Fisica generale - meccanica, lavoro ed energia

F



f

forma un angolo

l con

 s

lavoro forza costante

Il eseguito da una è definito come il prodotto della

componente della forza nella direzione dello spostamento per il modulo dello

spostamento 

 

Poichè la componente di nella direzione di è , il lavoro eseguito da è

F cosθ W

s

F F



W ( F cos θ ) s

Dalla definizione di prodotto scalare fra vettori ,dove è l

l’angolo

angolo fra

  

A B cos θ

A B  

i due vettori, il lavoro può esprimersi come prodotto scalare fra i vettori e s

F

  

W F s cos θ

F s



Da tale definizione è evidente che esegue un lavoro su un oggetto se si verificano le

F

condizioni

1) l

l’oggetto

oggetto deve compiere uno spostamento. 



2) deve avere una componente diversa da zero nella direzione di .

s

F MECCANICA

Lavoro eseguito da una forza costante (II)

Dalla prima condizione si vede che una forza non esegue lavoro su un oggetto se

l’oggetto non si muove ( ).

s = 0

P. es. , se una persona spinge una parete di mattoni, si esercita una forza sulla

parete ma la persona non compie lavoro dato che la parete è fissa.

fissa [Tuttavia,

[Tuttavia i

muscoli della persona si contraggono (subendo quindi uno spostamento interno

alla persona) nel processo per cui si consuma energia interna alla persona. La

persona, se esposta ai raggi solari, infatti suda! ]

Dalla seconda condizione si vede che il lavoro eseguito dalla forza è ancora nullo se

la forza è perpendicolare allo spostamento poichè e .

 

0 0

θ 90 cos 90 0

P. es. Nella figura a fianco sia il lavoro eseguito dalla forza

vincolare

i l normale

l che

h il lavoro

l eseguito

it dalla

d ll forza

f di gravità

ità

sono pari a zero in quanto entrambe le forze sono

perpendicolari allo spostamento e hanno componenti nulle nella



direzione di .

s

Similmente, se si sostiene un peso con un braccio disteso per

un certo periodo di tempo nessun lavoro è eseguito sul peso

(nell’ipotesi

(n p che il braccio n

non

n si mu

muova n

nè oscilli).

). Anche

n se

occorre esercitare una forza verso l’alto per sostenere il peso, il lavoro eseguito

dalla forza è zero poichè è nullo lo spostamento. Sostenendo il peso per un certo

tempo il braccio si stancherà e si potrebbe asserire che lo sforzo richiede una

quantità

tità considerevole

id l di “lavoro”.

“l ” Da

D questo

t esempio

i è evidente

id t che

h il significato

i ifi t di

lavoro in fisica è ben diverso dal significato che gli si attribuisce nella pratica

quotidiana [sul fatto che la persona si stanca vedi anche commento ad es. di sopra].

MECCANICA

Lavoro eseguito da una forza costante (IV)





Il segno del lavoro dipende dalla direzione di rispetto a .

s

F

positivo

Il lavoro eseguito dalla forza applicata è se il vettore associato con la

componente presenta lo stesso verso dello spostamento (ovviamente ha la

F cosθ 



stessa direzione p

perchè p

per definizione è la p

proiezione di lungo

g la direzione di )

).

s

F

oggetto di massa sollevato da una persona lavoro compiuto dalla

Es.1) Se un è , il

m

persona positivo forza verso

che applica la forza per sollevarlo è , poichè la è diretta

alto forza spostamento stesso

l’ e così pure lo spostamento verticale ossia e hanno lo

verso lavoro compiuto dalla forza di gravità negativo forza

. Invece il è in quanto e

spostamento verso opposto

hanno .

Se si assume, quindi che la persona sollevi la scatola con una

forza in modulo p

pari al p

peso della scatola,

, il lavoro

mg

g

compiuto dalla persona è pari a .

   

W F s (mg) (h) mgh

Se la persona poi sposta orizzontalmente la scatola con una

lavoro

accelerazione orizzontale approssimativamente nulla, il

compiuto dalla persona mentre sposta la scatola

orizzontalmente zero

è perchè la forza applicata

forza che

orizzontalmente è approssimativamente zero e la

sostiene p

peso

il della scatola in q

questo p

processo è

perpendicolare spostamento

allo . Quindi il lavoro totale svolto

dalla persona durante il processo completo è .

mgh

lavoro svolto dalla forza di gravità forza

Il è perchè la è

 mgh

orientata verso opposto spostamento lavoro svolto

nel allo . Il

dalla forza di gravità orizzontale zero forza

durante lo spostamento è perchè la è

perpendicolare allo spostamento per cui il lavoro svolto nel complesso dalla gravità è  mgh

tutte sulla 

  

le forze scatola è zero poichè

Il lavoro totale compiuto da mgh ( mgh ) 0

MECCANICA

Lavoro eseguito da una forza costante (V)

negativo

Il lavoro eseguito dalla forza applicata è se il vettore associato con la

componente presenta verso opposto allo spostamento (ovviamente ha la stessa

F cosθ 



direzione perchè per definizione è la proiezione di lungo la direzione di ).

s

F

Lavoro eseguito

g dalla forza di attrito q

quando un corpo

p scivola su una

Es. 2)

) W 

superficie scabra

. Se la forza di attrito radente è e il corpo compie uno

f k

spostamento lineare , il lavoro compiuto dalla forza di

 x

attrito è dove il segno negativo deriva dal

  

W f x

f k

fatto che e quindi .



