Fisica applicata: dalla termodinamica al magnetismo

FISICA

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Considerando un caso generale in cui la sola variazione di E nel sistema riguardi la sua E

Int., e i soli meccanismi di trasferimento siano calore Q e lavoro W, l’equazione di

conservazione dell’energia :

deltaEint. = Q+W

che indica come la variazione di energia interna di un sistema sia uguale alla somma

dell’energia trasferita attraverso il contorno di tale sistema dal calore e dal lavoro.

NB: -l’equazione si adatta a problemi in cui l’energia viene considerata solo in base a Eint

Q e W.

- In caso di cabiamenti infinitesimali si usa la stessa equazione ma in derivate (d).

APPLICAZIONI

- trasformazioni adiabatiche: l’energia non entra né esce dal sistema, cosicchè Q=0. In

questo caso deltaEint=W . Perciò se un gas è compresso adiabaticamente, sia W che Eint

sono positivi: viene compiuto lavoro sul gas, infatti l’Eint aumenta.

- espansione libera: un particolare tipo di adiabatica in cui Q=0 e W=0. Ci comporta che

anche deltaEint=0.

L’energia finale e iniziale di un gas in questo caso si equivalgono: in un gas perfetto infatti

l’Eint dipende solo dalla sua temperatura, in questo caso non ne osserveremo alcuna

variazione.

- trasformazioni isobare: avvengono a pressione costante. In questo caso, il lavoro

compiuto sul gas è il prodotto della pressione costante per la variazione di volume,

cambiato di segno -P(Vf-Vi). Su un diagramma PV, questa reazione appare come una

linea orizzontale.

- trasformazioni isocore: avvengono a volume costante. Poiché il volume non varia, il

lavoro sul sistema è W=0, perciò il primo principio diventa deltaEint=Q. Ciò dimostra che

aggiungendo E ad un sistema dal V cost, essa va completamente ad aumentare l’Eint,

senza essere dispersa sottoforma di W.

Su un diagramma PV questa reazione appare come una linea verticale.

NB: non pensare che se la T varia lo fa anche il Q e viceversa. Infatti T dipende sia da Q

che da W, perciò un processo potrebbe risultare isotermico anche se avvengono scambi di

calore.

- trasformazioni isoterme: avvengono a temperature costante. Poiché l’Eint di un gas è

solo funzione della temperatura, nell’isoterma di un gas perfetto deltaEint=0, perciò il

primo principio è Q=-W.

In questo caso, qualsiasi energia che entri nel sistema gas tramite lavoro, lo lascia

sottoforma di calore, in modo tale che l’Eint sia costante. In un diagramma PV appare

come una curva.

- trasformazioni cicliche: iniziano e si concludono nello stesso stato. La deltaEint=0 per

forza, perché l’Eint è una variabile di stato e deve equivalersi all’inizio e alla fine. L’E

immessa come Q nel sistema, quindi, deve uguagliare il lavoro compiuto durante il ciclo

ma cambiato di segno. Quindi Eint=0 e Q=-W.

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Macchine termiche: dispositivo che incamera energia sotto forma di calore e,operando in

modo ciclico, espelle una parte di energia sotto forma di lavoro.

Quindi, durante la trasformazione ciclica causata da una macchina termica:

1) la sostanza assorbe energia come calore da un termostato ad alta T, che chiameremo

Qc

2) la macchina compie lavoro, Wmac (un lavoro negativo W = -Wmac è svolto sulla

macchina)

3) la macchina cede energia Qf a un termostato più freddo, la quale risulta essere energia

persa.

Termostato1 a Tc -> macchina termica -> termostato2 a Tf

poiché tale trasformazione è ciclica avremo deltaEint=0. Il primo principio sarà

deltaEint = 0 = Q+W

quindi

Qtot = - W = Wmac

Si noti che Wmac è uguale all’energia totale assorbita dalla macchina e poiché Qtot = Qc

– Qf,

Wmac = Qc – Qf

Dai dati precedenti siamo in grado di calcolare il rendimento ( e ), inteso come il rapporto

tra il lavoro svolto dalla macchina e l’energia assorbita alla temperatura più alta durante un

ciclo.

e = Wmac / Qc

= Qc-Qf / Qc =

1 – Qf/Qc

Possiamo quindi considerare il rendimento come il rapporto fra ciò che si ottiene e ciò che

si spende.

