Fisica 2 - Appunti ed esercitazioni con testi

Esercitazione 1

Esercizio 1

Un elettrone in movimento con velocità = 4.86∙10 m/s viene lanciato contro un campo elettrico di 1030 N/C orientato in modo da rallentarne il moto. Calcolare in quanto tempo l’elettrone si ferma e quanto spazio percorre prima di fermarsi temporaneamente. Risultati: tempo = 26.9 ns, spazio percorso = 6.53 cm.

Esercizio 2

Tre cariche puntiformi sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato L. Ai vertici di base ci sono due cariche +2Q, -Q, al terzo vertice una carica +Q. Calcolare il vettore campo totale nel baricentro del triangolo. Risultato: E = 9Q/(24πεL).

Esercizio 3

Due sbarrette di materiale isolante, lunghe L, sono disposte perpendicolarmente tra loro. La distanza dal punto P dalle estremità delle sbarrette è d. Determinare il valore del campo elettrico E(P) su ciascuna sbarretta se è distribuita la carica Q. Risultati: E_x = Q/(4πε(L² + d²)) e E_y = Q/(4πε(L² + d²)).

Esercizio 4

Un disco di raggio R = 2.5 cm ha densità di carica superficiale σ = 5.3 μC/m² sulla faccia superiore. Calcolare il campo in un punto generico dell’asse centrale e il suo modulo per z = 12 cm. Risultato: E(z) = σ/(2ε₀) * (1 - z/(z² + R²)^1/2), con E = 630 kN/C per z = 12 cm.

Esercizio 5

Un anello di raggio R ha densità di carica lineare λ. Calcolare il campo elettrico sull’asse, come nell’esercizio precedente. Calcolare la pulsazione delle piccole oscillazioni di una carica negativa q < 0 con massa m, posta appena sopra il centro dell’anello. Risultati: E(z) = λz/(2πε₀(R² + z²)^3/2) e ω = (λq/mRε₀)^1/2 .

Esercizio 6

In una regione dello spazio il potenziale è descritto da V(x, y, z) = exp(-x² - y²). Calcolare il campo elettrico E(x, y, z). Individuare il luogo dei punti di equilibrio per una carica di segno qualunque. Risultati: E = -2xexp(-x² - y²)î - 2yexp(-x² - y²)ĵ; punti di equilibrio dove x = y = 0, cioè asse z, stabile per carica q < 0 e instabile per q > 0.

Esercitazione 2

Esercizio 1

Calcolare il potenziale lungo l’asse di una distribuzione di carica a corona circolare di raggio interno R₁ = 1 cm ed esterno R₂ = 11 cm, nell’ipotesi che la densità di carica superficiale sia uniforme e pari a σ = 8.85 nC/m². Determinare quindi il campo elettrico generato sull’asse da questa distribuzione di carica. Calcolare inoltre l’energia cinetica con la quale un elettrone lasciato libero in un punto P di coordinata x = 20 cm raggiunge il centro O e la frequenza delle piccole oscillazioni della carica se è lasciata libera in prossimità del centro della corona circolare. Risultati: V(z) = (σ/(2ε₀)) * ((R₂² - R₁²) - (z² + R₂²)^-1/2 + (z² + R₁²)^-1/2), E(z) = 36 eV, f = 13.6 MHz.

Esercizio 2

Facendo riferimento alla figura, determinare il campo elettrico e il potenziale elettrostatico nel punto P. Determinare, inoltre, l’energia elettrostatica immagazzinata nella configurazione di carica. Risultati: E(P) = 2q/(4πε₀L²)î + q/(4πε₀L²)ĵ, V(P) = q/(4πε₀L), U = qV.

Esercizio 3

Un cilindro di lunghezza infinita e raggio R è carico con densità di carica variabile con la distanza dall’asse secondo la relazione ρ(r) = kr. Calcolare e rappresentare graficamente il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico in funzione della coordinata radiale r, sia all’interno che all’esterno del cilindro. Risultati: E(r < R) = kr/(2ε₀)r̂, E(r > R) = kR²/(2ε₀r)r̂, V(r < R) = -(kR³/(6ε₀)) + (kr²/(4ε₀)), V(r > R) = -(kR²/(2ε₀))ln(r/R).

Esercizio 4

Un filo isolante rettilineo indefinito, perpendicolare al piano xy e passante per l’origine, è caricato uniformemente con densità lineare di carica λ = +100 nC/m. A distanza d = 2 cm dal filo, un piano perpendicolare all’asse x, anch’esso non conduttivo, è caricato uniformemente con densità superficiale di carica σ = -1 μC/m². Calcolare il campo elettrostatico nel punto P di coordinate (d/2, d/2) e la d.d.p. tra il punto P di coordinate (a, a) con a = 1 mm, e il punto P₂. Risultati: E_x(P₁) = 146 kV/m, E_y(P₁) = 90 kV/m, ΔV = -4.65 kV.

