Fisica generale - la meccanica gravitazione universale

Meccanica dinamica

Gravitazione universale

Leggi di Keplero e leggi di Newton

Meccanica

Interazione gravitazionale – Legge di Newton (I)

Fino ad ora nel nostro studio della meccanica abbiamo esaminato il comportamento dei corpi materiali quando sono soggetti ad una forza, ma non abbiamo mai affrontato, se non superficialmente (forze elastiche, legge di Hooke), il problema della natura delle forze e delle leggi che le governano.

In altre parole, data l’equazione F = ma, abbiamo finora sempre studiato il secondo membro di questa equazione esaminando come si comporta un corpo soggetto ad una determinata forza, cioè quali accelerazioni subisce e/o quali velocità raggiunge un corpo soggetto ad una certa forza.

Non abbiamo però mai studiato il primo membro di questa equazione esaminando la natura delle forze e le leggi che le governano indipendentemente dal corpo su cui sono applicate.

Il primo studio sulla natura delle forze è dovuto a Newton che, secondo la leggenda, fu colpito alla testa da una mela caduta mentre dormiva sotto un albero: ciò spinse probabilmente Newton ad immaginare che forse tutti i corpi dell’universo sono attratti l’uno dall’altro nello stesso modo in cui la mela era attratta dalla Terra.

Dall’analisi dei dati astronomici sul moto della Luna intorno alla Terra, Newton stabilì che la legge della forza che governa il moto dei pianeti ha la stessa forma matematica della legge della forza che descrive l’attrazione di una mela che cade sulla Terra.

Nel 1687 Newton formulò sui suoi “Mathematical Principles of Natural Philosophy” la Legge di Gravitazione: Ogni punto materiale nell’universo attrae ogni altro punto materiale con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse ed inversamente proporzionale al quadrato delle distanze fra loro.

Interazione gravitazionale – Legge di Newton (II)

Se i punti materiali hanno masse m₁ e m₂ e sono separati da una distanza r, il modulo della forza di attrazione gravitazionale è F = G (m₁m₂/r²), dove G è una costante chiamata costante gravitazionale universale, che è stata misurata sperimentalmente con il metodo della bilancia di torsione di Cavendish.

Il valore di G in unità SI è 6,672 x 10^-11 N m²/kg².

La legge della forza di attrazione gravitazionale è spesso indicata come “legge dell’inverso del quadrato”, poiché il valore della forza varia con l’inverso del quadrato della distanza fra i punti materiali.

Si può esprimere questa forza in forma vettoriale definendo un vettore unitario r̂₁₂. Poiché questo vettore ha la direzione e il verso del vettore spostamento r₁₂ diretto da m₂ a m₁, la forza su m₁ dovuta a m₂ è espressa da F₁₂ = -G (m₁m₂/r₁₂²) r̂₁₂.

Il segno negativo in tale equazione indica che m₂ è attratta da m₁ e che quindi la forza è diretta verso m₁. In maniera analoga, per la Terza Legge di Newton, la forza su m₂ dovuta a m₁, detta F₂₁, è uguale in modulo a F₁₂ e opposta in direzione e cioè queste due forze formano una coppia di azione – reazione per cui F₁₂ = -F₂₁.

Un fatto importante è che la forza gravitazionale esercitata da una distribuzione di massa di dimensione finita a simmetria sferica, su un punto materiale all’esterno della distribuzione, è la stessa che si eserciterebbe se tutta la massa della sfera fosse concentrata nel suo centro.

Legge di Newton – Peso e forza gravitazionale

In precedenza si è definito il peso di un corpo di massa m semplicemente come mg, dove g è il valore dell’accelerazione di gravità: vediamo ora una definizione più approfondita di g. Poiché la forza su di un corpo di massa m che cade liberamente vicino alla superficie della Terra, in base alla Legge di Gravitazione, è data dall’equazione F = G (mM_T/R_T²), si può eguagliare a questa espressione e ottenere mg = G (mM_T/R_T²), dove M_T e R_T sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra.

Sapendo che sulla superficie della Terra g = 9,80980 m/s², si trova M_T = 6,38 x 10⁶ m e R_T = 5,98 x 10²⁴ kg.

Da questo risultato la densità media della Terra è ρ_T = 5,51 x 10³ kg/m³. Poiché questo valore è circa il doppio della densità media delle rocce sulla superficie della Terra (ρ_rocce = 2,75 x 10³ kg/m³), se ne conclude che il nucleo più interno della Terra ha una densità molto più alta.

Se un corpo di massa m si trova ad un’altezza sopra la superficie terrestre...