Fisica II - oscillazioni, onde, elettromagnetismo

F I I I G

II

SS

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I I G

I

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I

C A P

E R N

G

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N

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L

L

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II EE OO

NN

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L

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L

A Z I

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A T O R E A R M O N I C O S E M P L

I C E

S C I L L

A T O R E A R M O N I C O S E M P L

I C E

C

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t o l

o 1 .

E q

u

a z i

o n

e d

i

f f e r e n

z i

a l

e e c

o n

s

i

d

e r a z i

o n

i e n e r g e t

i

c

h

e (

1 . 1 )

E q

u

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i

f f e r e n

z i

a l

e e c

o n

s

i

d

e r a z i

o n

i e n e r g e t

i

c

h

e (

1 . 1 )

Un oscillatore è un corpo che compie oscillazioni attorno ad una posizione di soggetto ad

equilibrio stabile,

una che riconduce il sistema verso la suddetta posizione. Tale forza è di tipo elastico. Un

forza di richiamo

oscillatore il cui moto è descritto dall’equazione differenziale

∂ 2 x + Ω = (1.1.0)

2 x 0

∂ 2

t

è detto oscillatore armonico semplice. Risolvendo l’equazione, e imponendo alcuni passaggi, si ottiene la

soluzione x(t) = A sin(Ωt + ф), che come sappiamo è la legge oraria del moto armonico semplice. A e ф si

trovano dalle condizioni al contorno, risolvendo il problema di Cauchy:

= Φ = Φ

 x (0) A sin( ) x x x

tan( )

→ = → Φ = Ω

0 0 0

 arctan( )

= Ω Φ = Ω

v (0) A cos( ) v

 v v

0 0 0

Inoltre, isolando sin(ф) e cos(ф), ed elevando al quadrato le due equazioni, possiamo ricavare facilmente A:

2 2 2

x v v

+ = = +

⇒ 2

0 0 0

1 A x

Ω Ω

0

2 2 2 2

A A

Essendo x(t) periodica, vale x(t)=x(t+T), con T periodo del moto. Sappiamo che la funzione seno è periodica

di periodo 2π, e dunque possiamo scrivere: Ωt + ф + 2π = Ωt + ф + ΩT T = 2π/Ω

Ω

1

Ricordiamo inoltre che: , dunque [ν]=s =Hz.

-1

ν = = π

T 2

Poiché le funzioni seno e coseno sono sfasate di π/2, spostamento e velocità lo sono (in quadratura di fase).

Inoltre a(t) = v’(t) = - Ω A sin(Ωt + ф) = Ω A sin(Ωt + ф + π). Dunque x(t) e a(t) sono sfasati di π (in

2 2 opposizione

Diamo ora alcune considerazioni energetiche. In assenza di qualunque forza esterna, l’unica forza in

di fase).

gioco è quella elastica di richiamo, che è conservativa; dunque l’E si conserva. Il termine ½kA è il valore

2

m

massimo dell’E , assunto negli estremi (dove E =0); il termine ½mΩ A è il valore massimo dell’E , assunto

2 2

p k k

nel centro di oscillazione (dove E =0). Quindi E =E =E , e vale sempre:

p m p,max k,max

1 1

= +

2 2

( )

E mv x kx

m 2 2

Notiamo infine come l’E è, in media, per metà potenziale e per metà cinetica:

m

π

1 1 1 1 1 1 1

∫

= = = → = Ω Ω + Φ = Ω = = =

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( ) ;

x x x dx E m A t m A E E kA E

π k m p m

2 2 4 2 4 2

0

E s

e m p

i d

i o s

c

i l

l

a t

o r i s e m p

l

i

c

i (

1 . 2 )

E s

e m p

i d

i o s

c

i l

l

a t

o r i s e m p

l

i

c

i (

1 . 2 )

Si consideri un pendolo puntiforme (pendolo semplice), formato da un corpo di massa m appeso ad un filo

di lunghezza ℓ. Sia θ l’angolo con la verticale. Assumiamo un S.R.I. solidale con il corpo, con versori