Esercizio 5

Una carica puntiforme q è posta in prossimità di una calotta semisferica di raggio R ad una distanza δ << R dal centro, all’esterno della calotta stessa. Quanto vale il flusso del campo elettrico attraverso la superficie curva? Qual è il flusso attraverso la parte piana della superficie della calotta? Risultati: Φ₁ = q/(2ε₀), Φ₂ = -q/(2ε₀).

Esercizio 6

Si consideri la distribuzione di carica in figura, dove la densità di carica uniforme σ è distribuita su due piani di estensione indefinita posizionati in x = -a e x = a, rispettivamente. Calcolare e fornire un grafico dell’andamento di campo e potenziale nello spazio considerando nullo il potenziale in x = 0. Risultati: E(x < -a) = -σ/ε₀î, V(x < -a) = σ(x + a)/ε₀; E(-a < x < a) = 0, V(-a < x < a) = 0; E(x > a) = σ/ε₀î, V(x > a) = -σ(x - a)/ε₀.

Esercitazione 3

Esercizio 1

Calcolare l’energia elettrostatica immagazzinata in una sfera carica uniformemente con densità costante ρ e raggio R. Risultato: U = 3Q²/(20πε₀R).

Esercizio 2

Un condensatore sferico è costituito da due superfici sferiche concentriche. Siano R₁ = 1 cm il raggio interno e R₂ = 5 cm il raggio esterno. Calcolare la capacità del condensatore. Assumendo per l’aria interposta tra le armature una rigidità dielettrica di 3 kV/mm, determinare la massima carica accumulabile sulle armature in assenza di scarica e la massima differenza di potenziale. Risultati: C = 1.39 pF, Q_max = 33.3 nC, V_max = 24 kV.

Esercizio 3

Bisogna dimensionare un condensatore cilindrico in aria in modo che abbia una capacità C = 5 pF. Calcolare l’altezza del condensatore se il raggio dell’armatura interna è r₁ = 3 mm e quello dell’armatura esterna è r₂ = 3.35 mm. Calcolare il campo elettrico massimo all’interno del condensatore se esso viene collegato ad una batteria che eroga un d.d.p. V₀ = 3 V. A parità di raggio interno ed esterno, quanto vale l’altezza di un condensatore cilindrico che abbia la stessa capacità, ma sia riempito con la mica (ε_r = 3.3)? Risultati: h = 1 cm, E_max = 9 kV/m, h' = 3 m.

Esercizio 4

Si consideri il condensatore in figura. Le armature sono quadrate di superficie S = 10 cm², separate da una distanza d = 3 mm, mentre il dielettrico che riempie il condensatore per un’altezza h = d/3 ha una costante dielettrica k = 4, mentre la batteria genera una differenza di potenziale V₀ = 3 V. Calcolare il campo elettrico nella parte in aria del condensatore. Determinare la tensione massima a cui può essere portata la batteria se la rigidità dielettrica del materiale inserito all’interno del condensatore è E_max = 100 kV/m. Risultati: C = 3.9 pF, E = 1.33 kV/m (da + a -), V_max = 900 V.

Esercizio 5

Un condensatore a facce piane e parallele è riempito da due dielettrici di costante dielettrica k₁ = 3 e k₂ = 5, come mostrato in figura (a). Il lato delle armature quadrate del condensatore è L = 10 cm, mentre la distanza tra le armature è d = 9 mm. Sulle armature del condensatore è presente una carica Q = 5.83 nC. Determinare l’energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore e il campo elettrico tra le armature. Successivamente, il dielettrico di costante k₁ viene completamente rimosso e sostituito con aria come in figura (b). Calcolare il lavoro speso per l’estrazione, e la carica finale sulle armature del condensatore. La carica di polarizzazione sul materiale dielettrico di costante k₂ varia durante il processo di estrazione? Motivare la risposta. Risultati: U = 500 nJ, E₁ = 22 kV/m e E₂ = 13.2 kV/m (da + a -), W_extr = 768 nJ, Q_f non cambia.

Esercizio 6

Un guscio sferico di materiale dielettrico con un dato ε ha raggio interno R₁ e raggio esterno R₂. Al centro della cavità vuota si trova una carica puntiforme +q. Calcolare il campo elettrico in ogni punto dello spazio e la densità di carica di polarizzazione sulla superficie interna e su quella esterna del guscio. Cosa succede se il dielettrico viene trasformato in conduttore? Risultati: E(r < R₁) = 0, E(r > R₂) = q/(4πε₀r²)r̂, R₁ < r < R₂: E = q/(4πε₀εr²)r̂, σ_R1 = -q(ε - 1)/(4πε₀R₁²), σ_R2 = q(ε - 1)/(4πε₀R₂²), se ε → ∞ il campo nel conduttore si annulla e sulle due superfici si verifica induzione completa.