Enunciato di Kelvin-Plank sul secondo principio della termodinamica:

è impossibile costruire una macchina termica che, operando in un ciclo, abbia come unico

risultato quello di assorbire energia da un termostato e produrne un’uguale quantità in

lavoro, ottenendo così il 100% di resa. Tutte le macchine termiche devono scaricare una

parte di energia Qf nell’ambiente.

Enunciato di Clausius (sinonimo del precedente):

Il calore non fluisce mai spontaneamente da un corpo freddo a uno caldo. Ciò può

avvenire solo in presenza di lavoro.

Trasformazioni reversibili e irreversibili: Una trasformazione è detta reversibile quando

il sistema può ritornare alle condizioni iniziali lungo lo stesso percorso e se ogni punto

lungo quest’ultimo costituisce uno stato di equilibrio. Una trasformazione che non soddisfa

tali requisiti è detta irreversibile, come la maggior parte delle trasformazioni naturali.

NB: se una trasformazione reale avviene molto lentamente per essere più vicina possibile

all’equilibrio, può essere considerata reversibile.

Macchina di Carnot: macchina ideale con cui si dimostra che una macchina termica che

opera fra due termostati in un ciclo ideale reversibile, chiamato ciclo di Carnot, è la

macchina con più alto rendimento possibile. Una tale macchina determina un limite

superiore per la resa a tutte le altre: il lavoro complessivo svolto da una sostanza

sottoposta a un ciclo di Carnot è la massima quantità di lavoro possibile per una data

quantità di energia fornita alla sostanza dal termostata con T maggiore.

(PER SPIEGAZIONI CICLO CONSULTARE MANUALE, SENZA FIGURE NON CI SI

CAPISCE UNA MAZZA)

Il rendimento di una macchina di Carnot è:

e = 1 – Tf/Tc

da ciò si ricava che tutte le macchine di Carnot che lavorano tra le stesse due

temperature, hanno rendimenti uguali. Il rendimento può essere unitario=100% solo se

Tf=0 K, ma poiché raggiungere lo zero assoluto è impossibile secondo la terza legge della

termodinamica (sarebbe necessaria una quantità di energia infinita per abbassare di tanto

la temperatura), un tale termostato non esiste.

ENTROPIA:

Insieme a energia interna e temperatura, è una terza funzione di stato per descrivere lo

stato termodinamico di un sistema. Secondo l’enunciato entropico del secondo principio

della termodinamica, l’entropia dell’universo aumenta in tutte le trasformazioni naturali.

Partendo dall’equazione di Carnot, che può essere riscritta come – Qf/Tf = Qc/Tc (segno

negativo perché si abbandonano i valori assoluti per poterla generalizzare anche al di fuori

delle macchine termiche), perciò la somma dei due rapporti è 0: Qc/Tc + Qf/Tf = 0.

Considerando una variazione infinitesimale tra due stati di equilibrio in un sistema, dQr =

energia trasferita tramite Q lungo una trasformazione reversibile, e la variazione di

entropia, indipendentemente dal percorso della reazione, = a questa energia trasferita

tramite Q divisa per la T assoluta del sistema.

dS = dQr/T

NB: il pedice “r” ci ricorda che il Q deve essere determinato lungo un camino reversibile, e

tale modello va usato anche in caso di reazioni irreversibili, in quanto la variazione di

entropia dipende soltanto dallo stato iniziale e da quello finale.

Inoltre, quando l’energia è assorbita dal sistema, dQr è positivo e l’entropia aumenta

quando l’energia è ceduta dal sistema, dQr è negativo e l’entropia diminuisce.

Nel caso di una trasformazione adiabatica, non vi è scambio di energia perciò la

variazione di entropia deltaS = 0. Tale trasformazione è detta anche isoentropica.

NB: esiste differenza tra microstati e macrostati.

ad esempio per due dadi, un microstato è la particolare combinazione sulle due facce

superiori, mentre il macrostato è la somma dei numeri su essi. Inoltre il numero di

microstati associati ad un macrostato non è uguale per tutti i macrostati, e il macrostato

più probabile è quello a cui sono associati più microstati.

