Esercizi di Elettrotecnica 1

Determinazione del generatore equivalente alla Norton

Utilizzo dei risultati precedenti

Posso utilizzare i risultati già conseguiti al punto 1:

Conosco la matrice delle resistenze: \(Z_{ij}\)

V₁ = Z₂₁I₁ + Z₂₂I₂

V₂ = Z₁₂I₁ + Z₂₂I₂

V₀ = V₂

V₀ = \( \frac{Z_{23}}{Z_{31}} \) E₀ ≅ 75.96 + j4.83 V

Trovo la corrente di cortocircuito:

Risolvere la I_cc = -I₂ dalla seconda equazione della matrice delle impedenze ponendo V₂ = 0 si ha:

Z₂₃I₁ + Z₂₂I_cc = 0

Z₃₁I₁ - Z₂₂I_cc = 0

I_cc = \( \frac{Z_{23}}{Z_{12}} \)I₁

Determinazione con il generatore di tensione ai morsetti 2-2'

Posso utilizzare i risultati già conseguiti al punto 2:

Conosco la matrice delle resistenze:

V̅₁ = z̅₃₁I̅₁ + z̅₃₂I̅₂

V̅₂ = z̅₂₁I̅₁ + z̅₂₂I̅₂

V̅₀ = V̅₂

V̅₀ = _z̅₃₁/_z̅₁₃E̅₀ = 25.96 + j4.83 V

Calcolo della corrente di cortocircuito

Risolvo la I̅cc = -I̅₂ dalla seconda equazione della matrice delle impedenze ponendo V̅₂=0

Icc = _z̅₂₃/_z̅₂₂I̅₁

\[\overline{E_0} = e_0\overline{I_1} + z_{32}\overline{I_2} \rightarrow \overline{I_2} = \dfrac{\overline{E_0} + z_{21}\overline{I_1}}{z_{11}}\]

\[\overline{I_{cc}} = \dfrac{\overline{E_0}}{z_{31}z_{22}}\]

\[\overline{I_{cc}} = \dfrac{z_{21}\overline{E_0} + z_{21}\overline{I_{cc}}}{z_{21}z_{22}}\]

\[\overline{I_{cc}} \left( 1 - \dfrac{z_{21}}{z_{21}} \right) = \dfrac{z_{21}\overline{E_0}}{z_{31}z_{22}}\]

\[\overline{I_{cc}} = \dfrac{z_{21}z_{21}-z_{21}z_{22}}{z_{31}z_{22}-z_{21}z_{22}}\overline{E_0}\]

\[\overline{I_{cc}} \approx 8.72 + j2.29 \, \text{A}\]

Determinazione dell'impedenza equivalente

\[\overline{Z_{th}} = \dfrac{V_0}{I_{cc}} \approx \dfrac{E_0}{I_{cc}} \approx \dfrac{75.96 + j48.81}{8.72 + j1.29} \approx 11.22 - j1.66 \,\Omega\]

Determinazione della potenza complessiva assorbita

Possono essere collegati il generatore di corrente \(\overline{E_0}\) e quello di corrente \(\overline{I_0}\).

\[\begin{align*}&\overline{E_0} = z_{21}\overline{I_1} + z_{32}\overline{I_0}\\&\overline{V_2} = z_{21}\overline{I_1} + z_{22}\overline{I_0}\\&\text{Le due incognite sono } \overline{I_1} \text{ e } \overline{V_2}\end{align*}\]

\[\overline{S} = \overline{V_1} \overline{I_1} + \overline{V_2} \overline{I_2}\]

Ricavo del sistema della matrice delle resistenze Īᵣ e V̲ᵥ:

Ī̲₁ = _{E̲₀ - z̲₁₂ Ī̲₀}/_z̲₁₁

V̲₂ = z̲₂₁ _{(E̲₀ - z̲₂₁ Ī̲₀ + z̲₂₁₀ = z̲₂₃ Ē₀ - z̲₂₃ z̲₂ Ī̲₀ + z̲₂₂ Ī̲₀)}/_z̲₃₁ + _z̲₂₃/_z̲₃₁

Ī̲₃ = _{E̲₀ - z̲₂ Ī̲₀}/_z̲₁₁ = j₁.₂₅ - 7.₅ j A

V̲₂ = _{z̲₂₂ Ē₀ - Ḣ₀ ( z̲₂₃ z̲₂ - z̲₂₂)}/_z̲₂₁ = ⁴⁹.⁵₇ + ⁴⁷.₈₅ j V

Pertanto la potenza complessa risulta essere: Ṡ = V̲₁Ī̲₁ + V̲₂ Ī̲₂ ≃ 1,364 + 352j VA

Determinazione della matrice delle ammettenze

Per il doppio bipolo in figura determinare la matrice delle ammettenze:

La matrice delle ammettenze è:

I₁ = ẟ₁₁ V̅₁ + ẟ₁₂ V̅₂

I₂ = ẟ₂₁ V̅₁ + ẟ₂₂ V̅₂

ẟ₁₁ = I₁ / V̅₁ | V̅₂ = 0

ẟ₂₁ = I₂ / V̅₁ | V̅₂ = 0

Equazioni KCL e LKT

{KCL Nodo 1: - V̅₁ + R₁ Ī₁ = 0 ➔ Ī₁ = V̅₁ / R₁}

ẟ₁₁ = Ī₁ / V̅₁ = 1 / R₁ = 0.1 S

KCL Nodo b: Ī_c + h Ī₁ + Ī₂ = 0 ➔ Ī_c = h V̅̅₁ / R₁ + Ī₂ ➔ Ī₂ = Ī_c - h V̅₁ / R₁

KCL Maglia 2: Ī_c - Z̅_c + V̅̅_^′2 = 0 ➔ Ī_c = 0j₂^- = k ^- h V₁^- / R₁^{- Z̅₁= h V₁ / R₁} n ^{- Z̅₁}

g₁₂ = _I̅1⁄^V₂   I̅₁ V₁=0

g₂₂ = _I̅2⁄^V₂   V₁=0

LKT maglia 1: R₁I̅₁+kV̅₂=0