Fisica generale - metodo Sperimentale e Vettori

A A L

Analisi Dimensionale (II)

analisi

l d

dimensionale

l

Una procedura

d molto

l utile

l è quella

ll dell’

d ll’ che

h

permette di effetture un controllo su un’equazione ottenuta

mediante calcoli e constatare se corrisponde

p a q

quanto ci si attende.

dimensioni possono essere trattate come quantità

Come si è visto le

algebriche per cui in un’equazione

a) Le quantità possono essere sommate o sottratte solo se hanno le

medesime dimensioni

b) I due membri di un

un’equazione

equazione devono avere le stesse dimensioni

una relazione può essere giusta solo se in entrambi

Ne consegue che

i membri le dimensioni di tutti i termini additivi sono le stesse .

Analisi Dimensionale (III)

Esempio

E mp 1

La formula che descrive la posizione in funzione del tempo nel caso

di un moto uniformemente accelerato (

(ad es. un automobile che

accelera con accelerazione costante), come vedremo è data da 1

 2

x at

2

La quantità a sinistra ha le dimensioni di una lunghezza. Affinchè

x

l’

l’equazione

i sia

i dimensionalmente

dim i lm t corretta

tt anche

h il membro

m mb a destra

d t

deve avere le dimensioni di una lunghezza. Il controllo dimensionale

si esegue sostituendo nell’equazione sopra all’accelerazione e al

tempo le

l loro

l d

dimensioni e cioè

è

   

  L 1

e per cui la forma dimensionale di è

  2

T

a x at

 

2 2

T  

     

L

  

2

T L

L  

2

T

cioè le dimensioni del tempo si cancellano lasciando la dimensione

della lunghezza nel membro di destra, come deve essere.

Analisi Dimensionale (IV)

Esempio 2

Una procedura più generale in cui si usa l’analisi dimensionale consiste nel

costruire un espressione della forma

 n m

x a t

dove e sono esponenti che devono essere determinati.

n m

Questa relazione è corretta solo se le dimensioni di entrambi i membri sono

le stesse e, poichè il membro di sinistra ha le dimensioni di una lunghezza,

così

ì deve

d essere per il

l membro di

d destra

d e quindi

d

       

  1 0

n m

a t L L T    

  L

Poichè le dimensioni dell

dell’accelerazione

accelerazione sono e del tempo



a T

 

2

T

  n

               

si ottiene L 

    

m 1 0 n m 2 n 1 0

T L T L T L T

 

 

2

 

T

Gli esponenti devono essere gli stessi in entrambi i membri dell’equazione e

   

dai rispettivi esponenti di e si vede che devono essere soddisfatte le

L T

equazioni 

 

1

n  2

da cui si conclude che

   x a t



 1 ; 2

n m

  

 2 0

m n

È importante osservare che con l

l’analisi

analisi dimensionale si ottengono gli

non

esponenti cui sono elevate le grandezze in gioco ma la costante di

proporzionalità pari a .

½

Stime e calcoli di ordini di grandezza

Spesso è utile calcolare una risposta approssimata ad un dato problema

fisico quando l’informazione disponibile è piccola. Questa risposta può

essere poi utilizzata per determinare se è necessario o meno un calcolo più

preciso.

p Una tale approssimazione

pp è basata di solito su certe assunzioni che

devono essere modificate se è richiesta una maggiore precisione.

ordine di grandezza

Le regole per determinare il cosiddetto di un numero

sono:

1. Si esprime il numero in notazione scientifica con il moltiplicatore delle

potenza di dieci compreso fra 1 e 10 con le sue unità.

2

2. Se

S il moltiplicatore

lti li t è minore

i di 3,162

3 162 (la

(l radice

di quadrata

d t di 10) si

i

conviene che l’ordine di grandezza del numero è la potenza di dieci della

notazione scientifica. Se invece il moltiplicatore è maggiore di 3,162,

l

l’ ordine

din di grandezza

nd di

diviene

i n la

l potenza

p t n di dieci

di i più uno.

un

Se una quantità cresce in valore di tre ordini di grandezza, questo vuol dire

che il suo valore cresce di un fattore di circa .

3

10 = 1000

Il simbolo sta per “è dell’ordine di”. Quindi

~ -2 -3 3

m 0.002 1 m ~ 10 720 m ~ 10 m

0.008 6 m ~ 10 ordine di grandezza

Di solito, quando si calcola un , i risultati sono affidabili

entro un fattore 10. Cifre Significative I

Tutte le misure reali hanno un qualche grado di inesattezza normalmente

errore sperimentale

chiamato . Tale “errore”

“ ” non deve essere interpretato

come uno sbaglio bensi` come una indeterminazione intrinseca al metodo

sperimentale scelto per condurre la misura, agli strumenti che si adoperano

e cosi`

i` via.