FORZE E CAMPI ELETTRICI

PROPRIETA’ DELLE CARICHE ELETTRICHE

-è stato sperimentalmente provato che cariche di segno uguale si respingono e di segno

opposto si attraggono.

-sappiamo che esistono solo due tipi di cariche perché ogni carica che risulta attratta da

un’altra carica positiva, è anche respinta dalle negative.

-La carica netta in un sistema isolato si conserva sempre: nei processi di polarizzazione

non vengono create nuove cariche, bensì vengono trasferite da un corpo all’altro.

-Un oggetto neutro è quindi tale perché per ogni elettrone contenuto da esso c’è un

protone di carica positiva.

-la carica totale di un oggetto è quantizzata come multiplo intero della carica elementare di

un singolo elettrone = 1.60x10^-19 C.

ISOLANTI E CONDUTTORI

Conduttori elettrici: materiali in cui alcuni degli elettroni sono elettroni liberi, non legati cioè

ad atomi e che possono muoversi liberamente.

Isolanti elettrici: materiali in cui tutti gli elettroni sono legati e non sono liberi di muoversi.

NB: i semiconduttori sono una categoria compresa tra le precendenti, poiché le cariche

sono in grado di muoversi nel materiale, ma molto meno facilmente che in un conduttore.

CARICA PER INDUZIONE

Induzione: processo grazie a cui un conduttore viene caricato a causa della presenza di

un altro corpo carico elettricamente. Quando i due corpi sono vicini (Non a contatto!), il

conduttore inizialmente neutro è soggetto alle forze repulsive/attrattive tra cariche e si

polarizza in relazione al secondo corpo, nell’area più vicina ad esso.

LEGGE DI COULOMB

Coulomb, grazie all’utilizzo della bilancia a torsione, confermò che la forza elettrica tra due

piccole sfere cariche è proporzionale al reciproco del quadrato della loro distanza

( inversamente proporzionale a r^2, detto in parole umane): F dir.prop. 1/r^2

L’ausilio della bilancia a torsione fu fondamentale in quanto la forza elettrica tra le due

sfere A e B ne determina l’attrazione/repulsione reciproca, da cui deriva un moto: tale moto

provoca la torsione del filo appartenente al sistema di sospensione. La misura dell’angolo

corrispondente alla torsione del filo ci permette di quantificare la forza elettrica.

Da questo esperimento deriva la legge di Coulomb, la quale descrive il modulo della forza

elettrostatica fra le due cariche puntiformi q1 e q2, separate da una distanza r.

Fe = Ke (|q1||q2|) / r^2

Con Ke = 8.987x10^9 N , denominata costante di coulomb, si può anche scrivere come

Πε0

Ke = 1 / 4

ε0

dove è la costante dielettrica nel vuoto con valore di 8.8542 x 10^-12

NB: l’equazione fornisce solo il modulo della forza, che è un vettore, e non direzione e

verso. La direzione si deve trovare considerando dove si trovano le particelle cariche una

rispetto all’altra e al loro segno.

Inoltre, la legge è valida in modo esatto solo per le cariche puntiformi.

Dalla terza legge di Newton sappiamo che la forza esercitata da una carica q1 su q2 è

uguale in modulo a quella esercitata da q2 su q1, ma opposta in direzione e verso ( F21 =

- F12 ).

Quando sono presenti due o più cariche, la forza tra ogni coppia di cariche è data dalla

legge di Coulomb, quindi la forza risultante sulle singole particelle è uguale alla somma

vettoriale delle forze causate da tutte le altre cariche = principio di sovrapposizione.

CAMPI ELETTRICI

Le Forze di campo possono agire nello spazio, producendo un effetto anche se non

c’è diretto contatto tra gli oggetti interagenti.

Si dice che un campo elettrico esiste nella regione di spazio attorno ad un oggetto

carico, chiamato carica sorgente (Q). Quando un altro oggetto carico, chiamato

carica di prova (q0), entra nel campo elettrico della sorgente, subisce una forza.

Definiamo quindi il campo elettrico dovuto a Q nel punto in cui si trova q0 come la

forza elettrica sulla carica di prova per unità di carica, ossia:

il vettore campo elettrico E-> in un punto dello spazio è definito come la forza

elettrica F-> che agisce sulla carica di prova positiva q0 posizionata in quel punto,

divisa per la carica di prova.

