Esercizi Macchine a fluido II

Un impianto per la produzione di aria compressa _{p2 = (4.5 + N/50) bar} è costituito da due compressori Roots (_{ηv1 = ηv2 = 0.94, ηm = 0.98}) in serie e da un refrigeratore intermedio che riporta la temperatura T₁ di aspirazione del secondo compressore al valore ambiente. Entrambi i compressori sono calettati sull'albero di un motore a combustione interna, la cui curva di coppia (per massima apertura della valvola a farfalla) è assimilabile ad una parabola: _{Cm[Nm] = 180 - 5 x 10^-6(n[RPM] - 2500)² (2500 < n < 6500)}. Determinare le cilindrate dei due compressori V₁ e V₂ affinchè la portata d'aria mandata G_a sia massima e i compressori lavorino con un rapporto di compressione ottimale. Calcolare, inoltre, la portata d'aria G'_a nel caso di aumento della pressione di mandata di 1 bar.

• _{V1=3763 cm³}
• _{V2=1736 cm³}
• _{Ga=0.3730 kg/s}
• _{G'a=0.2742 kg/s}

_{N = 10}

_{p2 = 4.7 bar}

_{Cm = 180-5·10^-6 (n - 2500)² Nm}

_{2500 < n < 6500}

Consideriamo l'equaglianza delle portate tra i due compressori

_{G1 = G2 ⇒ ηv1·m · V1 · ρa = ηv2 · m · V2 / ρ1}

fanno la medesima velocità

m^*.

β₁ = ^γ₁⁄_{R Ta} =

V₁⁄V₂ = ^P₂⁄_P1

^V₂⁄_V2 = V₁ ⁄ V₂ f₁⁄_f2

V₁⁄V₂ = ^P₁⁄_P0 P₂⁄P₁

Consideriamo l'accoppiamento elico-cinetico tra motore e

elica, sappiamo che per un equilibrio stabile dobbiamo.

avere che C_m = C_empi.

C_empi = Passe ^{mV₂(P₁-P₀)}⁄_{2πγm m^*} + ^{mV₂(P₂-P₁)}⁄_{2πγm m^*} =

= V₁ (P₁ - P₀) + V₂ (P₂ - P₁)

Cf

mmax e m_max

Per maximilizare come orizzontale la traccia Ga, dobbiamo operare

nel prodotto V₂·m; questo corrisponde a maximilizzare C_m che

maximiziamo anche la potenza del motore.

P_m = C_m·W = C_m·2πm

dP_m⁄dm = 0 => potenza massima

dm

=>

2π(180 - 5·10^-6 (m-2500)²)2πm [-10^-6 (m-2500)·1] = 0

2π(180 - 5·10^-6 (m-2500)²)2π[-10^-5 (m-2500)²]= 0

2.

Si vuole realizzare un impianto per la fornitura di aria compressa, costituito da due compressori

Roots in serie, intervallati da un interrefrigeratore. L’utenza richiede una portata complessiva G = 0.6 kg/s, ripartita come segue (v. schema): G₁ = 30% G a p₁ = 2.2 bar e G₂ = 70% G a p₂ = 4.8 bar. I componenti dell’impianto sono caratterizzati dai seguenti dati:

• compressori: η_v1 = η_v2 = 0.94, η_m = 0.97, n₁ = n₂ = 2850 RPM;
• interrefrigeratore: a valle del primo spillamento, Q_H2O = 0.45 l/s, scambiatore in controcorrente

si ricorda che Q̇ = KS \(\frac{(t₁-ta₂)-(t'₁-t'_a2)}{\ln \frac{t₁-ta₂}{t'₁-t'_a2}}\) t_a1 = 10°C, KS = (800-5N) W/K.

