Fisica - meccanica

Lezione 1 - 25/02

Docente: Michele Ortolani

Sito: sites.google.com[/] - Didattica

Programma:

• Meccanica (1-7)
• Onde (12-16)
• Elettromagnetismo (17-24)
• Onde Elettromagnetiche (24)

Scritti 215 → Passato

2 Esercizi e 12 Domande C.U.

Orale: +3, 3, 2, Vai a casa

Ordini di Grandezza

1° → 1m³ → es. 2 · 10¹ = 2 · 10 alla 4

pico, nano, micro, milli, centi, chilo, mega, giga, tera

10^-12, 10^-9, 10^-6, 10^-3, 10^-2, 10³, 10⁶, 10⁹, 10¹²

Lezione 2 - 26/02

Vettore

Direzione + Verso

Modulo = Intensità

Scalare

Intensità

(Unità di Misura)

Da m/s A km/h

→ m/s · 3.6 = km/h

Caratteristiche Vettore

Somma di 2 Vettori

• 1° Metodo - (Punta-Coda)
• 2° Metodo - (Parallelogramma)

Differenza di 2 Vettori

Teorema di Carnot

"In ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, meno il doppio prodotto degli stessi per il coseno dell’angolo fra essi compreso"

LEZIONE 1 - 25/02

• DESCRITTO: MICHELE OSTOLANI
• PROGRAMMA:
  • MECCANICA (1-7)
  • ONDE (12-16)
  • ELETTROMAGNETISMO (17-24)

• SCRITTO 21/5 → PASSATO
• ORALE: +3, 3, 2, VAI A CASA

- ORDINI DI GRANDEZZA

• 4°: = 10^-4 … Es. 2 · 10^-3 = 2 · 10 alla 4 · 10^-7

LEZIONE 2 - 26/02

• VETTORE
  • DIREZIONE + VERSO
  • MODULO = INTENSITÀ
• SCALARE
  • INTENSITÀ

• (UNITÀ DI MISURA)
  • DA m/s A km/h
  • → m/s · 3.6 = km/h

• CARATTERISTICHE VETTORE
• SOMMA DI 2 VETTORI
  • 1° METODO (PUNTA - CODA)
  • 2° METODO (PARALLELOGRAMMA)
• DIFFERENZA DI 2 VETTORI

• TEOREMA DI CARNOT

  "IN OGNI TRIANGOLO IL QUADRATO DI UN LATO È UGUALE ALLA SOMMA DEI QUADRATI DEGLI ALTRI DUE, MENO IL DOPPIO PRODOTTO DEGLI STESSI PER IL COSENO DELL’ANGOLO FRA ESSI COMPRESO"

Distanza percorsa vs. Spostamento

• Spostamento ≡ (Segmento AB)

d_sp ≡ ΣΔx_i

• Distanza percorsa ≡ (Tragitto)

d = Σ|Δx_i|

Lezione 3 - 27/02

Alfabeto greco

• α Alpha
• β Beta
• γ Gamma
• Δ/δ Delta
• ε Epsilon
• ζ Zeta
• η Eta
• θ Theta
• ι Iota
• κ Kappa
• λ Lambda
• μ Mi/Mu
• ν Ni/Nu
• ο Omicron
• π Pi
• ρ Rho
• Σ/σ Sigma
• τ Tau
• υ Upsilon
• φ Phi
• χ Chi
• ψ Psi
• ω Omega

Vettore posizione

Vettore spostamento

X_P ≡ (x_P; y_P) ≡ x_P·̂x + y_P·̂y

Le sue componenti sono le proiezioni sugli assi cartesiani

Lunghezza |X_P| = √(x_P², y_P²)

Versore ≡ Versore di un asse è un vettore di modulo 1 (̂x; ̂y)

Δx_AQ = x_A − x_P =

= x_A·̂x + y_A·̂y - x_P·̂x - y_P·̂y =

(x_A − x_P)·̂x + (y_A − y_P)·̂y

|Δx_AQ| = √[(x_A − x_P)² + (y_A − y_P)²]

Lezione 4 - 4/03

Cinematica (Cap. 2.1-2.2-2.3-3.1)