E-> = F->/q0

il vettore E-> si misura in N/C.

NB: la direzione di E-> è la stessa di cui una carica di prova positiva risente

quando viene posizionata nel campo.

E-> è il campo prodotto da una carica o distribuzione di cariche distinte e separate

dalla carica di prova: l’esistenza di un campo elettrico è quindi proprietà intrinseca

della sua sorgente, e la presenza della carica di prova non è necessaria alla sua

esistenza ma solo alla sua rivelazione e misurazione.

Una volta noto il campo elettrico, una forza qualsiasi che esercita su una particella

di carica q in quel campo, si può calcolare con:

F-> = q x E->

Una volta calcolata la forza sulla particella, il suo stato di quiete o moto è

determinato utilizzando il modello di una particella sottoposta a F sul modello di una

particella di equilibrio (mah, se lo dici tu..).

Consideriamo una carica puntiforme q posta a distanza r da una carica di prova q0.

IN base a Coulomb, la forza che q esercita su q0 è:

F-> = Ke (qxq0 / r^2) r^ Questa forza, essendo generata da q, ha

Con r^ versore diretto da q a q0.

direzione uscente da essa. Dato che il campo elettrico in una certa

posizione P in cui si trova q0, è definito E = F/q0, troviamo che in P il

campo elettrico generato da q è:

E-> = Ke (q/r^2) r^

Per calcolare il campo elettrico in un punto P, dovunto ad un insieme di

cariche puntiformi, si calcolano i vettori di E-> in P individualmente, e

poi si sommano vettorialmente per principio di sovrapposizione. Quindi,

un campo elettrico in un punto P generato da un insieme di sorgenti, si

definisce: Σ

E-> = Ke (q/r^2) r^

NB: nella maggior parte dei casi la distanza tra le cariche da calcolare è

molto minore rispetto alla distanza dal punto in cui c’è la carica di prova.

In questi casi il sistema delle cariche sorgenti può essere considerato

continuo.

Per calcolare la distribuzione di cariche in un sistema continuo:

- SI divide la distribuzione di carica in piccoli elementi, assumendo

l’elemento come una carica puntiforme.

∆Ε−>

- Si calcola nel punto P, dovuto a uno di questi elementi con E-> =

Σ

Ke (q/r^2) r^

- Si calcola il campo totale in P dovuto alla distribuzione di carica

sommando vettorialmente tutti gli elementi, così da ottenere

∆Ε −> = ( ∆

i Ke qi/ri^2 ) r^

Dove l’indice i si riferisce alla i-esima parte del sistema, ciòè a ognuno

dei singoli piccoli elementi in cui esso è stato diviso.

Applicando il modello di carica continua e facendo diventare

infinitamente piccoli gli elementi di carica, il campo totale nel punto P,

∆qi->0,

nel limite diventa

E-> = Ke | (dq/r^2) r^

in cui dq è derivata della carica, ossia una sua quantità infinitesima.

NB: in tutti questi calcoli si assume che la carica sia uniformemente

distribuita uniformemente lungo una linea, densità o superficie. Va

quindi ricordato che:

-Se una carica Q è uniforme in un volume V, la sua densità di carica per

ρ

volume è

ρ = Q/V

-Se una carica Q è uniforme su una superficie A, la densità superficiale

σ

di carica è

σ = Q/A

-Se una carica Q è uniforme su una lunghezza l, la densità lineare di

λ

carica è

λ = Q/l

LINEE DI CAMPO ELETTRICO

Una comune rappresentazione grafica del campo elettrico è data da

linee, le quali sono legate al campo in qualunque punto dello spazio

nello stesso modo:

- il vettore campo elettrico E-> è sempre tangente alle linee.

- Il numero di linee che attraversano una superficie perpendicolare alle

linee stesse è proporzionale all’intensità del campo in quella regione. E

è quindi intenso se ci sono linee fitte e viceversa.

- Se si ha sorgente positiva, le linee di campo sono dirette radialmente

nel verso uscente dalla carica in tutte le direzioni.

Se si ha sorgente negativa, le linee di campo sono dirette radialmente

verso la carica stessa.

in entrambi i casi hanno direzione radiale e si estendono all’infinito.

- Le linee di campo si avvicinano tra loro man mano che si avvicinano

alla carica, il che indica che l’intensità del campo elettrico è maggiore

nelle sue vicinanze.

