Esercizi sui punti di estremo relativo

Esercizio 2.3

f(x,y) = x²y² R->R

f_x(x,y) = 2x

f_y(x,y) = 2y

(0,0) punto critico

H(0,0) = [ 0 -2 0 -2 ]

(0,0) non è un punto di estremo relativo.

Esercizio

Trovare gli eventuali punti di estremo relativo di:

g(x,y) = (x+3y-1)²(2x-1)

f(x,y) : R->R f ∈ C⁰(IR²)

Per prima cosa calcolare i punti critici (derivate parziali)

f_x(x,y) : 4(x+3y-1)³2(2x-1)+2(x+3y-1)²1=2(x²+3y²-4)² [(x+3x²y+1)+2x(x+3y²-1)]

f_y(x,y) : 4(x+3y-1)³6y(4x-1)

Ora dobbiamo studiare il sistema delle due derivate prime:

(4x²+3y²-1) (2x²-4x-3y+1) = 0 y(2x-4)(x²+3y²-4)=0

1^o(x+3y-1)³ =0 =>

• y = `
• x =

3^o (x² + 3y⁴ - 1)³ = 0

Questa è un'ellisse di equazioni x² + y² / (4/3) = 1

Abbiamo capito i punti di 1^o e 2^o fanno parte dell'ellisse e quindi sono per loro soluzioni di 3^o.

9(x² + 3y² - 4x - 1) = 0

4 ((x+3y²) (x-1)=0

9(x² - 4x - 1)

2 (x-1) = 0 x = 1/2 ∈ γ

Sia P (x̄, ῡ) ∈ γ => detH ( ζ, η) => 0

Quindi posso dire che i punti critici sono i punti di K e P₀ ai β = -2 √3/9 e α = 2 + √3/9 che sono le soluzioni del K^o.

Ora possiamo fare le derivate parziali seconde.

f_xx = 6 [( x² + 3y² - 1) 2(x) (x² + 3y² - 4x - 1) + 2 (x + 3y² - 1)³(8x - 4]

f_xy = 144 x̄ y (x² + 3y² - 1) (2x - 4) + 4γ (x+3y² - 1)³

f_xx (^{2 √3} / 9, 0) = 4 [( 2+√3/9) - 1]³ < 0

f_xy (-2-√3/9) > 0

f_xy (^{-2 √3} / 9, 0) = 4 [ detH ( 2 - √3/9, 0) = f_xy (p₀) f_xx (p₂) - 2 f_yy (p₀) > 0

Dimostrare che P_i è punto di estremo relativo

f(x̄, ῡ) = 0 r ( x̄, ῡ) ∈ γ

I punti critici sono:

_{x0=0; (±√2/2, -1/4)}

Derivate seconde:

• f_xx: 2(4x² + 2y²f_yy + 8x³, 12x²)
• f_yy = 2x³ + 4
• f_xy + 4 = 0
• det(H(0,0)) = 0 → no possiamo dire nulla.

Studio f(-x, y)₁ => f(x, y) (esponente di x pari) → f(√2/2, -1) = f(-√2/2, -1)

Studio f(x (√2/2 - x)) = x 2/4 + 2 - 4 = 4

f(x (√2/2 - x) - (x (√2/2) + x) - (2) = 0

P₀ è un punto di minimo relativo (×) β(-x,y) = β(x,y)

f(0, y)² = 0

Bisogna studiare la natura dei punti (x,y).

Un punto del tipo (0,y) con y≥0 è di minimo relativo e anche per y₀ e di massimo relativo.

(0,y) con 0²<y⁰ è di massimo relativo.

(0,-2) e (0,0) ma sono più punti di minimo né di massimo relativo ma punti di sella.

ESERCIZIO

Calcolare gli eventuali punti di estremo relativo di:

• f(x, y,z) = y² z² - x² y²
• f ∈ C∞ (R²)
• f_x = 2x
• f_y = 2(y² - 2y)
• f_z = 2z y² - 2x
• f_y = 2y (z² - 1)
• f_z = 2z (y² - 1)
• f_t: f_zz (y² - 1)

ψ(t) è decrescente in ]-∞; -^π/₂[ e crescente in ]-^π/₂; +∞[

lim ψ(t)=+∞ quindi la funzione ha un minimo t→+∞ assoluto in ^π/₂

min_π(ψ(t)) = arctg(^√₄) + log(₅)

Esercizio 26

Trovare gli eventuali punti di minimo e massimo di:

f(x,y) = ^{4sen xy}/_{2xe²xy +1} R²→R

f(x,y) = ψ(g(x,y))

ψ(t) = ^4ext/_{4e²xt +1} : R→R

t=g(x,y) : R²→R

ψ è periodica di periodo 2π

ψ(t) = ^4eπ(-t)/_{4e²(-π)t +1} = -ψ(t)

ψ(t) : [0,2π]→0:R

ψ'(t) = ^{-cost(1ext -1) -2ext(cost(1ext))}/_{(4x2e⁴t+1)²} = 4 ^(4{3ext+x}cost

cost = 0 sen t = ^π/₂

1 - 4e²xt = 0 e t = ^π/₆ t=^5π/₆

ψ(t) > 0 se ott ^π/₆

1-4e²xt > 0 se ^π/₆ < t <⁵/₆ -1erxetc¹/₂

a^{0 -1}

Si:

f_k(t)=^√2/₂

f_h(t)=^√2/₂

max ^√2/₂ (0,√2)

min= ^-√2/₂ (-√2,0)

Esercizio (a)

Trovare tutti gli eventuali punti di estremo relativo di:

g(x,y,z)= (x²(xy)+(z²)

f_XY=(t) ₁ f_R,R)

g(x,y,z)= (x²(xy)+(z²)​ > 0 f (x,y,z)∈R³

Δg(t)=(Δr cgt + _Δf(t) ∀t>0

g(t)= e descritto in [0, root] quindi basta studiare la g(x,y,z)

g_x = 2x + 2(xy) + 2(x+z)

g_y = 2(xy)

g_z = 2(x+z)

2xx2(x+y)+(z+z)=0

2(xy)=0

(z+z)=0

= > {x=0 y=0 z=0 O=(0,0,0)}

L'origin e l'unico punto critico che annulla la g. tra se g=0 allora g(t)=0 e quindi O=(0,0,0) e un punto di minimo.

Esercizio (b)

Trovare gli eventuali punti di minimo e massimo relativo della funzione:

g(X,y,z)=i ¹/₂ [x⁴y⁴y²+xz+4]

g(x,y,z)= x⁴y⁴y⁴z²+xz+1

g_x= 4x³ +2yx y z

g_y= x+2 y

g_z= 2z+x

x³ +3x y +2 =0

x²+2y =0

2z+x =0

=> { 4x3- x^{3 x 3/2 }}

Y= -^{x - z= - - x - _- } x}

3x -