_x(t) = _x (t)v_x(t) = dx/dt

v = ( dx/dt )

v = ( v_x(t) )

dx/dt = v

• Velocità
• Vettoriale media = v_med = (x_finale - x_iniziale)/(t_f - t_i) = Δx/Δt
• Scalare media = v_med = d/Δt_tot (d = tragitto/distanza percorsa)
• Istantanea = lim_Δttot→0 Σ |Δx_i|/Δt_tot
• Conversione Coordinate

Da cartesiane a polari

• r_s = √(x_s² + y_s²)
• θ = arctan (y_s/x_s)

Da polari a cartesiane

• x_s = r_s cos(θ)
• y_s = r_s sin(θ)

• Formulario
• Superficie sferica = 4πr²
• Volume sfera = 4/3 πr³
• Densità = ρ = m/V = [ kg/m³ ]

Lezione 5 - 4/03

• Moto rettilineo uniforme

• x = x_i + vt
• Moto uniformemente accelerato

• Nota:
• a = derivata di v (velocità)
• v = derivata di x (spazio)
• x = derivata di v (spazio)

LEZIONE 6

• MOTO DI CADUTA LIBERA (2.7)

g_terra = 9.81 m/s² — L'ACCELERAZIONE È COSTANTE

"LA VELOCITÀ DELLA CADUTA NON DIPENDE DALLA MASSA", "DIPENDE DAL PUNTO"

v = -gt

y(t) = h - ₁/² g (t²)

t = √^2h/_g

g_a = 9,80 m/s² (PERCHÉ È VERSO IL BASSO ANCHE LA VELOCITÀ SARÀ NEGATIVA)

LEZIONE 7

• MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO LUNGO L'ASSE Y

(VEDI ESEMPIO 2.7-PAG.58)

v_yf = v_yi + a_yt

t = √^{v_yf - v_yi}/_ay (VELOCITÀ IN FUNZIONE DEL TEMPO)

y = y_i + v_i t + ₁/² at² (POSIZIONE IN FUNZIONE DELLA VELOCITÀ E DEL TEMPO)

v_y²f = v_i² + 2 a (y_f-y_i) (VELOCITÀ IN FUNZIONE DELLA POSIZIONE)

• MOTO DEI PROIETTILI (3.3)

a_x = 0, a_y = -g, A, a_x = 0

cos θ: v_xi / v_i sin θ: v_yi / v_i

v_xf = v_i

x_f = x_i + v_it

v_yf = v_yi - gt = v₂ sin θ - gt

y_f = y_i + v_yit - ₁/² g t² = y

MOTO RETTILINEO UNIF.

MOTO UNIF. ACCELLERATO

v_i = v_i cos θ

v_yi = v_y sin θ

t_A = v_i sin θ / g

t_B = 2 v_i sin θ / g

GITTATA = R = v² sin 2θ / g

h_max = v² sin²θ / 2g

- Moto Parabolico

Spazio → r:

• x(t) = x_i + v_xi ⋅ t → moto rett. uniforme
• y(t) = y_i + v_yi ⋅ t - 1/2 gt² → moto uniform. accelerato

Velocità → v:

• v_x(t) = dx/dt = v_xi
• v_y(t) = v_yi - 1/2 ⋅ g ⋅ t

[r = x(t) ⋅ x + y(t) ⋅ ŷ]

[v = v_x(t) ⋅ x + v_y(t) ⋅ ŷ]

[a = -g ⋅ ŷ]

- Lezione 8

- Moto Circolare Uniforme

[r(t) = r (raggio costante)]

• θ(t) = θ_o + ω ⋅ t

- Velocità Angolare

Nel moto circolare uniforme di un punto materiale lungo una traiettoria di centro O, la velocità angolare ω è il rapporto fra lo spostamento angolare Δφ compiuto, cioè l'angolo spazzato dal vettore posizione OP e l'intervallo di tempo Δt impiegato a compierlo:

• ω_a = Δφ/Δt → ^spostamento/_{angolare (rad)}

φ = s/r

s ^{arco di circon.} (m)

r ^raggio (m)

Velocità angolare (rad/s)

Intervallo di tempo (s)

→ Velocità angolare istantanea è ω = lim_Δt→0 Δφ/Δt.