θ ɵ

ɵ

rispettivi , tangente alla traiettoria, ed ortogonale alla traiettoria. Abbiamo le seguenti relazioni:

r 2

v

θ θ α

∑ ɵ − = =

= θ

ɵ − + = = −

; ; . Si ricava allora:

ℓ

: sin( )

mg ma m

F ma r : T mg cos( ) ma m

T N ℓ

θ θ θ

∂ ∂ ∂

2 2 2 θ θ θ

g → ≅ g

. Considerando che per e ponendo

α θ θ

= − = + =

⇒ ⇒ 0, sin( ) Ω =

2

ℓ

mg m

sin( ) sin( ) 0

∂ ∂ ∂

2 2 2 ℓ

t t t ℓ

si trova l’equazione di un moto armonico semplice. Consideriamo un sistema massa-molla, e prendiamo un

ɵ

S.R.I. unidimensionale con origine nella posizione di equilibrio statico. Nella direzione del versore x

∂ 2 x k k

abbiamo: . Ponendo si trova l’equazione di un moto armonico semplice. Si

− = + = Ω =

⇒ 2

kx ma x 0

∂ 2

t m m

consideri ora un corpo rigido di massa m appeso, di inerzia I rispetto all’asse z ortogonale al piano del foglio

e passante per il punto di sospensione O e siano la distanza dal centro di massa, θ l’angolo rispetto alla

d

verticale. In breve, considerando piccole oscillazioni: θ

∂ 2 mgd

∑ α θ α θ θ θ

= − = ≅ + =

⇒

M I mgd I

; sin( ) ; sin( ) 0

∂ 2

t I

mgd , si ottiene un moto armonico semplice.

Ponendo Ω =

2 I R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

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F I I I G

II

SS

II

CC

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RR NN

GG

EE

GG

NN

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RR

II

AA EE

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NN

AA

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F I I I G

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G

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L

L

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II EE OO

NN

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L

L

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S

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L

L

A Z I

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I E O N D

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S C I L L

A T O R

I A R M O N I C I

S C I L L

A T O R

I A R M O N I C I

C

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o 2 .

O

s

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i l

l

a t

o r e a r m o n

i

c

o f r e n

a t

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n

a f o r z a v i

s

c

o s

a (

2 . 1 )

O

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o f r e n

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a f o r z a v i

s

c

o s

a (

2 . 1 )

Nel caso in cui la forza di richiamo non è proporzionale allo scarto, non si tratta più di un oscillatore

armonico, bensì e l’equazione differenziale risulterà diversa dalla (1.1.0). Analizzeremo nel

anarmonico

seguito casi di oscillatori armonici non semplici. Prendiamo in esame il caso di un oscillatore armonico

frenato da una forza viscosa. L’equazione del moto è –λv –kx = ma, da cui ricaviamo:

∂ ∂

2 x x

γ

+ + Ω = (2.1.0)

2 x

2 0

∂ ∂ 0

2

t t

λ

k

avendo posto e . Il termine γ si definisce mentre Ω

γ coefficiente di smorzamento, pulsazione

=

Ω = 0

2

0 2m

m

(pulsazione che il moto avrebbe in assenza di smorzamento). Si consideri il polinomio caratteristico

propria

associato alla (2.1.0). Si trova ∆ = γ - Ω I tre casi possibili riflettono le possibili relazioni tra la forza

2 02.

dissipativa (γ) e la forza di richiamo (Ω ):

0

Smorzamento forte (γ > Ω , ∆ > 0)

2 02

1 .

1 . Smorzamento critico (γ = Ω , ∆=0)

2 02

2 .

2 . Smorzamento debole (γ < Ω , ∆ < 0)

2 02

3 .

3 .

