Fisica dei sistemi a molti corpi - Appunti

Fisica dei Sistemi a Molti Corpi

Appunti del corso dell’Università La Sapienzatenuto dal prof.

Claudio Castellani

Tomarchio Luca

July 24, 2019

Commenti

Queste note sono state scritte e sono di proprietà di Luca Tomarchio. Esse nascono

dalla costante attenzione riportata durante il corso di Fisica dei Sistemi a Molti Corpi

tenuto dal prof. Claudio Castellani all’università di Roma La Sapienza, per il percorso

di laurea magistrale in fisica. 1

Contents

1 Seconda quantizzazione 4

1.1 Operatori in seconda quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Sistema di elettroni liberi interagenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Operatore densità e densità di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Metodo Tight-Binding 10

2.1 Esempio: Reticolo quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Meccanica statistica quantistica 12

4 Teoria di Landau del liquido di Fermi 14

4.1 Il funzionale energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Approssimazione di campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Modello di Hubbard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Velocità di quasi-particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 Compressibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5 Suscettività magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 Corrente di quasi-particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6.1 Equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.7 Velocità del suono in un liquido di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Funzioni di Green a T = 0 29

5.1 Rappresentazione di Lehmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 Continuazioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Relazione tra G e le eccitazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Rappresentazione d’interazione 35

6.1 Approssimazione adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Teoria Diagrammatica 37

7.1 Teoria diagrammatica nello spazio degli impulsi . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 Self-Energy e equazione di Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.3 Funzione di Green di due particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6

8 Teoria quantistica dei molti corpi a T = 0 47

8.1 Esempio: Sistema non interagente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.2 Formalismo diagrammatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

=(Σ

9 Calcolo di ): Modello di Hubbard 52

IR

10 Equazioni del moto 54

11 Approssimazione di Campo Medio 55

11.1 Ferromagnetismo: Modello di Hubbard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11.2 Anti-Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11.2.1 Interpretazione fisica dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2

12 Teoria della risposta lineare 63

12.1 Relazioni di Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.2 Parte assorbitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.3 Teorema Fluttuazione-Dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

12.3.1 Modello fenomenologico di risposta atomica . . . . . . . . . . . 70

13 Risposta al campo Elettro-Magnetico 71

13.1 Sistema non interagente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

13.2 Approssimazione RPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3

La fisica dei sistemi a molti corpi consiste nell’utilizzo dei metodi della teoria dei

campi nella risoluzione di problemi che presentano un elevato numero di gradi di

libertà, come gli elettroni di un liquido di Fermi.

1 Seconda quantizzazione

La seconda quantizzazione è un procedimento che permette di trasformare un prob-

lema quantistico, irrisolubile nello spazio delle funzioni d’onda, in uno trattabile nello

spazio di Fock. Questo procedimento è possibile grazie all’indistinguibilità delle par-

ticelle quantistiche, che porta all’interpretazione di queste come un’eccitazione del

campo associato. La statistica utilizzata per questi tipi di problemi è quella del gran

canonico, dato che la libertà sul numero di particelle la rende più malleabile.

[Fetter/Walecka - Quantum theory of many-particle systems (pag. 12)]

Partiamo da un caso semplice e consideriamo un sistema di particelle non interagenti

2 2

∇

∂ψ }

X

N i

−

= Hψ H = + V (x )

i} N i

∂t 2m

i

la funzione d’onda soluzione del problema libero avrà la forma di un prodotto di onde

piane (o sovrapposizioni di esse) 1 2π

k·r

√

ψ (x) = e χ(σ) k = (n, l, p)

k L

V

dove è stato considerato un volume finito e delle condizioni periodiche al contorno.

In presenza di un potenziale non nullo questa varierà di conseguenza ottenendo ad

esempio le funzioni d’onda di Bloch. Dal set completo di soluzioni definite come il

prodotto delle funzioni d’onda è possibile definire stati simmetrici e anti-simmetrici

mediante determinate sovrapposizioni. Nel caso bosonico questa è definita come la

somma di tutte le permutazioni possibili

X

ψ (x) = ψ (x )...ψ (x )

N k 1 k N

1 N

{x }

,...,x

1 N

normalizzata dal fattore 1

1

√ p

N ! (m !)...(m !)

1 N

dove m definisce la molteplicità dello stato, ovvero il numero di particelle con lo stesso

i

impulso. Nel caso fermionico si definisce il determinante di Slater

ψ (x ) ... ψ (x )

k 1 k N

1 1 1

√ . .

