Fisica generale - la meccanica gravitazione universale

T T

Sapendo

S d che

h sulla

ll superficie

fi i della

d ll Terra

T e che

h il raggio

i della

d ll Terra

T è circa

i

g 2

= 9,80

9 80 m/s

/

si trova

M = 6 g R 2

6,38 x 10 m

T   

T

M 24

5

,

98 10 kg

T G

Da questo risultato la densità media della Terra è



M M 24

5

,

98 10 kg kg

    

T T

ρ 3

5

,

51 10

 

T V 3

4 4 m

  3

 

R 3 6

T 6

,

38 10 m

T

3 3

Poichè questo valore è circa il doppio della densità media delle rocce sulla superficie della Terra

kg

( ) se ne conclude che il nucleo più interno della Terra ha una densità molto più alta.

   3

2

,

75 10

rocce 3

m

Se un corpo di massa si trova ad un’altezza sopra la superficie terrestre ovvero ad una

m h

distanza dal centro della Terra,

Terra il valore della forza gravitazionale agente su di esso è

r = RT + h

M m M m F M M

     

Per cui l’accelerazione di gravità diventa cioè

T T T T

G

F G g G G g

'

   

  Sup Terr

r m r

2 2

2 2

R h R h

decresce con l’altezza.

T T

MECCANICA

Campo Gravitazionale

La forza gravitazionale,

gravitazionale come espressa dalla Legge di Newton,

Newton è una forza che agisce “a

a distanza

distanza” ,

cioè le due masse interagiscono anche se non sono in reciproco contatto, e che esiste

indipendentemente dal mezzo che le separa.

Un’approccio diverso nella descrizione dell’interazione gravitazionale consiste nell’introduzione del



concetto di campo gravitazionale in ogni punto dello spazio.

spazio Quando un punto materiale di massa

g m



 

viene posto in un punto in cui il campo è , il punto materiale risente di una forza . In altre



g F m g



parole si immagina che sia il campo ad esercitare una forza su un punto materiale piuttosto che

g

pensare alla forza come un’interazione reciproca fra due punti materiali.



Il campo gravitazionale è quindi definito da F

 

g m

Il campo gravitazionale è cioè uguale in ogni punto alla forza gravitazionale che un punto materiale

di prova subisce divisa per la massa del punto materiale stesso.Il corpo responsabile dell’instaurarsi

sorgente

del campo viene anche chiamato del campo.

campo Anche se la Terra non è un punto materiale si

può mostrare che, ai fini della determinazione del campo gravitazionale che essa genera, può essere

schematizzata come se lo fosse. non

È importante osservare che, affinchè esista il campo, è necessario che in esso venga posto o

creato

meno un punto materiale di prova: infatti il campo è dal punto materiale sorgente.

sorgente Si può

evidenziare la presenza del campo e misurarne l’intensità piazzando un punto materiale di prova in

un campo e misurando la forza che agisce sul punto materiale stesso.

Sostanziamente, tramite il concetto di campo si descrive l’effetto che un qualsiasi corpo (ad es. la

sarebbe

Terra) ha sullo spazio che circonda in termini della forza che esercitata su un secondo

eventualmente

corpo presente nello spazio stesso.

Ad esempio su una massa posta in prossimità della superficie terrestre la forza gravitazionale

m



vale e il campo ad una distanza dal centro della Terra vale

M m g r

 T

F G 

r 2 F GM

    (con versore uscente, segno “-” indica campo puntante verso centro Terra)

T

g r r̂

ˆ

m r 2 esterno

Questa equazione è valida in tutti i punti all’ della superficie della Terra ipotizzata sferica.



Sulla superficie della Terra, dove 

r = R g 2

9

,

80 N kg ( N kg equivale a m s )

T MECCANICA

Energia Potenziale Gravitazionale (I)

forza

f centrale

l

Una

U dipende

di d solo

l da

d una coordinata

di radiale

di l e può

ò essere

r





rappresentata da dove è il vettore unitario diretto dall’origine al

u

F r u

( ) r

r

punto materiale considerato: una tale forza agisce dall’origine ed è

P

parallela al raggio vettore.

forza

f centrale

t l conservativa

ti

Q

Qualsiasi

l i i è una forza

f .

Infatti sia data una forza centrale che, a partire dal punto , agisce su

O

un punto materiale in moto lungo una qualsiasi traiettoria da a (V.

P A B

fig.). Questa traiettoria può essere approssimata da una successione di

segmenti

ti radiali

di li e “circolari”

“ i l i” (tangenziali

(t i li alla

ll traiettoria).

t i tt i ) Poichè

P i hè una forza

f

radiale è sempre diretta lungo uno dei segmenti radiali, il lavoro fatto lungo un qualsiasi segmento



   

radiale è , mentre, essendo nullo il lavoro fatto da una forza perpendicolare

  

W F r u s F r r

ˆ

d d d 

r

al vettore spostamento, il lavoro fatto lungo un qualsiasi arco di cerchio è nullo dato che è

F

perpendicolare

d l allo

ll spostamento lungo

l questi tratti.



