Fisica 2 - Appunto

C

σ σ

= ∑

q h

h

ε 0

Condensatori in parallelo

C =C +C

eq 1 2

Condensatori in serie

La capacità equivalente è data da

C C

= 1 2

C +

eq C C

1 2

Energia del campo elettrostatico

Processo di carica del condensatore: se ad un certo punto tra le armature del condensatore

c’è una d.d.p. allora il lavoro speso per portare una carica dq da un’armatura all’altra

q'

= −V = −

dW 'dq' dq'

C

integrando ottengo

q 2

1 q

∫

= − = −

W q'dq

C 2C

0

Tale lavoro effettuato contro la forza elettrostatica viene immagazzinato nel sistema sotto

forma di energia potenziale elettrostatica:

2

q 1 1

( ) = −W = = =

e 2

U CV qV

2C 2 2

La costante dielettrica

E DIELETTRICA Ho un condensatore piano

σ q

= = = 0

E V E h

ε 0 0 C

0 0

spetto a E del fattore k.

Se c’è un isolante con k il campo E è ridotto di un fattore k rispetto a E

0 k 0

e σ

V V E

= = = =

k 0 0 0

E ε

k h kh k k 0

fattore k. σ σ σ χ σ

−

k 1

− = − = =

0 0 0 0

E E ε ε ε χ ε

+

0 k k k 1

0 0 0 0

Dove chi è la suscettività elettrica nel dielettrico CAP 5 Pagina 1

Nel dielettrico σ

σ χ σ σ

= − = − p

0 0 0

E è come se oltre alle cariche

ε χ ε ε ε

+

k 1

0 0 0 0 delle cariche con densità su

lastra dielettrica. L'effetto

del campo elettrico.

é come se ci siano delle cariche sulle facce della lastra del dielettrico, l’effetto risultante è un

indebolimento del campo elettrico.

La capacità aumenta di un fattore k

q q

= = =

0 0

C k kC

k 0

V V

k 0

Per il condensatore piano

ε ∑ k

= 0

C k h

Capitolo 7!

Campo magnetico

Forza magnetica su una carica in moto

Se la carica è ferma in un sistema di riferimento solidale con le sorgenti del campo magnetico

non agisce nessuna forza, al contrario se la velocità è diversa da zero agisce una forza

chiamata Forza di Lorentz

! !

!

= ×

F q v B

L

La Forza di Lorentz è pari a zero se i vettori velocità e campo magnetico sono paralleli o anti-

paralleli

θ θ π

= = → =

F qvBsin 0 0,

L

La Forza di Lorentz è sempre perpendicolare ai vettori velocità e campo magnetico, quindi

non compie lavoro perciò non modifica il modulo della velocità ma può modificare la direzione

del vettore velocità.

!

Dalla FdL si determinano le dimensioni del campo magnetico:

[ ]

[ ] [ ]

N s N

[ ] = =

T [ ]

[ ] [ ]

[ ]

C m A m

Se la Velocità iniziale è ortogonale a B, la forza ortogonale a B produce una variazione nella

direzione della velocità sempre ortogonale a B, quindi la velocità sta sempre nel piano

ortogonale a B. 2

v

θ = → = = =

sin 1 F qvB ma m

L n r

da cui ricavo il raggio di curvatura

mv p

= =

r qB qB

Se il campo magnetico è uniforme allora il raggio di curvatura è costante e ci troviamo in moto

circolare uniforme:

v qB

ω = =

r m

In generale ricordando l’espressione dell’accellerazione centripeta:

! ! !

! ! !

ω ω

× = × = −m ×

q v B m v v

cioè la velocità angolare istantanea

!

! q

ω = − B

m

Questa relazione mostra che la velocità angolare è sempre parallela a B.

In un piano generico θ

=

⎧

π v vsin

θ n

≠ → ⎨ θ

=

v v cos

2 ⎩ p

! ! ! !

( )

! ! ! !

= × = + × = ×

F q v B q v v B q v B

n p n

nel piano perpendicolare il raggio di curvatura è

θ

mv mvsin

= =

n

r qB qB

la sovrapposizione da un moto elicoidale uniforme.

Momenti meccanici su circuiti piani.!

Principio di equivalenza di Ampere

Da un punto di vista meccanico la Forza magnetica deve considerarsi come la risultante di un

sistema di forze applicate in punti diversi.

Nell’ipotesi di circuiti piani rigidi e immersi in un campo magnetico uniforme la forza

risultante è nulla però si avrà un momento risultante diverso da zero che può mettere in

rotazione il circuito.

Considero una spira rettangolare di lati a e b percorsa da corrente i, la spira è immersa in un

campo magnetico B uniforme.

Le forze magnetiche F3 e F4 formano una coppia di braccio nullo quindi di momento nullo.

Le forze F1 e F2 che giacciono sui lati corti a hanno modulo iaB ma costituiscono una coppia

di braccio b sin teta. Il momento della coppia vale in modulo

!

! !

= ×

M b F

in modulo

θ θ θ

= = =

M bsin F biaBsin iΣBsin

Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente

La densità di corrente è

! !

