Fisica II - oscillazioni, onde, elettromagnetismo

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

E LL

EE

TT

TT

RR

OO

M

AA

G

N

EE

TT

II

SS

M

O

E M G

N M

O

L

E T T R O M

A G

N

E T I S

M

O

E

E

L

E

T T R

O S T A T I C A

L

E

T T R

O S T A T I C A

C

a p i

t o l

o 1 .

F o r z a d

i C

o u

l

o m b (

1 . 1 )

F o r z a d

i C

o u

l

o m b (

1 . 1 )

In un corpo qualsiasi, composto da atomi, la carica totale, pari alla somma algebrica di tutte le cariche

elementari presenti nel corpo risulta normalmente nulla: il corpo è neutro. Con alcuni metodi è però

possibile effettuare trasferimenti di carica tra corpi, per cui la carica totale di un corpo può risultare positiva,

oppure negativa. Il confronto tra due cariche diverse in modulo può diventare quantitativo solo se si conosce

l’espressione della forza con cui interagiscono le cariche elettriche. Coulomb stabilì che due cariche

puntiformi q e q , poste a distanza interagiscono con una forza diretta secondo la loro congiungente, di

r F

1 2

q q

=

modulo: , dove è una costante che dipende dalle scelte di unità di misura e dal mezzo in cui le

1 2

| F | k k

2

r

cariche sono immerse. Di norma il mezzo è isolante, e viene detto per le sue proprietà elettriche. Il

dielettrico

Nm /C (“C” è l’unità di misura della carica elettrica). Per ragioni

valore di nel vuoto risulta = 9x10 -9 2 2

k k ε ε

pratiche è solito esprimere come 1/4π , dove è nota come del vuoto, che vale

k costante dielettrica

0 0

ε =8,85x10 C / Nm . Il valore della carica elementare espresso in Coulomb risulta 1,6x10 C.

-12 2 2 -19

0 ɵ

Indichiamo con il versore del vettore che va dalla carica q alla carica q . La forza che la carica q

u r 1 2 1

1 q q ɵ

=

esercita sulla carica q assume la forma vettoriale . Se le due cariche hanno lo stesso segno,

1 2

F u

2 πε 2

4 r

0

la forza (applicata su q ) ha lo stesso verso di , cioè è repulsiva. In caso contrario ha verso opposto ad ,

r r

2

ed è attrattiva.

C

a m p

o e l

e t

t

r o s

t

a t i

c

o ( 1 . 2 )

C

a m p

o e l

e t

t

r o s

t

a t i

c

o ( 1 . 2 )

Le forze elettriche agenti su di una carica q dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori: vige

0

cioè il principio di sovrapposizione degli effetti delle forze. La grandezza vettoriale definita come:

F

Ε= q 0

viene chiamata Più precisamente il campo elettrostatico prodotto in un punto da un

campo elettrostatico. che queste esercitano su una carica q di prova posta nel

sistema di cariche ferme, è definito come la forza F 0

punto, divisa per la carica q stessa. Da un punto di vista teorico la definizione risulterebbe più corretta se si

0

facesse tendere a zero la carica di prova (per rendere infinitesime le perturbazioni che q stessa induce sul

0

campo elettrostatico). Da un punto di vista pratico, ciò si traduce nella condizione che q sia molto più

0

piccola rispetto a ciascuna delle cariche che generano il campo. Il campo elettrostatico generato da un

sistema discreto di cariche puntiformi è dato da:

i  

q

1

∑

Ε = i

 

u

πε i

2

i 4 r

 

0 i

In altre parole il campo elettrostatico in un punto prodotto da un sistema di cariche è uguale alla somma dei

campi elettrostatici prodotti singolarmente dalle cariche. Si deduce, dalla definizione di E, che se una carica q

è positiva, il campo da essa generato ha verso uscente da q, mentre se q è negativa, il campo avrà verso

entrante. Il campo elettrico si misura in N/C. Nella maggior parte dei casi risulta però che le sorgenti di un

campo non sono tutte concentrate in un punto, ma bensì distribuite nello spazio con una ben determinata

geometria. In tal caso, ci si interessa al cosiddetto campo elettrostatico medio, che si avverte nei punti P posti

ad una certa distanza dalle cariche generatrici, punti dai quali la distribuzione di carica è vista come

continua. La distanza di cui si è detto, deve essere molto grande rispetto alla distanza media tra le cariche

elementari (che si considera dell’ordine di 10 m). Sotto tutte queste ipotesi, il campo generato dal sistema di

-10

cariche in un punto P si può ottenere dividendo la carica in infiniti elementi infinitesimi dq. Il campo

elettrostatico prodotto su P, somma degli infiniti campi prodotti dagli infiniti elementi dq, sarà dato da:

1 dq ɵ

∫

Ε= u

πε 2

4 r

0

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F I I I G

II

SS

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

E LL

EE

TT

TT

RR

OO

M

AA

G

N

EE

TT

II

SS

M

O

E M G

N M

O

L

E T T R O M

A G

N

E T I S

M

O

Consideriamo una carica di prova posta all’interno di un campo elettrico

generato da una carica puntiforme. La carica di prova risentirà dell’effetto

del campo elettrico con una diretta dipendenza dalla distanza dalla carica

puntiforme. Partendo da una generica posizione, e muovendosi per tratti

infinitesimi successivi, ciascuno parallelo e concorde al campo

elettrostatico in quel punto, si ottiene una linea che è detta o

linea di forza

Pertanto in ogni suo punto tale linea, per

linea di campo elettrostatico.

definizione, è tangente al campo, e il suo verso di percorrenza indica il

verso del campo. Nel caso in esame, le linee di forza hanno direzione

radiale con origine sulla carica, e sono uscenti da questa se è positiva,

entranti se è negativa. Le linee si infittiscono avvicinandosi alla sorgente

del campo, e ciò indica l’aumento di intensità del campo stesso. È bene

puntualizzare che linee di forza non si incrociano mai, in quanto in ogni

punto il campo è definito univocamente. In generale, vale che le linee di

forza hanno origine dalle cariche positive, e terminano sulle cariche negative.

Qualora siano presenti solo cariche di uno stesso segno, le linee di forza si

chiudono all’infinito.

L e g g e d

i G

a u

s

s (

1 . 3 )

L e g g e d

i G

a u

s

s (

1 . 3 ) Ε

Consideriamo una regione in cui è definito un campo , e orientiamola

dA, ɵ Ε

fissando il verso del versore della normale . Si definisce del campo attraverso la superficie la

u flusso dA

n

Φ Ε = Ε

quantità scalare: . Il flusso attraverso una superficie finita A, si ottiene con l’integrale di

ˆ

i

d ( ) ( u ) dA

n

∫ ∫

Φ Ε = Ε Φ Ε = Ε

superficie: . Se la superficie è chiusa il flusso si scrive: . In questo

ˆ ˆ

i i

( ) ( u ) dA ( ) ( u )

dA

n n

A A

caso è convenzione orientare la normale verso l’esterno. I contributi positivi all’integrale sono quelli per cui

Ε > , dovuti a quelle zone dove anche il campo punta verso l’esterno, e rappresentano quindi un flusso

ˆ

i u 0

n

uscente dalla superficie. I contributi negativi rappresentano un flusso di campo entrante. Pertanto l’integrale

dà il flusso netto attraverso la superficie chiusa; se esso è nullo, il flusso entrante eguaglia in modulo il flusso

uscente. Enunciamo ora il teorema di Gauss, legge che vale se e solo se la forza tra due cariche elementari è

inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le stesse:

“Il flusso del campo elettrostatico prodotto da un sistema di cariche attraverso una superficie chiusa è uguale alla

ε ”

somma algebrica delle cariche elettriche contenute all’interno della superficie, divisa per 0

( ) 1 ∑

Φ Ε = q

ε i

i

0

dove la sommatoria è estesa alle sole cariche interne. Nell’ipotesi che la distribuzione di carica sia continua,

( ) 1 ∫ Τ

Φ Ε =

la legge si scrive: , essendo il volume racchiuso dalla superficie chiusa.

dq

ε Τ

0

L a v o r

o e l

e t

t

r i

c

o e d

i

f f e r e n

z a d

i p

o t

e n

z i

a l

e ( 1 . 4 )

L a v o r

o e l

e t

t

r i

c

o e d

i

f f e r e n

z a d

i p

o t

e n

z i

a l

e ( 1 . 4 )

In generale, quando su una carica q , agisce una forza di qualsiasi natura, possiamo definire sempre un

0

campo elettrico, che si indica col nome di come rapporto tra la forza che agisce sulla

campo elettromotore,

carica ed il valore della carica stessa. Partendo dalla definizione di lavoro infinitesimo otteniamo

l’espressione in funzione del campo elettromotore: dW = q . Dunque il lavoro della forza elettrica

Ε

0 i d s

lungo una linea C qualsiasi è dato da: W= q . L’integrale precedente si definisce tra i

∫ Ε tensione elettrica

0 i d s

C

punti A e B relativa al percorso C (A e B estremi della linea C), e si scrive con la seguente notazione:

∫

Τ → = Ε i

( )

A B lungo C d s

C

Se andiamo dalle posizioni A e B lungo una traiettoria D, &eg