Fisica medica - Lavoro ed energia cinetica

F

c c

corpo tra la posizione x e x .

A B

Lavoro ed energia cinetica 6

 Contemporaneamente, la ha compiuto un lavoro:

F

   

W F d F x

 Il lavoro W è quindi un modo per trasferire energia cinetica

ad un corpo per mezzo di una applicata ad esso.

F

 In generale, compiere lavoro su di un corpo significa trasferire

ad esso energia.

Quindi deve esserci una relazione tra il lavoro fatto da una F

l’energia cinetica trasferita

e ad un corpo.

L’energia cinetica trasferita per effetto della è proprio:

F

   

W F d F x

Lavoro ed energia cinetica 7

Teorema dell’energia cinetica



v v

v

v 2 1

1

1 F

F

m m m

x x x

O 1 2

d 

 si sta muovendo lungo l’asse x con velocità

La massa m v cost

.

1

  

Da x x si applica su m una F cos

t e // all'asse x

1 2  

F imprime una a cost

 

Da x x il moto è rettilineo uniformemente acce

lerato

1 2  

2 2 2 2

v v v v

 

     

2 2 2 1 2 1

v v 2 a x x a  



2 1 2 1 2 x x 2d

2 1

Lavoro ed energia cinetica 8

 



2 2

v v

  

a 2 1

 

2 legge di Newton: F ma F m  

2 d



Il lavoro compiut o da F tra x x è:

1 2

 



2 2

v v 1 1

      

2 2

2 1

 

W F d Fd m d m

v m

v

2 1

  2 2

2 d

1 1

     

2 2 f i

W m

v m

v E E E

2 1 c c c

2 2

Quindi, il lavoro totale compiuto da una o più F agenti su di un corpo

 

di massa m è sempre E .

c

    

f i f i

Da W E E E E W

c c c c

  

f i

Se W 0 E E

c c

  

f i

Se W 0 E E

c c

Lavoro ed energia cinetica 9

 L’importanza del teorema dell’energia cinetica e dei concetti di

F

W ed E è dovuta al fatto che in generale si conosce la in

c

funzione della posizione.

mm

  1 2

Es: F ( r ) G u (legge di gravitazione)

r

2

r

 

F ( x ) kx (forza elastica dinamometro)

 Casi particolari:

       

f i

Quando v cost E E E 0 W 0

c c c

Esempi:     

a) moto rettilineo uniforme v c

ost E 0

c

     

b) moto circolare uniforme v cost E 0

c

  

W 0 anche se F 0.

c Lavoro ed energia cinetica 10

2

v

    

s v Infatti, F m u 0 con F v

c c

N

R

F c     

W F s 0 dove s è lo spostamento

R  

lungo l'arco di circonferenza con s R

 F non compie lavoro su m

.

c

     

f i

Se v v E E L 0

f i c c

il teorema dell'energia cinetica si può anche interpretare dicendo

che l' E di una particella diminuisce della stessa quantità

c 

uguale al W fa

tto da ess a E di un corpo è la capacità

c  

del corpo a compiere W pari alla sua E tal

e che v 0.

c f

Lavoro ed energia cinetica 11

Lavoro svolto dalla forza di gravità

 Si consideri un corpo di massa m lanciato con velocità v verso

0



l’alto 1



i 2

E m

v

c 0

2 

P mg

su m agisce la forza di gravità diretta verso il basso

 lungo lo spostamento il moto è rettilineo uniformemente

d

  P

decelerato v diminuisce compie un lavoro < 0

0 

     

W P d mgd cos mgd 0

d m v 0       

f i f i

W E E E 0 E E

 c c c c c

P mg Lavoro ed energia cinetica 12

 d ,

Se invece il corpo cade verticalmente per un tratto la forza

 

P mg

peso è parallela e concorde con il moto è

d

 

rettilineo uniformemente accelerato v aumenta compie

P

un lavoro > 0

m     

W P d mgd cos 0 mgd 0

v



P mg

d       

f i f i

W E E E 0 E E

c c c c c

 P

In questo caso la forza compie un lavoro W = mgd > 0 che si

trasforma in aumento di E .

c d

Infatti, alla fine dello spostamento : v > v

f i

Lavoro ed energia cinetica 13

Potenza

Potenza media: t,

F

Se un lavoro W è svolto da una in un intervallo di tempo

t:

nell’intervallo

si definisce potenza media W

  

P (scalare)



t

Potenza istantanea:

La rapidità con cui viene svolto un lavoro nel tempo è definita

potenza istantanea W dW

 

P lim 

  t dt

t 0

Lavoro ed energia cinetica 14

 Dimensioni di P: J 

  S.I.: Watt

W

  s



P   erg

t Gauss: s



J 1N 1m erg

   7

1W 1 10

s s s



1 cavallo-vapore (c.w.) 735.5 W

Potenza in funzione di F e v :