= −ne

j v

d

quando il conduttore è percorso da corrente ed è immerso in un campo magnetico a ciascun

elettrone è applicata la Forza di Lorentz

! !

!

= −e ×

F v B

L d

la forza agente per unità di volume è

! ! !

= ×

F j B

τ

Su un tratto di conduttore di lunghezza ds si hanno un numero di elettroni pari a

=

dN nΣds

allora la forza di Lorentz agente è

! ! ! ! !

!

( )

= = − × = Σ ×

d F dN

F nΣds e

v B jds B

L d

essendo però l’intensità di corrente i pari alla densità per la sezione del conduttore si arriva

alla Legge di Laplace

! !

!

= ×

d F id s B

Le forze F1 e F2 formano un momento

!

! !

= ×

M b F

!

! !

= ×

M b ia B

Si può definire momento magnetico della spira, il vettore:

! !

=

m iΣ

u n

parallelo e concorde al versore u normale alla spira, il Momento meccanico può quindi

essere scritto come:

! !

!

= ×

M m B

L’equazione del momento meccanico è valida in realtà per un qualunque circuito piano

immerso in un campo magnetico.

Principio di equivalenza di Ampere

L’indentità di comportamento tra spira e ago magnetico nei riguardi delle azioni meccaniche

subite se posti in un campo magnetico uniforme venne generalizzata da Ampere sotto forma

di postulato, il principio di equivalenza di Ampere: una spira piana di area de sigma percorsa

da corrente i equivale agli effetti magnetici a un dipolo elementare di momento magnetico

! !

=

d m idΣ

u n

Sfruttando l’analogia col il dipolo elettrico si definisce una energia potenziale, legata alla

posizione angolare rispetto alla direzione di B

!

! θ θ

= − ⋅ = −mB = −iΣB

U m B cos cos

p

La forza in un campo uniforme parallelo al momento magnetico si può scrivere

! !

dB

=

F m

dz

Flusso di B

Data la natura dipolare di B , applicando la legge di Gauss al vettore campo magnetico

! !

!

∫ ⋅ = Φ( =

" B u dΣ B) 0

n

Σ

con unità di misura Weber [Wb] = [T] [m^2]

Il flusso di B attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. In forma locale B è solenoidale

! !

∇⋅ =

B 0

Il flusso di B attraverso le infinite superfici che hanno lo stesso contorno e sono

concordemente orientate è sempre lo stesso, si parla di

Flusso concatenato con una linea chiusa

Effetto Hall

permette di determinare il segno dei portatori di carica e la densità di carica dei portatori.

Un conduttore a forma di nastro sottile, di sezione

Σ = ab

ha densità di corrente pari a

! ! !

i

= =

j u ne

v

x d

ab

Se la direzione di B è

! !

=

B B

u y

Se si assume il nastro sottoposto all’azione di un campo magnetico perpendicolare a j e

concorde all’asse y, su ciascun portatore di carica agisce la forza di Lorentz:

! !

!

= ×

F e

v B

d

Sulla carica e agisce una forza F non elettrostatica, pertanto definisco il campo elettromotore:

! !

! ! !

!

F j

= = × = ×

E v B B

H d

e ne

detto Campo di Hall

Il campo di Hall non è conservativo, ha la direzione dell’asse z, cioè il lato b del nastro, è un

campo di origine magnetica.

Se le cariche e>0 allora il campo di Hall è concorde all’asse z, se e<0 il campo di Hall è

discorde all’asse z.

Per effetto del campo di Hall si accumulano delle cariche sulle facce ortogonali all’asse z, si

induce quindi un campo elettrostatico che all’equilibrio:

! !

+ =

E E 0

H el

All’equilibrio il dispositivo si comporta come un generatore in cui non circola corrente.

La f.e.m. vale:

= ±E

f .e.m. b

H

In modulo la forza elettro motrice vale

−

jBb iB Bb V V

= = = = A B

f .e.m. E b ρ

H ne nea ne d

con d lunghezza del conduttore

Il fenomeno descritto chiamato effetto Hall mi permette di conoscere il segno dei portatori di

carica conoscendo il segno della tensione di Hall. Inoltre noti i moduli di tensione e B posso

ricavare la densità dei portatori di carica.

Infine essendo proporzionali tensione di hall e modulo del campo magnetico, posso costruire

misuratori del campo magnetico dette sonde di Hall

−

f .e.m. i b(V V )

α = = =

H A B

ρ

B nea ne d

Spettrometro di massa

Usato per separare ioni che hanno rapporto carica/massa diverso, ad esempio gli isotopi.

Lo spettrometro di Dempster.

Funzionamento

Gli ioni prodotti dalla sorgente S passano attraverso 2 fenditure strette chiamate F1 e F2 che

né definiscono la traiettoria e tra le quali è applicata una d.d.p. V.

All’uscita di F2 tutti gli ioni possiedono l’energia cinetica

1

= =

2

E mv qV

k 2

dopodiché le particelle entrano in una regione in cui agisce B che agisce ortogonalmente alla

traiettoria delle particelle.

essendo il raggio di curvatura:

mV m Br

= → =

r qB q V

1