Le regole per disegnare linee di campo sono:

-Le linee devono avere origine dalle cariche positive e terminare sulle

cariche positive. Se una delle due cariche è in eccesso, alcune linee

continueranno all’infinito.

-Il numero di linee di campo che escono da positivo verso negativo è

proporzionale alla carica.

-due linee di campo non si intersecano mai.

Inoltre per simmetria, vediamo che per quanto riguarda una carica

sferica l’intensità del campo è uguale sula superficie in tutti i suoi punti:

il numero di linee N che esce dalla carica deve essere uguale a quello

4Π

delle linee che entrano nella sfera, e si può calcolare con N/ r^2

MOTO DI PARTICELLE CARICHE IN UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME

Quando una particella di carica q e massa m è in un campo E->, la loro F=q x E->.

Se questa è l’unica forza che subiscono, essa è la forza risultante. Se anche altre

forze agiscono sulla particella, la forza elettrica viene semplicemente sommata

vettorialmente con esse. Infine, poiché la risultante crea un’accelerazione della

particella, nel caso in cui la forza elettrica sia l’unica e quindi equivalga alla forza

risultante, avremo che

Fe-> = q x E-> = m x a->

perciò l’accelerazione della particella è

a-> = (qE->)/m

NB: se il campo è uniforme l’accelerazione è costante e si può applicare il modello

del moto uniformemente accelerato.

FLUSSO ELETTRICO

Il flusso elettrico è una grandezza proporzionale al numero di linee di campo che

attraversano in modo perpendicolare una data superficie A. Il numero di linee è

proporzionale al modulo del campo, e il numero di linee che attraversa A è

Φ.

proporzionale al prodotto EA, chiamato flusso elettrico

Φ = EA misurato in Nxm/C

Tuttavia, se la superficie A non è esattamente perpendicolare al campo ( e quindi

alle linee), non verrà attraversato in modo preciso da esse, ma da un numero via

via sempre minore finchè non si raggiunge un flusso = 0 quando a superficie è

parallela al campo.

In questi casi

Φ = θ

EAcos

quindi, poiché il campo può variare, a meno che esso non sia completamente

uniforme, l’equazione precedente descrive precisamente il flusso solo nel caso di

∆Α,

piccolissime parti di superficie chiamate talmente piccole da poter ignorare la

variazione e essere considerate piane. Da questi elementi parte un vettore definito

∆Α−> , sempre perpendicolare alla superficie e con verso sempre uscente.

Il flusso che passa attraverso questi elementi è

∆Φ = Ε ∆Α θ ∆Α

i i cos = Ei-> x i->

NB: l’ultimo risultato si ottiene utilizzando la definizione di prodotto scalare tra due

θ

vettori A-> x B-> = ABcos

Infine, così come sommando tutti gli elementi insieme si ottiene la superficie totale,

possiamo sommare tutti i flussi attraverso essi per ottenere il flusso totale.

Un caso particolare è quello delle superfici chiuse.

Una superficie chiusa è definita come una superficie che divide lo spazio in una

regione interna ed esterna senza che si possa creare un collegamento tra le due.

Il flusso totale attraverso una superficie chiusa è proporzionale alle linee di campo

che la attraversano, il cui numero totale è dato da ( numero di linee uscenti –

numero di linee entranti nel volume).

Se le linee uscenti sono più di quelle entranti, il flusso è positivo.

se le linee entranti sono più di quelle uscenti, il flusso è negativo.

TEOREMA DI GAUSSi

Descrive la relazione tra il flusso elettrico totale attraverso una superficie chiusa e la

carica contenuta all’interno di tale superficie.

Consideriamo una carica puntiforme positiva q, al centro di una sfera di raggio r. Le

sue linee di campo sono radiali, e perciò corrispondono al raggio della

circonferenza e in ogni punto sono normali(perpendicolari) alla superficie.

In altre parole, in ogni punto della superficie della sfera, il vettore E-> è parallelo al

∆Αι−> (∆Αι

vettore è la parte infitesimale in cui è divisa la superficie così da essere

considerata piana).

In tutti i punti della superficie, quindi, prodotto vettoriale e scalare si equivalgono

∆Αι−> = Ε ∆Αι

E-> x x