Inoltre, la velocità angolare è la derivata della posizione angolare calcolata rispetto al tempo ω = dφ/dt.

- v = 2πr/T = 2πr ⋅ f = velocità

- Accelerazione Centripeta

Il moto circolare uniforme è un moto accelerato, in quanto caratterizzato da una velocità che cambia continuamente direzione. La sua accelerazione è centripeta, cioè orientata in ogni istante verso il centro della traiettoria, con modulo costante espresso da:

a_c = v²/r = ω² ⋅ r

- Accelerazione Radiale

a_r = -a_c = v²/r

→ Il verso dell'accelerazione radiale è opposta a quella centripeta (→ verso l'esterno)

Lezione 9/10

• Le leggi di Newton

I. "Se un corpo non interagisce con altri corpi, è possibile identificare un sistema di riferimento nel quale il corpo ha accelerazione nulla"

- Un'alta formulazione: "Se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, esso rimane fermo oppure, se in movimento, continua a muoversi di moto rettilineo uniforme"

F ∝ a (→ La forza è proporzionale all'accelerazione)

II. "Se osservato da un sistema di riferimento inerziale, l'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa."

a ∝ ^∑F/_m → ∑F = m · a (N = kg·m/s²)

III. "Se due corpi interagiscono, la forza F₁₂ esercitata dal corpo 1 sul corpo 2 è uguale in modulo e direzione ma di verso opposto alla forza F₂₁ esercitata dal corpo 2 sul corpo 1"

- Un'alta formulazione:

Ad ogni azione corrisponde sempre una reazione contraria di uguale intensità

F₁₂ = -F₂₁, reazione vincolo normale

Lezione 11

• Il piano inclinato
• Oggetto in equilibrio: ΣF = 0

Lezione 12

• Esempi cap. 4
  • 4.2 Risultante forze
  • 4.3 Piano inclinato
  • 4.4 Carrucola
  • 4.5 Trazione
• Corda di massa trascurabile e inestensibile
• Macchina di Atwood

Lezione 13

Forze di Attrito

F_a ⃗ → Forza che si oppone al moto = μ ⋅ F_t ⋅ ⃗ Ove 0 < μ < 1

- Statica

• F_a,s = -∑ F_i
• F_a,s,max = μ_s ⋅ |N⃗ | ⋅ ⃗

- Dinamica

• F_a,d = μ_l ⋅ |N⃗ | ⋅ ⃗

⇒ μ_s > μ_l

- Viscoso

Modello 1 (F_a ∝ |v|)

F_a = -b v⃗

v(t) = ^mg/_b(1 - e^-bt/m)

Assumendo: v_lim = ^mg/_b

v(t)=v_lim(1-e^-t/)

Moto unidimensionale con forza esterna costante ed attrito viscoso

F_ext: forza esterna motrice costante.F_av = -bv: forza di attrito viscoso dipendente dal modulo della velocitàa = dv/dt: accelerazione scritta come derivata prima della velocità.La seconda legge di Newton (o secondo principio della dinamica) diventa:

F_ext - bv(t) = ma = m dv/dt

dividiamo per la massa m a sinistra e destra: F_ext/m - b/m v(t) = dv/dtdefiniamo i coefficienti A e B per semplificare i calcoli: F_ext/m = A ; b/m = B quindi:

dv/dt = A - Bv

risolviamo l'equazione differenziale in v(t) con la separazione delle variabili:

1/(A - Bv) dv = dt

∫_vo^v(t) 1/(A - Bv) dv = ∫_to^t dt

usiamo l'integrale indefinito ∫1/(A - Bx) dx = -1/B ln(A - Bx) e valutiamo agli estremi:ln(A - Bv) - ln(A - Bv_o) = -B(t - t_o)(abbiamo moltiplicato a sinistra e a destra per -B).

