Esercizio sul diagramma di Bode

RICAVIAMO ORA LE REGOLE PER IL TRACCIAMEN₅TO DEI DIAGRAMMI DI BODE DI F(s). SIA F(s)NELLA SEGUENTE FORMA:

F(s) = K     π (1 + τ_z,is) π (1 + 2ς_z,i     s     s² i=1 τ   i=1 τ     w_z,i     ω_z,i²   m₁    m₂

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s^n₃ π (1 + τ_p,is) π (1 + 2ς_p,i     s     s² )    i=1 τ   i=1 τ     w_p,i     ω_p,i²   n₁    n₂

NOTA: SE F(s) NON È IN QUESTA FORMA, CI SI PUÒ RI-            CONDURRE AD ESSA CON FACILITÀ: ESEMPIO:

F(s) =   20 · (s + 3)(s - 2)   =   20 · 3 · (1 + s/5₃) · (-2) (1 - s/2_{)      s² (2s² + 3s + 4)     s² · 4 ⋅ [1 + 3/4 s + s² 2]=   -30(1 + 5/3)(1 - s/2)}

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s² (1 + 3/4 s + s² 2)

                      | τ_z1 = 1/3; τ_z2 = 1/2 |                      | K = -30; |                 | w_z1 = 2; w₂ = 0; |                      | n₃ = 2; n₁ = 0; n₂ = 1; |

| w_p,i = √2; s_p,1 = 3 √2/8

PONENDO s = jw NELL’ESPRESSIONE DI F(s), SI HA:

F(jw) = K

      π (1+jwτ_z,i) π (1 – ω_z,i²) + 2jως_z,i    π (1+jwτ_z,i) π (1 – ω_z,i²) + 2jως_z,i   (jw)^n₃ π (1+jwτ_p,i) π (1 – ω_p,i²) + 2jως_p,i     m₁   m₂   n₁

RICAVIAMO ORA LE REGOLE PER IL TRACCIAMEN-₅TO DEI DIAGRAMMI DI BODE DI F(s). SIA F(s)NELLA SEGUENTE FORMA:

F(s) = K ∏_i=1^m₁(1 + τ_z,is) ∏_i=1^m₂(1 + 2ζ_z,is +∏_l=1^m₂(1 + τ_z,is) ∏_l=1^m₂(1 + 2ζ_z,i

Nota: Se F(s) non è in questa forma, ci si può ri-condurre ad essa con facilità: esempio:

F(s) = ^{20 (s+3)(s-2)}⁄_{s²(2s²+3s+4)} = = ^{20 ⋅ 3 ⋅ (1 + 5⁄₃s)(-2)(1-5⁄₂)s2 ⋅ 4(1+3}⁄₄s + ^{s2 ⁄₂)} =

-30(1 + ⁵⁄₃s)(1-⁵⁄₂)⁄s²(1 + ³⁄₄s + ^s2⁄₂) ξ_z,1 = ¹⁄₃ , ξ_z,2 = ¹⁄₂ i

• K = -30 ;
• w_z,1 = 2, w_z,2 = 0;
• n₃ = 2; n₄ = 0, n₂ = 1;
• w_p,1 = √², ξ_p,1 = ^3√2⁄₈;

Ponendo s = jw nell'espressione di F(s), si ha:

F(jw) = K∏_i=1^m₁ (1 + jwτ_z,i) ∏_i=1^m₂ (1 - ^w2 ⁄_w²z,i + 2jw⋅ ∏_i=1^m₂(1 + jwτ_p,i)

CALCOLIAMO ORA |F(jw)|_dB E ^F(jw)

|F(jw)|_dB = 20 log₁₀ |F(jw)| =

= 20 log₁₀ ^|F(jw)| _(jw)ⁿ³ ∏ ^{(1 + jw τ_zi)} _i=1 ∏ ^{(1 - w²/_wzi²) + 2jw Σ_zi/_wzi)} _i=4

= 20 log₁₀ |K| ^{∏ (……) ∏ (……)} _{|jw|ⁿ³ ∏ⁱ⁼¹ ∏ⁱ⁼⁴}

= 20 log₁₀ |K| ^{∏i=1 ∏i=4} _{|jw|ⁿ³ ∏ⁱ⁼¹ ∏ⁱ⁼⁴}

= 20 log10 |K| + wzi i=1 20 log10 ( |1 + jw τzi, i| ) + wzi i=4 20 log10( |1- w²/wzi²| +2 jw Σzi/wzi )

- n3 20 log10|jw| - wpi i=1 20 log10|(1+jwτpi, i)| - wzi i=4 20 log10|(1-w²/wpi²| + 2jw Σzi/wpi )

^F(jw) = K ^{∏ (1+jwτ_zi) ∏_i=1 ⁿ² (1- w²/_wzi²) + 2jw Σ_zi/_wzi}

= K + wzi i=1 ∑ (1 + jw τzi) + wzi i=4 ∑ [(1- w²/wzi²) + 2jw Σzi/wzi]

- n3 (jw) - wpi i=4 ∑[(1+ jw τpi, i) - wzi i=4 ∑ [(1- w²/wpi²) + 2jw Σpi/wpi]

DALLE ESPRESSIONI PRECEDENTI SI DEDUCE CHE, PER ⁽⁷⁾ TRACCIARE I DIAGRAMMI DI BODE DI F(jw), È SUFFICIENTE SAPER TRACCIARE I DIAGRAMMI DI BODE DELLE FUNZIONI:

1. K (TERMINE COSTANTE)
2. jw (TERMINE MONOMIO)
3. 1 + jwτ (TERMINE BINOMIO)
4. (1 - _w²/_wn²) + 2j w ζ/_wn (TERMINE TRINOMIO)

E POI COMPORLI OPPORTUNAMENTE, IN MODO DA OTTENERE I DIAGRAMMI DI F(jw).

STUDIAMO QUINDI I DIAGRAMMI DI BODE DEI TERMINI 1), 2), 3), 4).

1) K (TERMINE COSTANTE).

DIAGRAMMA DEI MODULI:

20 log₁₀ |K|

NON DIPENDE DA w, È UNA RETTA ORIZZONTALE DI AMPIEZZA PARI A 20 log₁₀ |K|.

\< K =

π SE K > 0

±π SE K < 0

(NON DIPENDE DA w)

(VEDERE FIGURA PAG. 7 bis)