ψ (x) =

N N ! ψ (x ) ... ψ (x )

k 1 k N

N N

dove il processo di scambio di particelle si traduce in uno scambio di colonne, portando

ad una variazione del segno del determinante. Per tali sistemi fermionici si osserva

4

una corrispondenza univoca tra il numero di particelle e gli stati occupati. Possiamo

supporre di generalizzare questo concetto e di descrive il sistema non mediante un

prodotto diretto di spazi di Hilbert identificativi di una singola particella, ma come

quello degli infiniti numeri quantici che descrivono il sistema, associando ad ognuno

un numero di occupazione. Una tale rappresentazione è definita spazio di Fock e gli

stati saranno identificati da |n i |n i i

, ..., n = ...|n

1 N 1 1 N N

dove la natura del sistema è racchiusa nel fatto che per stati anti-simmetrici la variabile

n spazia tra 0 e 1. In realtà il prodotto diretto sarebbe tra infiniti spazi, ma i ket vuoti

vengono ignorati poiché non danno alcun contributo fisico, non rischiando di complicare

la rappresentazione. Il passaggio è possibile solo se i numeri quantici possono essere

ordinati; fatto questo ordinamento, esso non può essere successivamente cambiato. Lo

spazio di Fock è un concetto che nasce dalla necessità di descrivere sistemi relativistici;

la non covarianza delle regole di quantizzazione classiche porta alla necessità di intro-

durre il concetto di campo come soluzione dell’equazione di Klein-Gordon, in modo

da poter interpretare le soluzioni negative da essa dedotte. Questo cambiamento per-

mette di risolvere il problema della microcausalità basando le regole di quantizzazione

sulla commutazione o anti-commutazione di questi campi, ottenendo esplicitamente

la rappresentazione di seconda quantizzazione, ovvero l’interpretazione delle particelle

come eccitazioni di un campo associato. Per la teoria a molti corpi questa rappresen-

tazione torna particolarmente utile grazie all’assorbimento delle proprietà statistiche

delle particelle in due operatori fondamentali: creazione e annichilazione, differenti per

il caso bosonico e fermionico. Per il primo valgono

√ |n − i

|n n , ..., n 1, ..,

b ...i = k 1 k

k 1 √

† i

|n n + 1|n , ..., n + 1, ..,

b ...i = k 1 k

1

k i

i h

h †

† † = δ

= 0 b ; b

[b ; b ] = 0 b ; b 0

0 kk

k

k k 0

0

k k

k

Nel caso fermionico gli operatori si modificano in conseguenza al principio di esclusione

di Pauli √

|...i |n −

a = n , ..., n 1, ...i

k k 1 k

√

† |...i − |n

a = 1 n , ..., n + 1, ...i

k 1 k

k

In questo modo varrebbero le regole di commutazione

h i h i

†

† † ; a = 0

a ; a = 0 [a ; a ] = 0 a

0

k k k 0

0 k k

k

Per gli operatori ingenui introdotti si ottengono però delle proprietà che in teoria rela-

tivistica non permettono di ottenere una giusta interpretazione delle energie negative,

inoltre non inglobano la proprietà di anti-simmetria della funzione d’onda, per cui è

necessario ridefinire gli operatori come

√ m(k)

|...i |n −

a = n (−1) , ..., n 1, ...i

k k 1 k k−1

√ X

† m(k)

|...i − |n

a = 1 n (−1) , ..., n + 1, ...i m(k) = n

k 1 k l

k l

5

dove l’operatore somma il numero di particelle di indice quantico precedente a quello

creato o distrutto. Le regole di anti-commutazione in questo modo diventano

o

n o n †

† †

{a } ; a = 0

a ; a = δ ; a = 0 a

0 0

k kk k k 0

0 k k

k

1.1 Operatori in seconda quantizzazione

Supponiamo che un operatore in prima quantizzazione abbia la forma

X

(1) (1)

H = h (x )

i

i

(1)

con h un qualsiasi operatore ad una particella (ad esempio l’impulso o l’energia

cinetica), questo se applicato darà una data funzione d’onda

(1)

H ψ = ψ̃

N

vogliamo allora ricavare la rappresentazione di questo stesso operatore in termini della

seconda quantizzazione, ovvero vogliamo che, se applicato al corrispettivo stato nello

spazio di Fock, questo dia come risultato uno stato la cui rappresentazione in prima

quantizzazione sia ψ̃. Dimostreremo che questa rappresentazione è

Z

X (1) (1)

