Fisica dei sistemi a molti corpi - Appunti

H H

( † 0 0

|Ψ i −

| φ (r ), φ(r) = iδ(r r )

ihΨ

H H

= † 0 0

−ihΨ | |Ψ i −iδ(r −

φ (r ), φ(r) = r )

H

H 29

Continuando a considerare un’hamiltoniana indipendente dal tempo e invariante per

traslazioni, ovvero analizzando un sistema fermionico libero (sarà anche invariante per

rotazioni), possiamo riscrivere la funzione nella forma più intuitiva

0 0 0 0 †

− − → −ihΨ |T |Ψ i

G(r, t, r , t ) = G(r r , t t ) G(r, t) = φ(r, t)φ (0, 0)

H H

da cui possiamo definire i contributi di Fourier

Z 1 X

−ik·r k·r

G̃(k, t) = dre G(r, t) G(r, t) = e G(k, t)

V k

Sostituendo la forma in seconda quantizzazione degli operatori di campo (siamo inter-

essati al problema fermionico), si può scrivere l’evoluto temporale come

1 X −ik·r −iHt

iHt

√

φ(r, t) = e a (t) a (t) = e a e

k k k

V k

La funzione di Green nello spazio reciproco si scrive perciò

h i

†

−ihΨ |T |Ψ i

G̃(k, t) = a (t)a (0)

H k H

k

Consideriamo ora il caso di elettroni non interagenti † †

† †

† †

Y Y

P

P −it

−it −it it a a a a

a a a a

it a a it a a

0 0 0 0

0

e a e = e a e = e a e

j j j j

k k k k

0 0

k k k k

k j j

k k k

k k

j j j

0

k k

per cui l’ultimo risultato si ottiene osservando che a commuta con gli esponenziali se

j

h i

† †

6

j = k e a a , a a = 0. Applicando ad uno stato nello spazio di Fock

0

k k

0

k k −it

i |n −

a (t)|n = e 1i

k

k k k

mentre la funzione di Green per t > 0 diventa ( |k|

1 > k

† † F

†

−i −i −i −i

ta a ta a t t

−ihΨ |e |Ψ i −ie −ie

G̃(k, t > 0) = a e a = θ(|k|−k ) =

k k k k k k

k k

H k H F

k |k|

0 < k

F

dove è stato considerato lo stato di ground, ovvero lo stato in cui tutti gli elettroni sono

interni alla superficie di Fermi. In MQR il propagatore è introdotto per un sistema

di numero di particelle qualsiasi, identificando il ground con il ket vuoto; in questo

caso ne verrà invece fissato il numero, ovvero il parametro k . Il vincolo porta alla

F

necessità di un potenziale chimico variabile in modo da soddisfare la fisica dietro al

sistema. Sotto queste assunzioni il nominativo di operatore di distruzione non può

essere associato soltanto agli a , ma verrà cosı̀ definito ogni operatore che provoca

k †

l’annullamento dello stato, ad esempio gli a con k occupato. Nel caso t < 0 si avrà

k

−i t − |k|)

G̃(k, t < 0) = ie θ(k

k F

per cui per un sistema fermionico non interagente

−i t

−ie − − − |k|)]

G̃(k, t) = [θ(t)θ(|k| k ) θ(−t)θ(k

k F F

30

La funzione di Green in coordinate spaziali per t > 0 si scriverà come

1 X ik·r−i t

iG(r, t) = e k

V |k|>k F

che definisce proprio la funzione d’onda di un elettrone fuori dalla sfera di Fermi,

identificando la funzione di Green con la probabilità di propagazione, dopo un tempo

t, di un elettrone, ovvero descrive la probabilità di evoluzione di un sistema a N + 1

particelle. Nel secondo caso il procedimento è contrario, la funzione di Green identifica

−

la probabilità di avere un’evoluzione di temporale e spaziale di un sistema di N 1

particelle, ovvero descrive la propagazione di una lacuna. Effettuando un’ulteriore

trasformata di Fourier nel tempo ∞ 0

Z Z

i(ω− )t i(ω− )t

−iθ(|k| − − |k|)

G̃(k, ω) = k ) dte + iθ(k dte

k k

F F −∞

0 +

→ ±i

per cui il risultato sarebbe indefinito. Ponendo una nuova frequenza ω ω , dove

il più e il meno sono associati rispettivamente al primo e secondo integrale, il risultato

ha la forma − |k|)

− θ(k 1

θ(|k| k ) F

F + =

= + + +

− − − − −

ω + i ω i ω + i sgn(|k| k )

k k k F ±θ(±t)

Il trucco è considerato valido poiché ritrasformando il risultato si riottengono le

iniziali: ∞

Z 1

dω −iωt

e

+ −

2π i(ω + i )

k

−∞

Nel piano complesso l’integrale del percorso è eguale a quello sull’asse reale se vale

il Lemma di Jordan. Dato che il polo risiede sotto l’asse, una semicirconferenza

chiusa per valori immaginari di ω maggiori di zero porterebbe a soddisfare il lemma

(l’esponenziale va a 0) soltanto per t < 0, ottenendo un residuo nullo. Se invece chi-

udo al di sotto, il risultato è valido per t > 0 e il residuo mi da 2πi, annullando il

denominatore e dimostrando la validità dell’assunto.

