Arbitrage Pricing Theory (APT)

Arbitrage pricing theory

In finanza, l'Arbitrage Pricing Theory (APT) è un modello in base al quale il rendimento atteso di un'attività finanziaria è espresso come funzione lineare di una serie di fattori, più una componente idiosincratica di rischio. La sensibilità del rendimento atteso rispetto a variazioni dei fattori è nota con il termine inglese come factor loading, ed è la controparte nel contesto multifattoriale dell'APT del coefficiente beta del capital asset pricing model (CAPM). L'APT è stato originariamente proposto da Stephen Ross, in uno storico contributo del 1976.

Un modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi

La base dello sviluppo dell'APT sta nel concetto di modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi; un modello fattoriale lineare ipotizza in particolare che:

Dove R denota il rendimento di un generico titolo, indicizzato da i; con un insieme di fattori, ossia di variabili esogene che determinano l'evoluzione dei rendimenti. I coefficienti b sono detti con voce inglese factor loadings; è detto rischio idiosincratico, in quanto caratteristico del singolo titolo o rendimento. Si ipotizza in particolare che:

Le ipotesi su , e sono innocue normalizzazioni, così come quelle su e. Sono invece più restrittive le ipotesi che abbia varianza finita per ogni i (), e che le componenti di rischio idiosincratico siano tra loro incorrelate (): la prima ipotesi pone infatti una restrizione sulle distribuzioni di probabilità che si ammette siano seguite dai rendimenti dei titoli (soltanto quelle aventi il secondo momento finito); la seconda che la rischiosità di ciascun titolo possa essere isolata in una componente non correlata con quella degli altri titoli (ossia che ogni rendimento sia caratterizzato da una componente di rischio realmente idiosincratica). Da queste ipotesi segue che:

Il numero dei fattori f, e quali variabili economiche (o di altro tipo) essi rappresentino, ha scarsa importanza a questo punto (ha importanza molto maggiore, ovviamente, nelle applicazioni). In altre parole, il modello fattoriale lineare è una caratterizzazione puramente statistica del rendimento dei titoli, e non ha di per sé la pretesa di fornire alcuna spiegazione economica della loro evoluzione.

Arbitrage pricing theory

In uno storico contributo del 1976 Stephen Ross, a partire da un modello fattoriale lineare come quello proposto sopra, deriva l'Arbitrage Pricing Theory o APT.

Al fine di illustrare questo risultato, si definisca un portafoglio tramite un vettore ω che in ogni componente indica l'investimento effettuato in ciascun titolo dell'economia. Dato un vettore di rendimenti...