Fisica applicata: dalla termodinamica al magnetismo

CAMPI ELETTRICI

Le Forze di campo possono agire nello spazio, producendo un effetto anche se non

c’è diretto contatto tra gli oggetti interagenti.

Si dice che un campo elettrico esiste nella regione di spazio attorno ad un oggetto

carico, chiamato carica sorgente (Q). Quando un altro oggetto carico, chiamato

carica di prova (q0), entra nel campo elettrico della sorgente, subisce una forza.

Definiamo quindi il campo elettrico dovuto a Q nel punto in cui si trova q0 come la

forza elettrica sulla carica di prova per unità di carica, ossia:

il vettore campo elettrico E-> in un punto dello spazio è definito come la forza

elettrica F-> che agisce sulla carica di prova positiva q0 posizionata in quel punto,

divisa per la carica di prova.

E-> = F->/q0

il vettore E-> si misura in N/C.

NB: la direzione di E-> è la stessa di cui una carica di prova positiva risente

quando viene posizionata nel campo.

E-> è il campo prodotto da una carica o distribuzione di cariche distinte e separate

dalla carica di prova: l’esistenza di un campo elettrico è quindi proprietà intrinseca

della sua sorgente, e la presenza della carica di prova non è necessaria alla sua

esistenza ma solo alla sua rivelazione e misurazione.

Una volta noto il campo elettrico, una forza qualsiasi che esercita su una particella

di carica q in quel campo, si può calcolare con:

F-> = q x E->

Una volta calcolata la forza sulla particella, il suo stato di quiete o moto è

determinato utilizzando il modello di una particella sottoposta a F sul modello di una

particella di equilibrio (mah, se lo dici tu..).

Consideriamo una carica puntiforme q posta a distanza r da una carica di prova q0.

IN base a Coulomb, la forza che q esercita su q0 è:

F-> = Ke (qxq0 / r^2) r^ Questa forza, essendo generata da q, ha

Con r^ versore diretto da q a q0.

direzione uscente da essa. Dato che il campo elettrico in una certa

posizione P in cui si trova q0, è definito E = F/q0, troviamo che in P il

campo elettrico generato da q è:

E-> = Ke (q/r^2) r^

Per calcolare il campo elettrico in un punto P, dovunto ad un insieme di

cariche puntiformi, si calcolano i vettori di E-> in P individualmente, e

poi si sommano vettorialmente per principio di sovrapposizione. Quindi,

un campo elettrico in un punto P generato da un insieme di sorgenti, si

definisce: Σ

E-> = Ke (q/r^2) r^

NB: nella maggior parte dei casi la distanza tra le cariche da calcolare è

molto minore rispetto alla distanza dal punto in cui c’è la carica di prova.

In questi casi il sistema delle cariche sorgenti può essere considerato

continuo.

Per calcolare la distribuzione di cariche in un sistema continuo:

- SI divide la distribuzione di carica in piccoli elementi, assumendo

l’elemento come una carica puntiforme.

∆Ε−>

- Si calcola nel punto P, dovuto a uno di questi elementi con E-> =

Σ

Ke (q/r^2) r^

- Si calcola il campo totale in P dovuto alla distribuzione di carica

sommando vettorialmente tutti gli elementi, così da ottenere

∆Ε −> = ( ∆

i Ke qi/ri^2 ) r^

Dove l’indice i si riferisce alla i-esima parte del sistema, ciòè a ognuno

dei singoli piccoli elementi in cui esso è stato diviso.

Applicando il modello di carica continua e facendo diventare

infinitamente piccoli gli elementi di carica, il campo totale nel punto P,

∆qi->0,

nel limite diventa

E-> = Ke | (dq/r^2) r^

in cui dq è derivata della carica, ossia una sua quantità infinitesima.

NB: in tutti questi calcoli si assume che la carica sia uniformemente

distribuita uniformemente lungo una linea, densità o superficie. Va

quindi ricordato che:

-Se una carica Q è uniforme in un volume V, la sua densità di carica per

ρ

volume è

ρ = Q/V

-Se una carica Q è uniforme su una superficie A, la densità superficiale

σ

di carica è

σ = Q/A

-Se una carica Q è uniforme su una lunghezza l, la densità lineare di

λ

carica è

λ = Q/l

LINEE DI CAMPO ELETTRICO

Una comune rappresentazione grafica del campo elettrico è data da

linee, le quali sono legate al campo in qualunque punto dello spazio

nello stesso modo:

- il vettore campo elettrico E-> è sempre tangente alle linee.

- Il numero di linee che attraversano una superficie perpendicolare alle

linee stesse è proporzionale all’intensità del campo in quella regione. E

è quindi intenso se ci sono linee fitte e viceversa.

- Se si ha sorgente positiva, le linee di campo sono dirette radialmente

nel verso uscente dalla carica in tutte le direzioni.

Se si ha sorgente negativa, le linee di campo sono dirette radialmente

verso la carica stessa.

in entrambi i casi hanno direzione radiale e si estendono all’infinito.

- Le linee di campo si avvicinano tra loro man mano che si avvicinano

alla carica, il che indica che l’intensità del campo elettrico è maggiore

nelle sue vicinanze.