Esercitazione 4

Esercizio 1

Un generatore di resistenza interna r e f.e.m. V₀ è collegato ad un carico resistivo R. Calcolare quando la potenza dissipata come energia termica nella resistenza R è massima e calcolarne il valore. Risultato: P_max = V₀²/(4R).

Esercizio 2

Un conduttore di lunghezza L = 20 m e sezione costante è costituito da un materiale la cui resistività varia con la lunghezza secondo la legge ρ(x) = ρ₀ + kx con ρ₀ = 5∙10^-6 Ω∙m e k = 10^-6 Ω/m. Calcolare la sezione del filo se la sua resistenza è pari a R = 50 Ω. Se nel filo fluisce una corrente costante I = 20 A, determinare la densità di carica lungo il conduttore. Risultato: S = 0.55 cm², ρ ≈ 6.4x pC/m³.

Esercizio 3

Si consideri il resistore sagomato a tronco di cono rappresentato in figura. Se il materiale di cui è costituito è piombo (ρ = 2.2∙10^-7 Ω∙m), i raggi di base sono rispettivamente r₁ = 0.2 mm e r₂ = 1 mm e la lunghezza è L = 50 cm, si determini la corrente che lo attraversa se la batteria eroga una d.d.p. ΔV = 0.3 V. Suggerimento: Int = dx / (a + bx) + b(a + bx). Risultato: i = 1.7 A.

Esercizio 4

Un cavo conduttore di sezione costante S = 1 mm² è composto da un primo tratto di lunghezza L₁ = 10 m fatto di un materiale di resistività ρ₁ = 10^-7 Ω∙m e un secondo tratto di lunghezza L₂ = 20 m fatto di un materiale di resistività incognita. Calcolare la resistenza del tratto di lunghezza L₂. Si sa che all’interfaccia tra i due materiali si deposita una carica totale q = 3.54∙10^-18 C quando nel cavo scorre una corrente pari a i = 1 A. Calcolare la d.d.p. ai capi del conduttore. Risultati: R = 1 Ω, ΔV = 111 V.

Esercizio 5

Determinare la forza agente sulla porzione circolare di raggio R = 20 cm del conduttore in figura se è percorso da una corrente i = 0.5 A ed è immerso in un campo magnetico uniforme B = 500 μT. Risultato: F = -100 μN ĵ.

Esercizio 6

Il circuito quadrato di lato L = 0.5 m mostrato in figura è inserito in una regione di spazio in cui il campo magnetico B = 2∙10^-4 T ẑ. Se la batteria eroga una d.d.p. V = 1.2 V, la sezione del conduttore è S = 0.8 mm² e la sua resistività è ρ = 10^-7 Ω∙m, calcolare la forza agente sul conduttore. Risultato: F = 6 μN x̂.

Esercitazione 5

Esercizio 1

Una spira quadrata piana di lato L è percorsa da una corrente costante i. Indicare direzione e verso del campo magnetico all’interno della spira. Calcolare il campo magnetico nel centro C della spira. Sfruttare la seguente relazione: B = μ₀i/(2πa)(1/(a² + x²)^3/2 + 1/(a² + x²)^1/2).

Esercizio 2

Sia dato il tratto di filo in figura, percorso da una corrente i = 2 A. I lati orizzontale e verticale si possono considerare come molto lunghi, mentre il ripiegamento semicircolare ha raggio R = 30 cm. Determinare modulo, direzione e verso del campo magnetico nel punto P. Risultato: B(P) = 2.76 μT ẑ.

Esercizio 3

Nel piano ortogonale ad un conduttore cilindrico indefinito percorso da una corrente I = 100 A, è posta una spira piana percorsa dalla corrente i = 2 A, con la forma di un settore di corona circolare tra i raggi R₁ = 2 cm e R₂ = 4 cm e che sottende un angolo θ = 60°. Determinare il campo magnetico prodotto dalla spira nel centro del conduttore e il modulo della forza agente su ciascuno dei quattro lati della spira, esercitata dal campo prodotto dal conduttore cilindrico. Risultati: B(C) = -5.24 μT ẑ, F = 27.7 μN (coppia sui lati dritti) e forza nulla sugli archi.

Esercizio 4

Due lunghi fili posti a distanza d sono percorsi da correnti di uguale intensità. (Manca il resto del testo per una risposta completa).