Esercizi vari di analisi matematica 2

Esercizi analisi I

Continuità e derivate parziali

1. f(x, y) = y²sen(x) se (x, y) ≠ (0, 0)

   0 se (x, y) = (0, 0)

   Controllare se il limite di f(x, y) è uguale a f(a, 0)

   Sostituisco y=mx (pol. parabolo o altre funzioni):

   lim_x→0 (m²x²sen(x))/(x² + m²x²) = 0 non posso già concludere che lim → f = 0

   Mi metto in coordinate polari.

   lim_p→0 (p² cos²(θ) sen(p cosθ))/(p³) = 0

   lim_p→0 (sen³θ sen(p))cos⁴θ → f cont in (0,0)

2. Derivate parziali in (0,0)?

   ∂x f (0,0) = lim_h→0 (f(h,0) - f(a,0))/h = 0

   ∂y f (0,0) = lim_h→0 0/h = 0

   f (0,0) = (0,0)

   Differenziabile in (0,0)

   (lim_h,k→0 (f(h,k) - f(0,0) - ∇f(0,0)(h,k) = 0

   lim_k→0 (m²k² sen(k))/(m²k²) ^1/2 = a

   a h/h

1° Corso A (2013)

3. f(x, y) = 3/2 x² xy + 3/2 y²² + 3x + 4

   Estremi relativi su ℝ (metto ∂x)

   (x₀,y₀ = (0,0)

   y = 2x - 1, unico punto minore

   Der = (0,0) in (1,0) det = 9h→ ∂ → minimo relativo

Esercizio Analisi I

1. f(x, y) = y²sen(xy) se (x, y) ≠ (0,0)

   x² + y² = 0 se (x, y) = (0,0)

   Cont. in (0,0)? Sostituisco y=mx (parabole o altre funzioni)

   lim (x²sen(x²m)) = 0

   Metto in coord. polari:

   lim (r²cos²sen(rho)cos(phi) = 0

   Derivate parziali in (0,0)?

   ∂x f(0,0) = lim (0/h) = 0

   ∂y f(0,0) = lim (h²/h) = 0

   Differenziabile in (0,0)?

   k=imhlim = m²sen(kh)/(2+k²)^3/2

   A sinistra la funzione non è diff.

Esercizio 1 CMM A (2013)

2. f(x, y) = x²y + y³y²...

   U = {(x, y)}: 2 ≤ x,y ≤ 2

   ulc_x³ estremi relativi su U (met.anal.) ∂ x f(x, y) = 2(x + y + 3, x + 3y + 1)....

   Estremi assoluti su U

Wegneras

Perché M compatto consideriamo gli estremi in [0, 2π]. (x+1)² + y₂ = 4

Param: x = ...1 + 2 cos є y = 2 senє 0 ≤ є ≤ 2π

Noto che 2 (x_3/2 = 3/2 y_3/2 = ...

Calcolare integrale e volume

3. Calcolare ∫ F·T ds: int ∫[aЯt wt .. .] + 2 tu ... dttracer ... F … o fz... dato _{fxz(y, x)} = fxz(x, y) … f₂₂(y, ...): tracer .... c(ab U c...) tc ... dove seconda linea... c(y) ... = cost =>....

4. E = {(x,y,t) | x ≥ 0 , y ≥ 0 , (1/2)x²+(1/4)y² ≤ 3 )

   - Calcolare il baricentro

   (1/2)x²+ (1/4)y² ≤ 3 → (x)²/(2*3) + (y)²/_4*3 → ellisse di semiassi _√3, 2

   x = 1/|E| ∫_E x dx dy   |E| = π area ellisse = π 6 = π · 3 · 24/π 6 = 2/π

   ∫₀^π2∫₀¹(β ρ cosΘ)(ρπ)dρdΘ= 1/π = cosΘ∫₀¹ ρ³dρ = 1/4π

   x = 2ρcosΘ y = 2ρsenΘ ovviamente y_m = 8/3 π- Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto da E intorno all'asse y74 guidano Vol = |E| 2π xo = 12π

Derivata direzionale

f(x,y,z) = ln (xy² - 3z)

- Calcolare la derivata direzionale in P = (-1, 2, -2) lungo la direzione della retta di x = y in due tesere. (poiché f∈C¹ in un intorno di P)

Dx f(P) =∇f(P), vsi ha ∇f Δ = (y², 2xy, -3) f(P)∈ (2, -2, 3/2)

→ D_vf f(P) Δ _{<2,-2, 3/2,}<1/√1/3> μ

`(1,1,3)` = 9 f(x,y,z) = 2√2π y(<) = f(x, y)

Soluzione unica

4. y¹ = (y³-y) senx provare che ha un'unica soluzione (in un intorno di x = 0)y(0) = 1 poiché f e g_f=senx(y³-1) sono cont per il th. di esistenza e unicità locale → ∃! sol.

   - Trovare la sol preassndo il dominio a variabili separabili

   ∫ dy _ _ = ∫ senx dx k = 1

   y⁴-1 y((e^x)) - 1/2∫dy _ = ∫ dy = 1/2 ln(y²) -1/4ln(y⁴) -cos x+c

   Cerco un x in un intorno tale (y(0)=1) → ∃1/2 μ²= 1/2 y² quando ha ∃ ln(y²/f²)cos x +c e → forma unifloc