Nel primo caso la forza dissipativa predomina su quella di richiamo e il sistema non

oscilla. Gli zeri del polinomio sono reali. La legge oraria nel caso di smorzamento forte è allora:

γ γ

−Ω − −Ω

γ 2 2 2 2

−

= +

t t

t (2.1.1)

x t e Ae Be

( ) ( )

0 0

Nel secondo caso la forza dissipativa eguaglia quella di richiamo e il sistema non oscilla. Lo zero del

polinomio è unico, reale, con molteplicità 2. La legge oraria nel caso di smorzamento critico è allora:

γ

−

= +

t (2.1.2)

x (

t ) e ( At B )

Nel terzo caso la forza di richiamo predomina su quella dissipativa e il sistema oscilla attorno alla posizione

di equilibrio. Gli zeri del polinomio caratteristico sono una coppia di numeri complessi coniugati. La legge

oraria nel caso di smorzamento debole è allora: γ

−

= Ω + Φ

t (2.1.3)

x t A e t

( ) sin( )

0

avendo posto . Le quantità A e ф si trovano dalle

γ

Ω = Ω −

2 2 0

0

condizioni iniziali. Il moto non è più periodico. Tuttavia è possibile

definire uno T=(2π)/Ω. Dopo ogni pseudoperiodo

pseudoperiodo

l’ampiezza dell’oscillazione si riduce di un fattore e . Detta τ la vita

-γt

media dell’oscillazione, si trova che τ = 1/γ. All’istante t = τ, possiamo

calcolare che l’ampiezza A si è ridotta circa del 63%. Infatti:

t

− A 1

τ

γ

−

= = = = ≅

⇒

τ

t

A A e A e t

; 0,37

0 0 A e

0

O

s

c

i l

l

a t

o r e a r m o n

i

c

o f o r z a t

o , r i

s

o n

a n

z a (

2 . 2 )

O

s

c

i l

l

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o r e a r m o n

i

c

o f o r z a t

o , r i

s

o n

a n

z a (

2 . 2 )

Un oscillatore armonico forzato si costruisce applicando ad un oscillatore smorzato una forza capace di

frenare lo smorzamento, e quindi di compensare le perdite di energia. La forza in questione compie un

lavoro positivo sul sistema ed è governata da una legge sinusoidale (e dunque periodica e variabile nel

tempo). Definendo F =F sin(Ωt), scriviamo l’equazione del moto in esame: –λv –kx +F sin(Ωt) = ma. La

est 0 0

relativa equazione differenziale è allora:

∂ ∂

2 F

x x

γ

+ + Ω = Ω

2 0 (2.2.0)

2 x sin( t )

∂ ∂ 0

2

t t m

La (2.2.0) è un’equazione differenziale non omogenea, dunque la sua soluzione è costituita dalla somma di

una soluzione omogenea ed una particolare. Si trova che: α β

= Ω + Φ + +

t t

( ) sin( )

x t A t Be Ce

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

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M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F I I I G

II

SS

II

CC

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GG

EE

GG

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RR

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AA EE

SS

TT

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NN

AA

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F I I I G

I

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I

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G

E G

N

E R I

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A L

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L

L

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II EE OO

NN

DD

EE

O

S

C I

L

L

A Z I

S

C I

L

L

A Z I

O N

I E O N D

E

A seconda degli zeri α e β, cambia il tipo di smorzamento, ma in ogni caso dopo un certo tempo secondo e

terzo addendo della (2.2.1) (soluzione dell’omogenea) tenderanno a 0. La fase del moto durante la quale

questi due addendi non sono trascurabili è detta La fase successiva è detta in quanto,

transitoria. stazionaria,

terminata la fase transitoria, si assiste ad una oscillazione permanente di pulsazione Ω dovuta alla forza

esterna, e sfasata di Φ rispetto ad F . Determiniamo ora, in fase stazionaria, i γ

est Ω 20 x

2 v

valori di A e Φ con un metodo, chiamato Sappiamo che il

Costruzione di Fresnel.