Calcolare le cilindrate V₁ e V₂ dei due compressori e la potenza assorbita dall’impianto P_a. Successivamente, viene richiesta dall’utenza una diversa ripartizione della portata di aria (G’₁ = 40% G a p₁ = 2.2 bar e G’₂ = 60% G a p₂ = 4.8 bar). Calcolare la nuova portata di acqua refrigerante Q'̇_H2O necessaria per mantenere inalterata la pressione intermedia p₁, nell’ipotesi in cui venga ridotta del 70% la superficie di scambio termico nell’interrefrigeratore.

V₁=11.11 l V₂=3.754 l

P_a=113.1 kW Q'̇_H2O=0.04840 l/s

β = √(P₂/Pₐ) = √(4.909/1) = 2.1909023

V₁/V₂ = β = 2.1909023

G_T = V₁/V₂ = ηv₁m * V₁ * Pa/N₂. → V₁ = (G * R * T_a)/(ηv₁m * Pₐ)

V₁(P₁ + Pₐ)/V₂(P₂ - Pₚ) = 160 * 6 * 10^-6(m - 2500)²/ Pu = [q ∙ 2∙10⁻⁷(m - 2500)²].Vm/ ^dṁ

Alfinché sia massima la Pu deve risultare che oltre_o

- ∂vm/ ∂ṁ[q ∙ 2∙10⁻⁷(m - 2500)²] + ∂vm/ ∂v _ _ ^du̇/r [4 ∙ 10⁻⁷ (m - 2500) q_ = 0 =>

=> q ∙ 2∙10⁻⁷ + 0,001 ∙m - 4,25 ∙ 4 ∙ 10⁻⁷ + ∂q_ = 0 =>

- 6 ∙ 10 + q,002 ∙ m ^{4 y_}_ + (6 ∙ 10 ṁ) - q{~}

= _{0,001 ∙} ∫∫^{6 ∙ 10⁻⁷} ∙ 7,45 = m_1/2

m = 5628,288108 RPM

Pu_max - q∂ars

pme = q ∙ 2∙10⁻⁷ _{(5628,288108 - 2500)²∙ q_904262703} bar

4,042762703 ∙ 10⁵ ∙ Vm 56282280108 - 33.9 _ _ > .>V_m = 1442 cm³

Ge = Mv / _V_1 ∙ ^ṁ /ρe = _{G_} ^{V̇ 2_}

0.23 = 0,0002027368 m ³ => _56188,88108 ^10⁵

dell’equilibrio delle parlate possiamo ricevere

V_{1 Ge /.. _{d}_ V2} = ^xVuP..{}

= V₂ = ²⁰²⁷/_{2,006 ∙ 288} => 1099 cm³

=V₂ = 1099 cm³

2)

Viene inserita una valvola tra la mandata del primo compressore e l'utilizzo.

P₁ e T₁ rimangano inalterate.

La caratteristica ideale risulta è assimilabile a quella di un ugello isentropico con Au = f A_max con A_max = 100 cm²

• G₁: 120 / 2 N / 2 g = 25 % G = 1,25 Kg/s
• G₂: 180 / N / 2 % g = 75 % G = 3,75 Kg/s

Possiamo calcolarci la velocità del flusso in ingresso alla valvola, ovvero nel punto

ui = G / S * 5 / f 2 * A_max = 210,725658 m / s

M₁ = ui / a₂ = ui / V K * R * T₁ = 210,725658 / V1,4 * 287,1 * 366,88

Riferendoci alle grandezze totali, possiamo scrivere:

T_o / T₂ = 1 + K - 1 / 2 * M₂² -> T_o = T₂(1 + k - 1 / 2 * M₂²) = 366,89(1 + 0,5 * 0,548668073 / 2)

P_o / P₁ = (T_o / T₂) / k / k - 1 = (1) / k / 1 ->

Po = P1 (To / T1)^ k / k-1 = 2,5

G1 = Au * Po V RT_o K(2k / (k+1)^k+1/2 Au = G / V RT_o K(2k / (k+1)^k+1/2)