   0

cos 180 = -1

1

MECCANICA

Lavoro – Dimensioni e Unità di Misura

Il lavoro è una grandezza scalare e le sue dimensioni sono quelle del prodotto

(forza) X (lunghezza).

Nel SI l’unità di misura è il che viene anche detto .

Joule (J)

 

N m (Newton m)

Dal punto di vista dimensionale    

      

 

  

2 2 2

W F L M L T L M L T

cioè le dimensioni sono quelle del prodotto (massa) X (velocità) 2

Poichè il lavoro è una grandezza scalare si può sommare algebricamente il lavoro

eseguito dalle singole forze per ottenere il lavoro eseguito.

MECCANICA

Lavoro eseguito da una forza variabile – Caso Unidimensionale (I)

Sia dato un oggetto,

oggetto assimilabile ad un punto materiale,

materiale che,

che sotto

l’azione di una forza variabile, si sposta lungo l’asse da a

x x = x

i

. In una tale situazione, per calcolare il lavoro eseguito

x = x

f

dalla forza sull

sull’oggetto

oggetto non si può usare la relazione 

W ( F cos θ ) s



poichè quest’ultima è applicabile solo nel caso in cui la forza è

F

costante in modulo e verso.

In questo caso occore usare una procedura analoga a quella vista

per l’integrazione

l’ d

delle

ll equazioni del

d l moto e cioè

è si suppone che

h lo

l

spostamento dell’oggetto possa essere considerato come somma di

, molto piccoli e quindi tali che ,

tanti spostamenti  F

x x

componente della forza lungo l

l’asse

asse , possa a sua volta essere

x

considerata approssimativamente costante su ciascuno di essi. In

tal modo il lavoro compiuto dalla forza in ogni piccolo spostamento

  

p

può essere espresso

p come W

 F x

x x

Se la curva in funzione di viene divisa in un gran numero di intervalli allora il

F x

x a è uguale approssimativamente alla somma

lavoro eseguito nello spostamento da x x

i f



di un numero grande ma finito di termini e cioè

W

x f



 

W F x

x

x

i

Se gli spostamenti tendono a zero, il valore della sommatoria tende ad un valore che

(V

(V. equazioni del moto) è l

l’integrale

integrale definito di nella variabile ossia

F x

x

x f

 x



   f

W lim d

F x F x

x x

 

x 0 x

i

x i MECCANICA

Lavoro eseguito da una forza variabile – Caso Unidimensionale (II)

Quindi si può esprimere il lavoro eseguito durante lo spostamento dell’oggetto da a

x x

i f

come x



 f

W d

F x

x

x

i

Questa equazione si riduce alla definizione quando è

 F cosθ



W ( F cos θ ) s F

x

costante. lavoro totale

Se più di una forza agisce sull

sull’oggetto

oggetto, il compiuto sull

sull’oggetto

oggetto mentre

si muove da a è proprio il lavoro eseguito dalla forza risultante. Se si esprime la

x x

i f F (vettore somma), allora il lavoro

forza risultante nella direzione dell’asse come

x x

totale compiuto sull

sull’oggetto,

oggetto, mentre si muove da a , è

x x

i f

 



x



 f

W d

F x

tot x

x

i MECCANICA

Lavoro eseguito da una molla (forza elastica) (I)

Una maniera comune di ottenere una forza che varia con

la posizione è quello di utilizzare una molla. Collegando

alla molla un corpo che scorre su una superficie

orizzontale liscia si ottiene un siffatto sistema fisico.

fisico

Se la molla viene tirata o compressa di un piccolo tratto

dalla sua posizione di equilibrio, essa eserciterà una forza

sul corpo data dalla cosiddetta “Legge di Hooke”

  k

F x

m

dove è lo spostamento del corpo dalla sua posizione di

x

equilibrio (x ) e è una costante positiva detta

0 k

=

costante elastica della molla.

molla La legge di Hooke vale

soltanto piccoli spostamenti

per . Il valore di è una

k

misura della rigidità della molla. Molle rigide hanno alti

valori di mentre quelle morbide hanno valori di più

k k

segno negativo

piccoli.

l Il

l nell’equazione

ll’ sopra esprime il

l

esercitata

fatto che la forza dalla molla è sempre

verso opposto

diretta in a quello dello spostamento.

Se (fig.(a))

(fig (a)) la forza d