Analisi 2 - Vari esercizi svolti

Analisi matematica 2

Esercizi vari svolti

Tutti gli esercizi che seguono sono stati presi durante le esercitazioni e tutorati di Analisi Matematica 2.

Analisi 2 - Esercitazione

● ∫_D sin²(x+3y) dx dy

D = { (x,y)∈&Ropf;² |  −π<y<2π+&x/2; , 3x<y<3x+3π }

 −π<y<2π+&x/2; → x−π<2y<4π+x −6π<2y−x<4π

3x<y<3x+3π → 0<y−3x<3π

Cambio di variabili:

• u = 2y−x
• v = y−3x

Determinante Jacobiano: det Jac = [ det (dx/du dy/du     dx/dv dy/dv) ]⁻¹ = [ det (−1   2     −3   1 ) ]⁻¹ = [ −1 + 6 ]⁻¹ = [5]⁻¹ = 1/5

Quando effettuate il cambiamento di variabili e calcolate la matrice Jacobiana nelle variabili u e v, il risultato del determinante è il suo reciproco! È sempre positivo!

Esplicitiamo x e y:

• u = 2y - x
• v = y - 3x
• y = 3x + v
• u = 6x + 2v - x
• x = u/5 - 2/5 v
• y = 3(u/5 - 2/5 v) + v1 = 3/5 u - 6/5 v + v1 = 3/5 u - v/5

Se avessimo calcolato il det Jac, nelle variabili x e y NON ci sarebbe stato bisogno del suo reciproco!

sin²(x + 3y) = 8u²(u/5 - 2/5 v + 3(3/5 u - v/5))

• u/5 - 2/5 v + 9/5 u - 3/5 v = 1/5 (u + 9u - 2v - 3v)
• 1 = 1/5 (10u - 5v)
• 1 = 2u - v

∫₀³π dv ∫₋π⁴π sin²(u - v) 1/5 du

1 = 1/5 ∫₀³π dv ∫₋π⁴π sin²(u - v) du (Completare?)

Esercizio 1

f(x,y) = y^ex + e^xxy²

Trovare tutti stazionari o classificati

Esercizio 2

Risolvere il problema di Cauchy

• y'' - 2√3y' + 3y = e^√3/2
• y(0)=0
• y'(0)=0

Soluzione 1

f(x,y) = y^ex + e^xxy²

∂f/∂y = y^{x - 2x}y²

∂f/∂y = e^{x - 2xy}y² + 2e^x = 0

• e^-2x = 0
• y² + 2e^xxy² = 0
• e^x = 2xy
• y² = (2xy)² - y ² = 0
• 2y²x + 8y²x² - y² = 0
• y²(2x + 8x²) = 0
• 8x + 2x = 0
• 2x = -1
• x = -1 ± 3/8
• x₁ = 1/4
• x₂ = 1/2

x₁ = 1/4 e^-4 = e^1/2

y = -e^1/2

P₁ = (1/4, 2e√4)

P₂ = (-√3, e^1/2)

P₁ = (⁴⁄_2e^½)

P₂ = (-e^-½)

∇f = (y e^x + 2e^2x - e^{2y x})

H = (∂_xxf ∂_xyf ∂_yxf ∂_yyf)

• ∂_xxf = y e^x + 4 e^2x
• ∂_xyf = e^-2y = ∂_yxf
• ∂_yyf = -2x

H = (^{ex + 4e2x}⁄_{e^-2y) (^e-2y⁄-2x)}

= (^{2ey½ + e2t}⁄_{e^-2y + e^y½) (^e-4y½}=1 - 4e½- (e^y½x2H (⁴⁄_{2e^-¼) = (e⁴ - 2e^¼)})

= (e-v + ev⁄e-2y e-3vx, -2 ¼+4 (e-6y/6e½x y) = (” 6 e½det (6e½ - 3e½)

P₁ = (⁸3e¼)

= (e^-½ - e^2&1)

det (3e^-1 - 9e^-1) < 0= D, P₂ = (3^-¼e^½) sella!

Soluzione 2

y''-2√3y'+3y=e^t/2

y''-2√3y'+3y=0

• r²-2√3r+3=0
• b/2=-√3
• Δ=_(-√3)²-3=3-3=0
• r_1,2=√3 → r₁=√3, r₂=√3

m.a.=2

y_om(t)=c₁e^3t+c₂te^3t c₁, c₂ ∈ ℝ