moto armonico semplice è la proiezione di un moto circolare uniforme. Φ

Consideriamo allora un vettore rotante di modulo costante A, di cui x(t) è

x

dunque proiezione. Sappiamo intanto che v(t)= ΩA sin(Ωt + ф + π/2), a(t)= Ω A

2 F

sin(Ωt + ф + π). Se sostituiamo x(t), v(t) e a(t) nella (2.2.0), il primo membro di

essa, diviene la somma dei tre termini Ω A sin(Ωt + ф + π), 2γ ΩA sin(Ωt + ф +

2 a

π/2) e Ω A sin(Ωt + ф). Definiamo, analogamente a , i vettori rotanti e . Si

02 x v a

considerino ora i vettori in figura, all’istante t=0. La risultante dei vettori , e avrà allora modulo

γ

Ω 2

R a

2 v

x

0

γ

Ω

 

2

γ θ

= Ω − Ω + Ω = + Φ

e fase pari a: . Modulo e fase (direzione) di tale

2 2 2 2  

R ( A A

) (2 A ) ; arctan Ω − Ω

0 2 2

 

0

(vettore rotante di modulo F /m), e dunque si trovano le relazioni:

vettore devono uguagliare quelli di F 0 γ

Ω

 

2 2

F

γ +Φ =

Ω − Ω + Ω =

2 2 2 2 0 ;  

arctan 0

( A A

) (2 A ) Ω − Ω

0 2 2

2

m  

0 γ

Ω

2

F Φ = −

=

Da cui: ; (2.2.1)

tan( )

0

A Ω − Ω

2 2

γ

Ω − Ω + Ω

2 2 2 2

m ( ) (2 ) 0

0

Osserviamo che A e Φ non dipendono dalle condizioni iniziali; solo le costanti B e C della fase transitoria

dipendono da esse, e dunque, dopo un tempo molto lungo, il sistema “dimentica” le condizioni iniziali. Nel

caso particolare in cui Ω =Ω, si ha il fenomeno di risonanza. Nel caso di smorzamento debole, cioè γ < Ω ,

2 02

0

A ha un massimo. A parità degli altri parametri risulta, come può vedersi nella (2.2.1), come si abbia

l’ampiezza massima per Ω =Ω, cioè quando si ha la risonanza. La potenza media fornita dalla forza F (t)

0 est

eguaglia la potenza media spesa dalla forza di attrito viscoso. In particolare la potenza media esterna è

massima per Ω =Ω, cioè quando si ha la risonanza.

0 R S – C S 3

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

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AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F I I I G

II

SS

II

CC

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RR NN

GG

EE

GG

NN

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RR

II

AA EE

SS

TT

II

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NN

AA

LL

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F I I I G

I

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I

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G

E G

N

E R I

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T I

O N

A L

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C I

L

L

A Z I

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NN

II EE OO

NN

DD

EE

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S

C I

L

L

A Z I

S

C I

L

L

A Z I

O N

I E O N D

E

F

F

E

N O M E N I O N D U L

A T O R

I

E

N O M E N I O N D U L

A T O R

I

C

a p i

t o l

o 3 .

L e o n

d

e m e c

c

a n

i

c

h

e ( 3 . 1 )

L e o n

d

e m e c

c

a n

i

c

h

e ( 3 . 1 )

Le onde sono generalmente associate al trasporto di energia. Un’onda è infatti in grado di trasportare

energia senza trasportare massa. Esse si distinguono in due tipologie fondamentali: le che

onde meccaniche,

necessitano di un mezzo per propagarsi, e le

la cui propagazione non

onde elettromagnetiche,

necessita di alcun mezzo. Nel momento in cui

un’onda meccanica si propaga attraverso un

dato mezzo, in questo non si riscontra un

movimento macroscopico di materia, nel

senso che, nel suo complesso, il mezzo, rimane

fermo. I vari elementi del mezzo oscillano

attorno ad una posizione di equilibrio, con un

certo ritardo rispetto alla sorgente, che

dipende dalla distanza dalla sorgente e dalla

velocità di propagazione. Dunque il propagarsi di una oscillazione su un mezzo, con una ben definita

velocità costituisce una onda meccanica. Nel seguito limiteremo le nostre considerazioni al caso di onde

meccaniche unidimensionali. L’oscillazione, che