5.1 Rappresentazione di Lehmann

Vogliamo adesso costruire una rappresentazione molto più generale della funzione di

Green per sistemi interagenti, senza costrizioni sul numero di particelle. La costruzione

presuppone la risoluzione del problema agli autovalori, tale che sappiamo

i |ψ i

H|ψ = E

α α α

dove gli α sono dei numeri quantici caratteristici del problema. I contributi appena

introdotti varieranno anche in funzione del numero di particelle, identificando uno stato

di ground per ogni N . Ripartendo dalla forma indipendente dal tempo, si introducono

le identità X †

−iHt

iHt

−iθ(t)hψ |e |ψ ihψ |a |ψ i+

G̃(k, t) = a e

H k s s H

k

s

31 X

† −iHt

iHt

|ψ ihψ |e |ψ i

|a a e

+iθ(−t)hψ 0 0

s s k H

H k 0

s

dove gli indici delle due identità non saranno eguali a causa della selezione degli stati

da parte del bracket. Si ottiene infine

X X −1)−E

i(E (N )−E (N +1))t 2 i(E (N (N ))t 2

−iθ(t) |a |a

0

= e (k)| + iθ(−t) e (k)|

s

0 0

s 0

s 0

0s 0

s s

dove i contributi esponenziali discendono dall’applicazione agli stati adiacenti, per

cui, quando vengono applicati a quelli dell’identità, si ottengono le energie associate

al sistema con un numero di particelle differente, precisamente quello selezionato dai

bracket †

2 2 2 2

|a |hψ |a |ψ i| |a |hψ |a |ψ i|

(k)| = (k)| =

0 0

0s H k s s 0 H s

k

Possiamo riscrivere i termini degli esponenziali

− ± −µ − − −µ −

E (N ) E (N + 1) E (N + 1) = (E (N + 1) E (N + 1)) = ξ (N + 1)

0 s 0 s 0 s

dove i termini che compaiono sono tutti positivi ed è stata considerata l’invarianza del

potenziale chimico (additional energy) dal numero di particelle (ciò è vero solo se non

−1

cade in un gap energetico), in generale µ(N + 1) = µ(N ) + O(N ) > µ(N ). In questi

termini si ottiene X X

−it(µ+ξ −it(µ−ξ −1))

(N +1)) 2 (N 2

−iθ(t) |a |a

0

G̃(k, t) = e (k)| + iθ(−t) e (k)|

s s 0

0s s 0

0

s s

trasformando in ω 2 2

|a |a

(k)| (k)|

0

X X s 0

0s

G̃(k, ω) = +

+ +

− − − − −

ω µ ξ (N + 1) + i ω µ + ξ (N 1) i

0

s s

0

s s

che rappresenta adesso una funzione con infiniti poli sul secondo e quarto quadrante,

rispettivamente associati al primo e secondo termine, per cui ognuno darà contributo

nel proprio dominio di ω. La sequenza di poli risulta essere discreta poiché è stato

considerato un volume finito dello spazio; se prendessimo il limite termodinamico si

otterrebbe una singolarità continua. Possiamo ulteriormente riformulare la rappresen-

tazione introducendo le densità spettrali

X X

2 2

− − −

A(E, k) = δ(E ξ (N + 1))|a (k)| B(E, k) = δ(E ξ (N 1))|a (k)|

0 0

s 0s s s 0

0

s s

da cui si ottiene la rappresentazione di Lehmann

∞

Z B(E, k)

A(E, k)

G̃(k, ω) = dE +

+ +

− − − −

ω µ E + i ω µ + E i

0

Questa forma permette di evidenziare subito il limite non interagente dato che

→ − − → − −

A(E, k) δ(E + µ )θ(|k| k ) B(E, k) δ(E µ + )θ(|k k|)

k F k F

32

ovvero, la differenza sostanziale risiede nel fatto che la concentrazione spettrale si

disperde su più valori di E nel caso interagente. Si ha inoltre la proprietà di normal-

izzazione

∞

Z X X † †

2 2

|a |a hψ |a |ψ i+hψ |a |ψ i

dE [A(E, k) + B(E, k)] = (k)| + (k)| = a a = 1

0

0s s 0 H k H H k H

k k

0 0

s s

−1

−

Data una singolarità (ω a) , l’integrale di questa si dice esistere se risultano finiti

i limiti indipendenti ∞

a− Z

Z dω

dω

1 lim

lim − −

ω a ω a

→0

→0

2

1 −∞ a+ 2

Risulta però possibile introdurre un criterio meno restrittivo

∞ ∞

a−

Z Z Z

dω dω

dω + = P.V.

lim − − −

ω a ω a ω a

→0 −∞

−∞ a+

dove l’integrale in questione è detto valore principale di Cauchy. Si può ricavare

l’identità 1

1 P ∓ −

= iπδ(a ω)

+

− ± −

ω a i ω a

P

dove con si indica la distribuzione che seleziona la parte principale e che assume

senso soltanto se integrata. L’identità deriva dal considerare l’integrale del rapporto

lungo l’asse reale: questo può essere ottenuto prendendone il valore principale e ag-

giungendo il contributo mancante mediante applicazione dei residui; il segno deriva

dall’integrazione attorno al polo rispettivamente oraria e antioraria. La parte immag-

inaria della rappresentazione di Lehmann diventa allora

−iπA(ω − − − −

i=

G̃(k, ω) = µ, k)θ(ω µ) + iπB(µ ω, k)θ(µ ω)

dove le funzioni a gradino nascono d