3

A termine coulombiano

rappresenta il di repulsione tra i protoni connati nel nucleo.

Immaginando quest'ultimo come una sfera uniformemente carica, l'energia potenziale

2 2 2

Q

3 3Z e

U = =

della distribuzione vale ;

1/3

5 R 5r A

0

Sono quindi stati inseriti due termini aggiuntivi, indipendenti dall'analogia con la goccia di

liquido: 2

(A−2Z)

• +ζ A

termine di asimmetria Z N

il tiene conto della tendenza di ad eguagliare , almeno

per i nuclei leggeri (tavola di Segrè), mentre per quelli più pesanti si nota un eccesso di

neutroni, in parte per compensare alla crescente repulsione coulombiana;

1

−4/3

• −δA

termine di accoppiamento

il tiene conto della maggiore stabilità (dimostrata speri-

mentalmente) osservata per i nuclei che contengono un numero pari di protoni e neutroni.

2

±34 0

Vale per i nuclei pari pari e dispari dispari, altrimenti.

formula di Weizsacker

La , che descrive l'energia di legame basandosi sul modello a goccia,

è dunque 2

(A−2Z)

Z(Z−1) −4/3

2/3

− − − + δA

B(Z, A) = αA βA γ ζ

1/3 A

A

formula delle masse

e quindi la corretta risulta essere 2

Z(Z−1) (A−2Z) −4/3

2/3

− −

+ ζ

M (A, Z) = N M + Z(M + m ) αA + βA + γ δA

n p e 1/3 A

A

con γ = 0.667M eV

α = 15.6M eV

β = 16M eV

ζ = 22.2M eV

±34

δ(p, p/d, d) =

1 Trovati vari esponenti per questo , questa è la dipendenza usata dalla prof.

A

2 Come nota precedente. 15

3.1. LA FORMULA DI WEIZSACKER Z

La formula che fornisce la massa di un nucleo presenta una dipendenza parabolica da :

A dispari

• δ = 0

nel caso di , essendo , le masse di una

Z = Z

serie di isobari hanno un minimo per un certo e

0

M, Z

giacciono sulla parabola del piano : il solo nucleo di

A Z = Z

massa stabile è proprio quello per cui . In casi

0

Z , Z + 1

eccezionali può accadere che due nuclei vicini 0 0

−

Z 1

(o ) abbiano energia prossima: in questo caso uno

0 Z = Z

è stabile ( ) e l'altro è semistabile. Tuttavia, ri-

0 A

gorosamente parlando, solo un nucleo di dato dispari è

stabile; A è pari

• se invece , si vede che è possibile trovare diversi

Z

isobari stabili con valori di che dieriscono tra loro di due

δ

unità: proprio questa situazione è descritta col termine

N Z

dell'equazione. Se e sono entrambi dispari, le masse

δ A

vanno aumentate di rispetto alla curva tracciata per

dispari, mentre se sono entrambi pari, la massa è diminuita

δ

di e si trova sulla curva più bassa (è chiaro che le due

2δ

parabole distano ).

M (A, Z)

L'equazione è molto utile per avere un quadro gene-

rale delle proprietà nucleari: ad esempio fornisce la relazione tra

numero atomico e numero di massa per nuclei stabili. Ponendo

∂M = 0 Z

si ricava il valore di per cui si ha il minimo della massa

∂Z

in una serie di isobari. Si ha infatti 4 ζ (A−2Z) γ (2Z−1)

∂M −

= M + m +

p e 1/3

∂Z A A

o meglio, considerando il termine coulombiano nella forma

2 2

Z e

γ γ = 3/5

(con per densità uniforme)

1/3

r A

0

otteniamo 2 2

2 ζ (A/2−Z)

∂M 3 Z e

−

= M + m +

p e 1/3

∂Z A 5 r A

0

che possiamo interpretare come l'equazione della curva della tavola di Segrè.

16 CAPITOLO 3. ENERGIA DI LEGAME

Capitolo 4

Decadimenti radioattivi

Analizzando la tavola di Segrè, vediamo che in essa sono rappresentati, oltre ai nuclei stabili,

instabili

anche vari nuclei : con questo termine si denisce un nucleo che spontaneamente

subisce una trasformazione per raggiungere uno stato stabile (o meno instabile). Così i nuclei

che hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tenderanno

a "trasformarlo" in un neutrone, e viceversa tenderanno a fare i nuclei con eccesso di neutroni.

Le trasformazioni spontanee più comuni sono

• α

decadimento ;

−

• β

decadimento +

• β

decadimento ;

•

cattura elettronica .

4.1 Le leggi del decadimento radioattivo

Radon 222

Lo studio dell'attività del portarono Rutherford e Soddy a formulare una teoria:

la radioattività è un cambiamento dell'atomo individuale. Si tratta di un processo puramente

statistico, nel senso che non è possibile prevedere in quale istante un certo nucleo si trasformerà,

ma è possibile prevedere quanti nuclei saranno decaduti in media dopo un certo intervallo di

tempo. N (t) t

Sia il numero di nuclei padre presente nel campione al tempo : se i decadimenti non

p

inuenzano i decadimenti degli altri nuclei della sorgente, il numero di nuclei che decadrà in un

dt

intervallo di tempo è dato da −λ

dN = N (t) dt

p p

costante di decadimento

λ N (t)

dove è detta , mentre il segno negativo indica che decresce

p

col tempo. Separando le variabili e integrando otteniamo

−λ t

N (t) = N e

p 0

N t = 0

con numero di nuclei presenti al tempo .

0 17

18 CAPITOLO 4. DECADIMENTI RADIOATTIVI

4.1.1 Attività

attività

Si denisce di un campione il numero di decadimenti subiti nell'unità di tempo. Risulta

A(t) = λ N (t)

.

p 226

Curie(Ci) 1g Ra Becquerel(Bq)

Essa si misura in , denito come l'attività di di , o in , pari

a una disintegrazione al secondo.

Per quanto riguarda la formazione del nuovo elemento glio, la variazione è la stessa ma di

segno opposto, cioè dN = +λ N (t) dt

d p

N (0) = 0

che risolta con la condizione dà

d −λ t