† ∗ (1)

(1) h a a h = ψ (x)h (x)ψ (x)

H = k k

s s

sk sk

s,k

con s e k numeri quantici del sistema fisico in esame e x set di gradi di libertà. Si

osserva come gli operatori non agiscano più sull’indice si singola particella, ma sul

numero quantico. Per un operatore a due particelle

1

1 X X † †

(2)

(2)

H V a

V (x , x ) H = a

= a a

klmn

i j n m

k l

2 2

i,j klmn

Z

1 ∗ ∗

dxdyψ (x)ψ (y)V (x, y)ψ (y)ψ (x)

V = n m

klmn k l

2 Z

1 X 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 0

−

drdr ψ (r, σ)ψ (r , σ )V (r r )ψ (r , σ )ψ (r, σ)

= n m

k l

2 0

σσ

dove l’ultima eguaglianza si ha per sistemi omogenei collineari e l’ordine di x e y

è indifferente per bosoni. La dimostrazione esatta richiederebbe di conoscere come

(1)

H

l’operatore applica su quello di simmetrizzazione o anti-simmetrizzazione, infatti

ψ (x) = O ψ (x )...ψ (x )

N A−S k 1 k N

1 N

possiamo semplificare inizialmente il problema scordandoci di questo e scrivendo

X Y X (1)

(1) (1)

ψ̃(x) = h (x ) ψ (x ) h (x )ψ (x ) = c ϕ (x ) c = h

i k j i k i s s i s sk

j i i

s

i j

iterando il procedimento per ogni elemento del prodotto si ottiene l’effetto dell’applicazione

dell’operatore di seconda quantizzazione introdotto.

6

Per ottenere una dimostrazione completa introduciamo gli operatori di campo, che

non sono altro che le variabili canoniche usate in teoria dei campi per poter effet-

tuare il processo di seconda quantizzazione, ovvero la soluzione delle equazioni di

Eulero-Lagrange del sistema. Questi operatori agiscono nello spazio di Fock e sono

rappresentati come X X †

† ∗

φ(x) = ψ (x)a φ (x) = (x)a

ψ

k k k k

k k

dove le ψ formano un sistema completo. Per i fermioni valgono le regole

k X

0 0 † † 0

{φ(x); {a }

φ(x )} = ψ (x)ψ (x ) ; a = 0 = φ (x); φ (x )

0 0

k k k k

0

k,k X

† 0 ∗ 0 0

−

φ(x); φ (x ) = ψ (x)ψ (x ) = δ(x x )

k k

k

dove l’ultima eguaglianza è ottenuta dato che il set è completo. L’effetto netto di

questi operatori è quello di annichilire o creare particelle in un punto x nello spazio di

tutti i gradi di libertà del sistema (posizione, tempo, spin,...):

X X

†

† ∗ ∗ 3

|0i ⇒ − ≡ − −

φ (x̄)|0i = ψ (x̄)a ψ (x̄)ψ (x) = δ(x x̄) δ (r r̄)...δ(σ σ̄)

k

k k

k

k k

che è la rappresentazione in prima quantizzazione.

Usando questi operatori possiamo rappresentare la funzione d’onda in prima quantiz-

zazione come 1

1 † †

√ √

h0|φ(x i h0|φ(x |0i

)...φ(x )|ψ = )...φ(x )b ...b

ψ (x) = 1 N N 1 N

N k k

1 N

N ! N !

√

dove la N ! nasce per effetto del fatto che gli operatori di campo non sono normaliz-

zati, ma il loro modulo quadro definisce il numero di particelle del sistema. Riscrivendo

gli operatori di campo

1 X † †

√ h0| |0i

ψ (x )...ψ (x )b ...b b ...b

j 1 j N j j k k

1 1

N N 1 N

N ! j ...j

1 N

si osserva che vale la relazione per singolo operatore

X †

h0|ψ |0i h0|ψ

(x)a a = (x)|0i = ψ (x)

0 0

k k k k

k

0

k

dimostrando cosı̀ nel caso bosonico e fermionico l’eguaglianza rispettivamente alla

somma di tutte le permutazioni e al determinante di Slater (il segno meno discende

dallo scambio degli operatori fermionici). Supponendo la forma

Z †

(1) 1

H = dxφ (x)h (x)φ(x)

bisogna allora dimostrare che

1 1 (1)

(1) √ √

h0|φ(x i h0|φ(x |ψ i

H )...φ(x )|ψ = )...φ(x )H

1 N N 1 N N

N ! N !

