Arbitrage Pricing Theory (APT)

Arbitrage pricing theory

In finanza, l'Arbitrage Pricing Theory (APT) è un modello in base al quale il rendimento atteso di un'attività finanziaria è espresso come funzione lineare di una serie di fattori, più una componente idiosincratica di rischio. La sensibilità del rendimento atteso rispetto a variazioni dei fattori è nota con termine inglese come factor loading, ed è la controparte nel contesto multifattoriale dell'APT del coefficiente beta del capital asset pricing model (CAPM). L'APT è stato originariamente proposto da Stephen Ross, in uno storico contributo del 1976.

Un modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi

La base dello sviluppo dell'APT sta nel concetto di modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi; un modello fattoriale lineare ipotizza in particolare che:

dove R denota il rendimento di un generico titolo, indicizzato da i, è un insieme di fattori, ossia di variabili

esogene che determinano l'evoluzione dei rendimenti. I coefficienti b sono detti con voce inglese factor loadings; è detto rischio idiosincratico, in quanto caratteristico del singolo titolo o rendimento. Si ipotizza in particolare che: Le ipotesi su α, β e ε sono innocue normalizzazioni, così come quelle su μ e σ. Sono invece più restrittive le ipotesi che α abbia varianza finita per ogni i (σαi < ∞), e che le componenti di rischio idiosincratico siano tra loro incorrelate (Cov(εi, εj) = 0): la prima ipotesi pone infatti una restrizione sulle distribuzioni di probabilità che si ammette siano seguite dai rendimenti dei titoli (soltanto quelle aventi il secondo momento finito); la seconda che la rischiosità di ciascun titolo possa essere isolata in una componente non correlata con quella degli altri titoli (ossia che ogni rendimento sia caratterizzato da una componente di rischio realmente idiosincratica). Da queste ipotesi segue che: Il numero dei fattori f, e quali variabili

Economiche (o di altro tipo) essi rappresentino, ha scarsa importanza a questo punto (ha importanza molto maggiore, ovviamente, nelle applicazioni). In altre parole, il modello fattoriale lineare è una caratterizzazione puramente statistica del rendimento dei titoli, e non ha di per sé la pretesa di fornire alcuna spiegazione economica della loro evoluzione.

Arbitrage pricing theory

In uno storico contributo del 1976 Stephen Ross, a partire da un modello fattoriale lineare come quello proposto sopra, deriva l'Arbitrage Pricing Theory o APT.

Al fine di illustrare questo risultato, si definisca un portafoglio tramite un vettore ω che in ogni componente indica l'investimento effettuato in ciascun titolo dell'economia. Dato un vettore di rendimenti attesi e la matrice varianze-covarianze associata i definisce dunque un'opportunità di arbitraggio asintotica una successione di portafogli tali che:

dove <> denota un vettore avente tutte le componenti uguali

a 1. Le condizioni sopra implicano che ciascun portafoglio comporta un esborso di denaro nullo (le componenti di ω possono anche essere negative, dunque questo non significa che non si abbia investimento), assicura un rendimento atteso strettamente positivo, e il portafoglio limite della successione ha varianza ω 'Ωω nulla. Il teorema di Ross afferma che, ipotizzando che valga un modello fattoriale lineare come quello presentato sopra, nell'ipotesi in cui non siano ammesse opportunità di arbitraggio asintotiche, esiste un insieme di premi per il rischio tali che il rendimenti atteso di ciascun titolo a può essere espresso come:

rendimento atteso del titolo a = premio per il rischio sistematico del titolo a * beta del titolo a + premio per il rischio specifico del titolo a

dove: - il premio per il rischio sistematico del titolo a è il rendimento atteso del portafoglio limite della successione - il beta del titolo a è la covarianza tra il rendimento del titolo a e il rendimento del portafoglio limite della successione divisa per la varianza del portafoglio limite della successione - il premio per il rischio specifico del titolo a è l'errore di prezzo del titolo a I v possono essere interpretati come errori di prezzo (o meglio, di determinazione del rendimento atteso): l'APT determina il rendimento atteso corretto per ciascun titolo, con un errore quadratico medio che tende a zero, al limite per N, il numero dei titoli scambiati nell'economia, che tende.

all'infinito.

Dimostrazione del teorema di Ross (1976)

Una regressione lineare dei rendimenti attesi E(R ) = a sui b e una costante consente di ottenere

i i k immediatamente nonché:

dove v denota il residuo della regressione. Per le proprietà della regressione lineare, si ha:

i

Si costruisca ora un portafoglio avente pesi:

Evidentemente il portafoglio prevede un esborso iniziale nullo (dal momento che ); il rendimento atteso ad esso associato è:

La varianza del rendimento del portafoglio è limitata superiormente come segue:

Poiché:

al fine di evitare un'opportunità di arbitraggio asintotica è necessario imporre la seguente condizione sul rendimento atteso:

con cui la dimostrazione del teorema è completa