i T

Tutto

tt cio`

i ` introduce

i t d per una misura

i un intervallo

i t ll di valori

l i

possibili piuttosto che un valore ben determinato. La determinazione di tale

intervallo e` parte intrinseca della misura stessa e da` una misura della

precisione

“ ” della misura che si vuole compiere; il semiintervallo e

e` chiamato

errore sperimentale . m

Ad es. Se l’osservatore A misura con precisione

 1%

v 5

,

38

il risultato va espresso come s m

 

per cui

m 5

,

33 5

, 43

v

 

v (

5

,

38 0

, 05

) vero s

s

S

Se l’osservatore

l’ t B misura

i con precisione

i i

m

 3%

5 , 25

v

il risultato va espresso come s

m m

per cui

   

v (

5

, 25 0

,

16 ) v

5

, 09 5

, 41

vero

s s

L’ultima cifra ha un grado di incertezza ed e` chiaro che riportare

ulteriori cifre decimali non avrebbe senso in quanto completamente

sconosciute dal punto di vista sperimentale.

sperimentale

A e B di cui sopra tutte e tre le cifre nel valore

In entrambi i casi

misurato sono significative

Cifre Significative II

Regole empiriche per determinare il numero di cifre significative

Moltiplicazione

Quando si moltiplicano diverse quantita`, il numero di cifre significative nella

risposta

p finale e` lo stesso numero di cifre significative

g della meno accurata

delle quantita` da moltiplicare. La stessa regola vale per la divisione.

Risultato Corretto 19,4

Esempio: 3,60 x 5,387 Risultato Errato 19,3932

Si p

possono dichiarare solo cifre significative

g poiche`

p il numero meno

3

accurato contiene cifre significative.

3,60, 3

N.B. La presenza di zeri in un dato puo` essere fraintesa:

Si supponga che

h sia per un oggetto :

m = 1500 g

dato che non si sa se gli ultimi due zeri vengano adoperati per

Il valore e` ambiguo

collocare il punto decimale o se essi rappresentino cifre significative nella misura.

Per

P rimuovere questa ambiguita`

b ` e`

` pratica comune l’uso

l’ d

della

ll notazione scientifica

f

per indicare il numero di cifre significative quindi:

se ci sono cifre significative

3

m = 1,5 x 10 g 2

se ci sono cifre significative

3

m = 1,50 x 10 g 3

Cifre Significative III

Regole empiriche per determinare il numero di cifre significative

Somma

Quando i numeri vengono sommati (o sottratti), il numero di posti decimali nel

risultato deve essere uguale

g al p

piu` p

piccolo numero di p

posti decimali di

ciascun termine nella somma. Risultato Corretto 128

Esempio: 123 + 5,35 Risultato Errato 128,35

Arrotondamenti: se come risultato di una addizione o di una sottrazione il

l’ultima cifra

numero di cifre significative deve essere ridotto allora

mantenuta restare come e`

deve se l’ultima cifra eliminata e` compresa

p

essere aumentata unita`

tra 0 e 5 mentre deve di 1 se l’ultima cifra

eliminata e` maggiore di 5. Se invece l’ultima cifra eliminata vale 5, allora

l’ultima cifra mantenuta deve essere arrotondata al numero pari piu`

prossimo.

Per evitare l’accumulazione di errori quando si usa un calcolatore tascabile

prima

e` buona norma effettuare tutti i calcoli e poi arrotondare il

risultato

i l fi

finale.

l Cif

Cifre Significative

Si ifi ti IV

Vettori (I)

Sistemi di Coordinate

1) Un punto

p nt su una

n linea

lin e ` individuato

indi id t da

d 1 coordinata

din t

2) Un punto su un piano e` individuato da 2 coordinate

3) Un punto nello spazio e` individuato da 3 coordinate

Sistema di Coordinate

Un e` definito da

Punto di Riferimento origine

fisso detto

a) Un Assi Direzioni

b)

) Un insieme di o specificate

p

Procedure individuare un punto

c) Delle che permettano di dello

rispetto all’origine degli assi

spazio .

Vettori (II)

Sistemi di Coordinate Sistema di

Coordinate Cartesiane Ortogonali

x y

Due

D assi

i ortogonali

t li e su cui

i e`

`

fissato un sistema di unita` di misura

dei segmenti

P individuato

i di id t nel

l piano

i d

da d

due

x y

coordinate e

Sistema

Si t m di

Coordinate Polari Piane

r

Una distanza dall’origine misurata in

un fissato

f un sistema di

d unita`

` di

d

misura dei segmenti e un angolo 

rispetto ad una direzione fissata

(asse x) misurato in verso antiorario

in radianti

y

 P individuato nel piano dalle

  

x r cos tg x r

coordinate polari e 



 r sen

y  

2 2

r x y Vettori (II)

Vettori e Scalari

differenti

In Fisica si incontrano grandezze di tipi

mediante un solo numero scalari

:

a) Grandezze esprimibili mediante

m un m

modulo,

, una direzione ed un verso: vettori

b)

) Grandezze esprimibili

p m

Scalare: Dire che in un sacchetto ci sono 50 caramelle specifica in modo

completo l’informazione richiesta, non si richiede la direzione.

Altri esempi di scalari sono il volume, la massa, gli intervalli di

tempo, la temperat