Fisica dell'edificio - Argomento: Trasmissione del calore

ARGOMENTO 2:

Trasmissione del calore

La scienza della trasmissione del calore applica ai princìpi della termodinamica delle altre ipotesi, che possono essere usate per risalire ad esempio quanta energia si trasferisce da un sistema ad un altro nell'unità di tempo.

Meccanismi di trasporto dell'energia nella materia

• Fluidi
  • Collisione molecolare
  • Grandezze estensive: scambio di grandezze estensive avviene grazie a collisioni molecolari senza che vi sia spostamento di porzioni macroscopiche del sistema nella direzione dove avviene lo scambio.
  • Collisione turbolenta: scambio di grandi fisiche estensive è dovuto allo spostamento di parti macroscopiche di materia nella direzione dello scambio delle grandezze.
  • Con la collisione turbolenta abbiamo la convezione termica.
• Solidi
  • Collisione molecolare
  • Con la collisione molecolare abbiamo il fenomeno della conduzione termica.

PRINCIPIO DELL'EQUILIBRIO LOCALE

Il tempo di rilassamento di un elemento infinitesimo di volume dV possono risultare molto più piccoli rispetto ai tempi in cui avvenga le interazioni di questo del volume.

In questa condizione è verificato allora il volume è in condizioni di eq. termodinamico e dunque possiamo isolarlo dal resto del sistema.

Il principio dice che "Ogni elemento infinitesimo di un continuo materiale (= porzione dello spazio dove la materia è presente con continuità) comp. è una fase QUASI STATICA".

Flusso di una grandezza X

Densità di flusso

• X è una grandezza estensiva generica
• Individuiamo un volume di controllo fisso rispetto ad un certo sistema di rif. inerziale

Def: flusso

X = [Φ_X = ^X/_Δt] - [Φ_X] = [X]t^-1

Ora consideriamo un cilindro di lunghezza l e di sezione di area A note e circondato esternam. da un materiale completamente restrittivo al passaggio di calore (adiabatico).

Le basi del cilindro sono a due temperature T₁ e T₂, supponiamo che la temperatura sia costante in ogni punto di una qualunque sezione A e che vari soltanto nella direzione della lung. del cilindro (y) → T = T(y)

Data l'ipotesi di T₁ > T₂, la temperatura avrà un andamento decrescente all'aumentare di y (si passa da T₁ più calda a T₂ più fredda).

Possiamo ipotizzare che la densità di flusso di calore sia una funzione di ^∂T⁄_∂y e sappiamo che è nulla per ^∂T⁄_∂x = 0 → se non c'è diff. di temp.

Inoltre, se flusso di calore è sopratutto nel verso positivo delle y, il vettore densità di flusso avrà la stessa direz. e verso di y.

q̇_a = -λ^∂T⁄_∂y â

con [q̇_a] = ^J⁄_m²·s = [^W⁄_m²]

Postulato di Fourier

BILANCIO DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA RELATIVAMENTE AD UN VOLUME DI CONTROLLO

Le equazioni di bilancio di una grandezza estensiva per un volume di controllo hanno la forma generica del tipo:

Variazione nel tempo della grandezza X contenuta nel VC = flusso netto di X entrante nel VC + Tasso di generazione di X nel VC.

dX/dt = Σφ_Xⁱⁿ + ΣΓ_X

Se la grandezza è l'energia:

dE/dt = Σφ_E^h + ΣΓ_E

DIMOSTRAZIONE E SIGNIFICATO FISICO DELL'EQUAZIONE DI FOURIER

Consideriamo una superficie S e un elemento infinitesimo di essa dA su tale superficie. L'orientazione di tale elemento può essere descritta dal versore n con direzione → sull'elemento verso rivolto verso l'esterno del V.C.

Se su tale punto è noto il vettore densità di flusso allora si può associare il flusso infinitesimo attraverso l'elemento di area dA come dΦ = ∫_sJ_s·n dA

Risoluzione dell'eq. di Fourier nel caso di:

• Parete piana in condizioni stazionarie e senza generazioni interne di calore, con temperature superficiali imposte.