In conclusione il lavoro totale fatto da è dato dalla somma dei contributi lungo i segmenti radiali.

F  

r



 B (con e distanze radiali dei punti e da )

W F r r r r A B O

d A B

r

A

qualsiasi

l

Questo

Q risultato

l si applica

l a traiettoria da

d a : in particolare,

l il

l lavoro

l compiuto lungo

l

A B

un cammino chiuso in cui punto di partenza e punto di arrivo coincidono (stessa posizione radiale) è

indipendente

necessariamente nullo. Si può quindi concludere che il lavoro è dal cammino fatto per

qualsiasi forza centrale

connettere due punti il che a sua volta permette di concludere che una

d

deve conservativa

i

essere . variazione di Energia Potenziale Gravitazionale è

La forza Gravitazionale è centrale per cui la  U r  

 

m m m m B

1 1 1

r r r

    



            

B B B

G G

U U U F r r r r G m m G m m

1 2 1 2

d d d

( )  

 

A B g 1 2 1 2

r r r r r

 

2 2

r r r  

A A A r A B

A

m m

Scegliendo per si ottiene  

   U r G

U r 1 2

( )

0

B B r

MECCANICA

Energia Potenziale Gravitazionale (II)

Nel

N l caso in

i cui

i una delle

d ll due

d masse sia

i la

l Terra

T l’

l’energia

i potenziale

i l del

d l sistema

i

“ Terra – Punto materiale di massa ” è

m M m

  T

U r G

( ) r 1

1

L’energia potenziale gravitazionale varia come mentre la forza varia come r 2

r

L’energia potenziale gravitazionale è negativa poichè si è scelto lo zero a distanza infinita.

L’energia potenziale gravitazionale indica, poichè la forza è attrattiva, quale lavoro dovrebbe

compiere una forza esterna per separare due masse in quiete.

Infatti, dato che l’energia potenziale è nulla all’infinito, il valore negativo dell’energia potenziale

indica quanta energia potenziale hanno due punti materiali in quiete in meno rispetto alla

situazione in cui sono liberi, cioè hanno energia potenziale nulla.

Per separare due punti materiali in quiete, soggetti all’interazione gravitazionale, bisogna, di

conseguenza,

g , compiere

mp su di essi un lavoro p

positivo p

pari al valore dell’energia

g potenziale

p

gravitazionale.

Se sono presenti più punti materiali massivi l’energia potenziale del sistema è la somma delle

energie

g p

potenziali su tutte le coppie

pp di masse.

Ad esempio, se un sistema è costituito da tre punti materiali

 

m m m m

m m

 

      

U U U U G 1 2 1 3 2 3

 

TOT 12 13 23 r r r

 

12 13 23

Questa espressione rappresenta il lavoro totale fatto da una forza esterna contro la forza

gravitazionale, che tende a mantenere unito il sistema, per ottenere una separazione infinita.

MECCANICA

Moto dei Pianeti e Leggi di Keplero (I)

L’astronomo Giovanni Keplero, all’inizio del ‘600, sulla base delle osservazioni dell’astronomo danese

Tycho Brahe, formulò le leggi che descrivono il comportamento cinematico dei pianeti nel loro moto

eliocentrico

intorno al Sole (Un modello era già stato proposto, in contrapposizione al modello

geocentrico

g di Tolomeo (

(II sec. d.C.)

) da Niccolò Copernico

p nel 1543).

)

empiriche

Le Leggi di Keplero sono delle leggi così formulate:

1) Tutti i pianeti si muovono lungo orbite ellittiche con il Sole in uno dei punti focali.

2) Il raggio vettore che unisce il sole ad uno qualsiasi dei pianeti descrive aree uguali in uguali

intervalli di tempo.

3) Il quadrato del periodo orbitale di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore

dell’orbita ellittica.

Leggi di Keplero e Legge di Gravitazione Universale

Le leggi di Keplero sono una conseguenza diretta del fatto che la forza gravitazionale è una forza

centrale

l con un andamento

d che

h dipende

di d dall’inverso

d ll’i d

del

l quadrato

d d

della

ll distanza.

di

Si può dimostrare che un’orbita ellittica è prevista per una legge della forza che ha un andamento

sezione conica

del tipo . In particolare si può dimostrare che una tale orbita deve essere una

2

/r

1

iperbole parabola ellissi chiusa

( , , ) e che, a seconda dell’energia totale del moto, è un’orbita (orbita

ellittica

llitti circolare

i l aperta

t

o , che

h è un caso particolare

ti l di un’orbita

’ bit ellittica)

llitti ) oppure . Il fatto

f tt che

h

un’orbita circolare (la circonferenza è un caso particolare di ellissi in cui asse maggiore e asse

minore sono uguali) sia possibile &