7

1 (1)

√ |ψ i

h0|

= φ(x )...φ(x ); H N

1 N

N !

dove l’ultima eguaglianza è ottenuta grazie al fatto che il secondo termine del commu-

tatore distruggerebbe N + 1 particelle. Dalla regola di Leibniz

[ABC; E] = [A; E] BC + A [B; E] C + AB [C; E]

scriviamo

Z Z

† † †

(1) (1) (1)

−

φ(x ); dxφ (x)h (x)φ(x) = dx φ(x )φ (x)h (x)φ(x) φ (x)h (x)φ(x)φ(x )

i i i

Z † †

(1) (1)

∓

= dx φ(x )φ (x)h (x)φ(x) φ (x)φ(x )h (x)φ(x)

i i

(R †

(1) Z

dx φ(x ); φ (x) h (x)φ(x) bosoni

i (1) (1)

= δ(x−x )h (x)φ(x)dx = h (x )φ(x )

= i i i

†

R (1)

dx φ(x ); φ (x) h (x)φ(x) fermioni

i

l’intero commutatore avrà cosı̀ la forma X

(1) (1)

φ(x )...φ(x ); H = h (x )φ(x )...φ

1 N k 1 x

N

k

dimostrando l’eguaglianza cercata. Nel caso di operatori a due particelle si dimostra

che l’eguaglianza è soddisfatta solo se si considera la costruzione a quattro campi

introdotta precedentemente.

1.2 Sistema di elettroni liberi interagenti

Consideriamo l’hamiltoniana di seconda quantizzazione

2

Z

Z 1

∆

} † †

† − + V (x) φ(x)+ dxdyφ (x)φ (y)V (x−y)φ(y)φ(x)

H = H +H = dxφ (x) int

0 int 2m 2

dove x definisce tutti i parametri del sistema. Sviluppiamo il formalismo nell’esempio

di elettroni liberi: V (x) = 0 con base completa di stati composta da onde piane

con momento discretizzato dalle condizioni periodiche al bordo, associate alle singole

particelle. Possiamo allora scrivere gli operatori di campo

1 1

X X X

ikx ik·r

√ √

e a = e χ(σ)a

φ(x) = k σk

V V σ

k k

dove con k si intende un set infinito ordinabile di stati quantici. Il processo di seconda

quantizzazione si traduce come 2 2 2 2

Z Z

1 k k 1

} }

0 0

X X

† †

−ik x ikx i(k−k )x

a = a

H = dxe e a dxe a

0 k k

0 0

k k

V 2m 2m V

0

0 kk

kk 2 2 2 2

k k

} }

X X

† †

= δ a a = a a

0

kk k k

0 k

k

2m 2m

0 k

kk 8

Nel caso non interagente lo stato fondamentale si avrebbe riempiendo tutti i k fino a

k , mentre introducendo l’interazione

F Z

1 X †

†

−i(k −k −i(k −k

)x )y

− a a

a

H = dxdye V (x y)e a

1 4 2 3 k k

int k

k 3 4

2

2V 2

1

k k k k

1 2 2 4 Z

1 X −iqx

ipx

V (x) = e Ṽ (q) Ṽ (q) = dxe V (x)

V q Z 1

1 X

X X

† † †

† −k −k

ix((k )−q) ix(q−(k ))

= a a Ṽ (q) dxdye e =

a a a a a Ṽ (q)

a 3 2 1 4 0

k k q+k k−q

0

k k

k k

3 4

3

2V 2V

2

1 0

q

{k} kk q

Avendo considerato un’hamiltoniana di elettroni liberi, il primo operatore mostra come

il processo d’interazione conservi sia l’impulso che lo spin. L’esempio mostra come

il formalismo della seconda quantizzazione semplifichi drasticamente il problema dei

molti corpi in esame, racchiudendo la statistica delle particelle negli operatori.

1.3 Operatore densità e densità di corrente

In prima quantizzazione posso definire l’operatore densità come

X −

ρ(x) = δ(x x )

i

i

cambiando formalismo Z † †

−

ρ̂(x) = dyφ (y)δ(x y)φ(x) = φ (x)φ(x)