Piano x=0Supponiamo cheabbia lostesso valorein tutti ipunti di questopiano e chesia costantenel tempo

Parete

Piano x=LHa lo stessovalore in tuttipunti di questopiano

T₁>T₂

La parete è costituita da un solido omogeneo di conduttività ? costante di spessore L (in direzione x) e di dimensione infinita nelle 2 direzioni perpendicolariNon vi sia generazione di calore all'interno della parete.

Si vuole calcolare il campo di temperatura in ogni punto x del solido e in ogni istante di tempo t, ossia :

1. T = T(_x,t)
2. La densità di flusso in ogni punto _x del solidoe in ogni istante t, ossia :

&#xPHI; = &#xPHI;(_x,t)

RESISTENZA TERMICA

R. TERMICA UNITARIA

Se riscriviamo il flusso

Φ = λ (T₁ - T₂) / δ A

come Φ = (T₁ - T₂) / (δ / λ A) → R_Θ RESISTENZA TERMICA

R_Θ = (T₁ - T₂) / Φ [K/W]

Con R_l nel caso di corpi piani:

R_Θ = δ / λ A

ANALOGIA CON CORRENTE ELETTRICA:

I = (V₁ - V₂) / R_el

Φ = (T₁ - T₂) / R_Θ

le due formule sono molto simili:

• In entrambi il flusso (elettrico o di calore) è proporzionale a una "forza motrice".

Potenziale elettrico -> Temperatura tra 2 punti

• In entrambi il flusso è inversamente proporzionale alla resistenza tra quei 2 punti.

NB: La relazione tra flusso, ΔT e resistenza è valida solo quando valgono le ipotesi in base alle quali è stata ricavata.

1. CONDIZ. STAZ.
2. ASSENZA DI GENERAZIONE
3. FLUSSO UNIDOTT.
4. IP. DI VALIDITÀ DELL'Eq. DI FOURIER

pc _dt/^dt = -λ^VT + π

d^2T/dx² + T = 0

d/dx(dT/dx) = -π/λ

che integrata una prima volta:

∫(d/dx(dT/dx))dx = ∫(-π/λ)dx

dT/dx = -π/λ x + A

E integrata una seconda volta:

T(x) = -1/2 π/λ x² + Ax + B

[T(x) = (-π/2λ)x² + Ax + B]

L'andamento non è quello di una retta, ma è parabolico!

Poiché π e λ sono positivi, le termine di 2^grado è per i^gradi negativo

COME SI PRESENTA IL PROFILO DI TEMPERATURA in caso di scambio convettivo?

• Vicino alla parete il fluido si trova su temp. media tra quella superficiale della parete e T_∞

NB: Nei pressi della parete, il fluido è praticamente fermo, lo scambio termico avviene per conduzione, mentre allontanandosi dalla parete si fanno movimenti di porzioni macroscopiche

Le complicazioni spi tale analisi possono essere risolte con

IL POSTULATO DI NEWTON

introducendo un singolo parametro nel quale confluiscono "queste complicazioni"

Φ_conv = h (T_s - T_∞) A     [W]

• COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITÀ
• h
• COEFFICIENTE DI SCAMBIO TERMICO CONVETTIVO

R = Φ_conv / [(T_s - T_∞) A]     [W m²K]

Resistenza Unitaria di Contatto

Finora, abbiamo ipotizzato che nella conduzione termica multistrato,

l'interfaccia fra 2 strati fosse rappresentato da un

"contatto perfetto", ossia da un'unica retta di temperatura.

In realtà, anche le sue più lisce presentano asperità e cavità,

che fanno sì che l'interfaccia offra una certa resistenza,

alla trasmissione del calore per conduzione e detta,

Resistenza Termica di Contatto Rc

_Roc = ¹⁄_hc

Lo scambio termico all'interfaccia

è dato da:

• Conduzione nelle zone di contatto
• Convezione nelle zone riempite d'aria

ϕ = ^{T_2A - T_2B}⁄_{RΘ A}