Nel caso più semplice v_o = 0, t_o = 0 diventa:ln(A - Bv) = ln(A) = -Bt

usiamo la proprietà dei logaritmi ln(x) - ln(y) = ln(x/y)

ln((A - Bv)/A) = -Bt

eleviamo ad esponente con base e a sinistra e a destra

(A - Bv)/A = e^-Bt

A - Bv = Ae^-BtBv = A - Ae^-Btv(t) = A/B (1 - e^-Bt) = F_ext/b (1 - e^-bt/m)

definendo F_ext/b = v_lim velocità limite

e anche τ = m/b tempo caratteristico, la soluzione v(t) si scrive:

v(t) = v_lim (1 - e^-t/τ)

Lezione 16/17

Capitolo 6

• Lavoro

"Si parla di lavoro quando ci sono forze che producono o ostacolano spostamenti"

W = _F · _x = F · Δx · cosθ

[W] = J = N · m = kg · m² / s²

dW_f = _F · d_x → { 0 se F ⊥ dx= F_dx se F ‖ dx= - F_dx se F // - dx } = _F · dx · cosθ

"Il lavoro non può essere calcolato sempre allo stesso modo:- Per le forze costanti, è dato dal prodotto tra la proiezione della forza _F sullo spostamento x (o viceversa) per lo spostamento- Per le forze non costanti, è uguale all'area sottesa dalla curva presente nel grafico forza-spazio."

∫ F · dx = ∫_x0^x_B F_x · dx = ∫_x0^x_B F_x · dx

• Se Fx/dx: WA-B = ∫BA F · dx = ∫XBx0 FX · dx

• Se F_X non dipende da x = F_X (x_B – x_A)
• Se F_X dipende da x (come la molla): F_X(x) = - k x[k] · N / m

W_A-B^m = ∫_xA^x_B - k x dx = - k · ( x_0²/2 - x_A²/2 ) = (- 1/2 k Δx²)

- Lavoro nel moto circolare

∫W_rad = ∫ ∑F_tl · x = 0

∫W_tan = ∫ ∑F_tl · x = 0

• z: { ∑F_tl = - m v² / rt: ∑F_tl = m a_c[Nel moto circolare "Il lavoro totale è 0"]

- x molla

W_A-B^m = - W_A-B^ext

• {Compressione da _A | ∅ A x₀ Compressione da x₀ ∅ A Estensione da ∅ A x₀ Estensione da ∅ A x₀ N x₀}W a _A < x₀ W > 0 < x₀ a W > 0 < x₀ a W > 0 < x₀ a X₀ √ X₀² - x₀X₀

Lezione 18

Energia Cinetica

"L'energia cinetica di un corpo è il lavoro che una forza deve compiere per portare il corpo, da fermo, alla velocità con cui si muove"

W_ext = ∫_xA^x_B Σ F_i dx = ∫_xA^x_B ma dx = ∫_xA^x_B m dv/dt dx = ∫_xA^x_B m dv dx/dt dx

= ∫_vA^v_B m v dv ⇒ W_ext = 1/2 mv_B² - 1/2 mv_A² = K_B - K_A = ∆K

→ K = 1/2 mv²

[k] : Joule = kg·m²/s²

Lezione 19

Energia Potenziale

"L'energia potenziale di un corpo, in una determinata posizione, è il lavoro compiuto dalla forza conservativa agente sul corpo, quando esso si sposta dalla posizione considerata ad un'altra posizione di riferimento lungo un percorso qualunque"

• Energia Potenziale Gravitazionale

U_g ≡ mg h

W_ext = ∆U_g = mg y_f - mg y_i

W_peso - W_ext

• Energia Potenziale Elastica

"L'energia potenziale elastica del sistema può essere pensata come l'energia immagazzinata nella deformazione della molla"

"L'energia potenziale elastica immaginata in una molla è nulla quando la molla non è deformata (x = 0)"

W_ext = 1/2 kx_f² - 1/2 kx_i²;

U_m ≡ 1/2 kx²

"Una forza il cui lavoro dipende dallo stato iniziale e dallo stato finale del corpo sul quale agisce, ma non dal percorso, è detta forza conservativa. Solo a una f. conservativa può essere associata un'energia potenziale U. (Forze gravitazionali ed elastiche sono conservative)"