Le regole per disegnare linee di campo sono:

-Le linee devono avere origine dalle cariche positive e terminare sulle

cariche positive. Se una delle due cariche è in eccesso, alcune linee

continueranno all’infinito.

-Il numero di linee di campo che escono da positivo verso negativo è

proporzionale alla carica.

-due linee di campo non si intersecano mai.

Inoltre per simmetria, vediamo che per quanto riguarda una carica

sferica l’intensità del campo è uguale sula superficie in tutti i suoi punti:

il numero di linee N che esce dalla carica deve essere uguale a quello

4Π

delle linee che entrano nella sfera, e si può calcolare con N/ r^2

MOTO DI PARTICELLE CARICHE IN UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME

Quando una particella di carica q e massa m è in un campo E->, la loro F=q x E->.

Se questa è l’unica forza che subiscono, essa è la forza risultante. Se anche altre

forze agiscono sulla particella, la forza elettrica viene semplicemente sommata

vettorialmente con esse. Infine, poiché la risultante crea un’accelerazione della

particella, nel caso in cui la forza elettrica sia l’unica e quindi equivalga alla forza

risultante, avremo che

Fe-> = q x E-> = m x a->

perciò l’accelerazione della particella è

a-> = (qE->)/m

NB: se il campo è uniforme l’accelerazione è costante e si può applicare il modello

del moto uniformemente accelerato.

FLUSSO ELETTRICO

Il flusso elettrico è una grandezza proporzionale al numero di linee di campo che

attraversano in modo perpendicolare una data superficie A. Il numero di linee è

proporzionale al modulo del campo, e il numero di linee che attraversa A è

Φ.

proporzionale al prodotto EA, chiamato flusso elettrico

Φ = EA misurato in Nxm/C

Tuttavia, se la superficie A non è esattamente perpendicolare al campo ( e quindi

alle linee), non verrà attraversato in modo preciso da esse, ma da un numero via

via sempre minore finchè non si raggiunge un flusso = 0 quando a superficie è

parallela al campo.

In questi casi

Φ = θ

EAcos

quindi, poiché il campo può variare, a meno che esso non sia completamente

uniforme, l’equazione precedente descrive precisamente il flusso solo nel caso di

∆Α,

piccolissime parti di superficie chiamate talmente piccole da poter ignorare la

variazione e essere considerate piane. Da questi elementi parte un vettore definito

∆Α−> , sempre perpendicolare alla superficie e con verso sempre uscente.

Il flusso che passa attraverso questi elementi è

∆Φ = Ε ∆Α θ ∆Α

i i cos = Ei-> x i->

NB: l’ultimo risultato si ottiene utilizzando la definizione di prodotto scalare tra due

θ

vettori A-> x B-> = ABcos

Infine, così come sommando tutti gli elementi insieme si ottiene la superficie totale,

possiamo sommare tutti i flussi attraverso essi per ottenere il flusso totale.

Un caso particolare è quello delle superfici chiuse.

Una superficie chiusa è definita come una superficie che divide lo spazio in una

regione interna ed esterna senza che si possa creare un collegamento tra le due.

Il flusso totale attraverso una superficie chiusa è proporzionale alle linee di campo

che la attraversano, il cui numero totale è dato da ( numero di linee uscenti –

numero di linee entranti nel volume).

Se le linee uscenti sono più di quelle entranti, il flusso è positivo.

se le linee entranti sono più di quelle uscenti, il flusso è negativo.

TEOREMA DI GAUSSi

Descrive la relazione tra il flusso elettrico totale attraverso una superficie chiusa e la

carica contenuta all’interno di tale superficie.

Consideriamo una carica puntiforme positiva q, al centro di una sfera di raggio r. Le

sue linee di campo sono radiali, e perciò corrispondono al raggio della

circonferenza e in ogni punto sono normali(perpendicolari) alla superficie.

In altre parole, in ogni punto della superficie della sfera, il vettore E-> è parallelo al

∆Αι−> (∆Αι

vettore è la parte infitesimale in cui è divisa la superficie così da essere

considerata piana).

In tutti i punti della superficie, quindi, prodotto vettoriale e scalare si equivalgono

∆Αι−> = Ε ∆Αι

E-> x x Φ

La medesima equazione è valida anche per il calcolo del flusso totale perché E è

costante. Sappiamo inoltre che l’intensità del campo elettrico su tutta la sfera è E =

Keq/r^2

e la superficie è A = 4πr^2.

Il flusso totale attraverso una superficie sferica chiusa è quindi:

q q

Φ π π

e = EA = (Ke /r^2) x (4 r^2) = 4 Ke

Infine, ricordando che Ke = 1/4πε0, si può anche scrivere

Φ e = q/ε0

tale risultato è indipendente da r (perché il campo elettrico dipende dall’inverso del

quadrato di r) , e dice che il flusso totale attraverso una superficie sferica è

proporzionale alla carica q posta al centro, all’interno della superficie.

Ciò dimostra che

-il flusso totale è proporzionale al numero di linee di campo

-il numero di linee di campo è proporzionale alla carica contenuta all’interno della

superficie

-ogni linea di campo uscente dalla carica deve passare attraverso la superficie.

quindi, in conclusione

Il flusso totale che attraversa una qualunque superficie chiusa che circonda una

carica puntifo