Analisi 2 - Vari esercizi svolti

ANALISI MATEMATICA 2

Esercizi vari svolti

Tutti gli esercizi che seguono sono stati presi durante le esercitazioni e tutorati di Analisi Matematica 2

Analisi 2 - Tutoriale/Esercitazione

∫_D u² (x + 3y) dx dy

D = { (x, y) ∈ ℝ² | ^x⁄₂ - π < y < 2π + ^x⁄₂, 3x < y < 3x + 3π }

^x⁄₂ - π < y < 2π + ^x⁄₂ → x - π < 2y < 4π + x

• -2π < 2y - x < 4π

3x < y < 3x + 3π → 0 < y - 3x < 3π

Cambio di variabili

{ u = 2y - x

v = y - 3x

• det Jac = [|det (^∂x⁄_∂u ^∂y⁄_∂u)|]^-1
• [|det (^∂x⁄_∂v ^∂y⁄_∂v)|]
• = [|det (^-1⁄_-3 ²⁄₁)|]^-1
• = [|-1 + 6|]^-1 = [|5|]^-1 = 1/5

Quando utilizzate il cambiamento di variabili e calcolate la matrice Jacobiana nelle variabili u e v, come in questo caso il risultato del determinante è il suo reciproco! È sempre va positivo!

y^'' - 2√3y' + 3y = e^t/2

y^'' - 2√3y' + 3y = 0

r² - 2√3r + 3 = 0

^b⁄_a = -√3 ± √(√3)² - 3 = 3 - 3 = 0

a = 1/2 √3 b = 0

r₁ = √3, r₂ = √3 mul = 2

y_om(t) = c₁ e^√3t + c₂ te^√3t, c₁, c₂ ∈ ℝ

g(t) = e^t/2

y_p(t) = de^t/2, d ∈ ℝ

y'_p(t) = d ⁄ 2 e^t/2

y''_p(t) = d ⁄ 4 e^t/2

d ⁄ 4 e^t/2 - 2√3d e^t/2 + 3d e^t/2 = e^t/2

d ⁄ 4 + 3d - 2√3d = 1

&supd - 2√3d + 2d d = 1

13d - 2√3d = 1 d = 1 ⁄ 13 - 4√3

L'integrale particolare _{yom(t) + 4 ⁄ 13 - 4√3 e^t/2}

 = c₁ e^√3t + c₂ te^√3t + 4 ⁄ 13 - √3e^t/2

y(0) = 0 = c₁ + 4 ⁄ 13 - 4√3

y'₁(t) = √3c₁ e^√3t + c₂ e^√3t + √3c₂ te^√3t + 2 ⁄ 13 - 4√3 e^t/2

y(0) = 0 = √3c₄ + c₂ + 2 ⁄ 13 - 4√3

-4√3 - c₂ = 2 ⁄ 13 - 4√3 =   c₂ = 4√3 - 2

 = 13 - 4√3

y(t) = 4 ⁄ 13 - 4√3e^t/2

2 = ∫_A z² + y² dx dy

A = { (x,y) ∈ ℝ² : (x-2)² + y² ≤ 4_y }

x = ρ cosθ

y = ρ sinθ - ρ

ρ(cosθ - 2)² + ρ²sin²θ ≤ 4

ρ² - 4ρ cosθ ≤ 0 → ρ ∈ [0, 4 cosθ]

θ ∈ [0, 2π]

∫₀^2π(∫₀^ρ ρ² dρ)

1 - ∫₀^2π(∫₀^4cosθ ρ³ / 4 dρ dθ)

1 - 64 ∫₀^2π cosθ dθ

cosθ = (e^iθ + e^-iθ) / 2

(^{e2iθ + e-4iθ + 4e}_2iθ + 4e^2iθ + 6)

L = ¹₁₆(2 cos(4θ) + 2(4)cos(2θ) + 6)

1 = ¹₈cos(4θ) + ¹₈cos(2θ) + 3/8

∫₀^2π cos(4θ) = 0 , ∫₀^2π cos(12θ) dθ = 0

64 ∫^3/8 dx = 24π

lavoro = u(r(8)) - u(r(0))

r(8) = ¹/₈(r(8) - r(0)) = (32 + 8 ln(10)) - {  (32 + 8 ln(10)) + ln(10)} - ln(10)= 32 + 8 ln(10) + {ln(10) - ln(10)}= 32 + 8 ln(10)

3.

∫_D ⁹/_{2 x y²} + sin(x²y³) dxdy

D(x, y) ∈ ℝ², x² + y³ ≤ 2, |y| ≤ x

Il dominio D è simmetrico all'asse y(se e la funzione sin(x²y³) gode della simmetria β(x, y))

f(x, -y) = sin((x²(-y)³) - sin(x²y³)

Quindi ∫_D sin(x²y³) dxdy = 0

Resta da calcolare

∫_D ⁹/_{2 x y²} dxdy = 9 ∫_D x y² dxdy

xa - 6(ax + b) + 5(ax² + bx + c) = 5x² - 2x - 10

xa - 12ax - 6b + 5ax² + 5bx + 5c = 5x² - 2x - 10

{5a = 5

{-12a + 5b = -2

{a - 6b + 5c = 10

a = 1

-12 + 5b = -2 → b = 2

2 - 12 + 5c = -10

-10 + 5c = -10

c = 0

y(x) = c₁e^5x + c₂e^x + x + 2x

∫_D dx dy dz

D = {(x, y, z) | 1 < x² + z² < 4, y ∈ [0, 2 + z]}

coord. polari x = ρcosθ

rispetto z = ρsinθ

asse y y = t

ρ ∈ [1, 2] θ ∈ [0, 2π]

∫₀^2πdθ (∫₁²dρ (∫₀^{ρsinθ + 2} ρ dt ))

= ∫₀^2πdθ (∫₁² ρ dρ (∫₀^{ρsinθ + 2} dt ))

= ∫₀^2πdθ (∫₁² ρ sinθ + 2 ρ dρ )

= ∫₁² ∫₀^2π ρ³ sinθ

= ∫₀^2π dθ (∫₁² ρ² sinθ + 2 ρ³ )

= ∫₁² ∫₀^2π dθ = 6π