Sia F una forza costante che compie lavoro su un corpo che

si muove lungo l'asse x con velocità v :

 

dW d d dl

 

  

      

P F l Fl cos F cos F cos v

dt dt dt dt

 

P F v (po

tenza istant a

n ea)

Lavoro ed energia cinetica 15

 Dimensioni di P: J 

  S.I.: Watt

W

  s



P   erg

t Gauss: s



J 1N 1m erg

   7

1W 1 10

s s s



1 cavallo-vapore (c.w.) 735.5 W

Potenza in funzione di F e v :

Sia F una forza costante che compie lavoro su un corpo che

si muove lungo l'asse x con velocità v :



W F d d

     

P F F v m

  

t t t

dove v è la velocità m

edia.

m Lavoro ed energia cinetica 16

Lavoro di una forza generica variabile

 che si muove sull’asse

Consideriamo un corpo di massa m x,

spinto da una non costante, diretta lungo l’asse x.

F

Il modulo di sia funzione di x: F = f(x)

F

F m

O x

 F ( x )

Calcoliamo il lavoro W fatto su m dalla quando m si

sposta da x a x .

i f  – F

F d

Non si può usare la relazione (d = x x ) in quanto

f i

non è costante. Lavoro ed energia cinetica 17

 Usiamo l’approccio infinitesimale dividendo lo spostamento

x

–

totale (x x ) in N intervalli abbastanza piccoli da poter

f i x.

considerare F(x) costante in ogni 

Sia F il valor medio di F ( x ) in x .

j j



Il lavoro W fatto da F in x è :

W j j

j  

W F x

j j

F j Il W totale fatto da F ( x ) quando



m si sposta da x x è:

i f  

N N

  

 

W W F x

j j

 

j 1 j 1

 Questo W totale è approssimato in quanto il profilo a

scaletta è solo un’approssimazione della curva reale.

Lavoro ed energia cinetica 18

x

 L’approssimazione migliora riducendo e quindi aumentando

N (i.e. il numero di strisce). x   ):

 Il risultato esatto per W si ha quando 0 (i.e. N

 

 

N

 



W lim F x

 

j

 

  

x 0 j 1

Questo limite è proprio la definizione di integrale della funzione



F(x) tra gli estremi x e x

i f

 x



W F ( x ) dx (lavoro svolto da una F variabile)

f

x

i

Geometricamente il lavoro W è pari

 

all'area sotto la curva F x e

compresa tra gli estremi x e x .

i f

Lavoro ed energia cinetica 19

Forza elastica

 La elastica è un esempio di forza variabile che dipende dalla

F

coordinata x. A molla a riposo

m

x > 0

F < 0 m

ol

la a

llungata

: F è d

iret

ta ver

so 0

m

A

x < 0

F > 0

A m

ol

la c

ompressa

: F è d

iret

ta ver

so 0

m Lavoro ed energia cinetica 20

 Sia in allungamento che in compressione, la molla tira il blocco

verso la posizione di equilibrio 0.

Una di questo tipo, chiamasi forza di richiamo.

F

 La esercitata dalla molla è proporzionale allo spostamento x

F 

dell’estremo libero A

 

F kd legge di Hooke

 Il segno (–) indica che è sempre opposta allo spostamento

F

ed è quindi sempre orientata verso il punto di equilibrio 0,

F

perciò è una forza di richiamo.

Lavoro ed energia cinetica 21

  

 Da la forza della molla è una forza variabile ,

F kd dipendono dall’ascissa

F

poiché il modulo di ed il suo verso x



dell’estremo libero F = f(x).

 k è la costante elastica della molla ed è una misura della rigidità

della molla. Maggiore è k, più rigida è la molla.

  S.I.: N/m

F

  

k   Gauss: dyne/cm

d Lavoro ed energia cinetica 22

Lavoro svolto da una forza elastica

 Consideriamo una molla di costante elastica k e di massa

trascurabile rispetto a quella di un blocco di massa m attaccato

ad un suo estremo mobile Trascuriamo la forza di attrito

tra il corpo m ed il piano su

k m cui esso poggia.

Si sposti il blocco verso destra

dalla posizione iniziale x

i

k  

F a qu

ella finale x ,

m f



 

tramite una F impressa



da un agente esterno

.



0 x

i Lavoro ed energia cinetica 23

 Spostando il blocco verso destra, la forza elastica di richiamo F

compie un lavoro W su m che si può calcolare graficamente.

F

k m



0 x x

i f  

 Dalla legge di Hooke si ha: F kxi

Se m si sposta di uno spostamento d , da x a x , il lavoro W è

i f F

 

dato dall'area del trapezio sotteso dalla retta F ( x ) kx , tra le

ascisse x ed x F ( x )

i f

  

1

    

W kx kx x x

F f i f i

2 x

x

O f

i

  

1

     x

k x x x x  W

kx

f i f i

2 F

i

 

1

   

2 2

k x x kx

f