Esercizi di Costruzione di Macchine 2

Esempi applicazioni:

Schema Fisico:

K = 6.10⁴ N/m

|P|= 1000 N

|Q|= 500 N

Schematizzare la struttura agli elementi finiti (Molla)

Schema Numerico:

• F₁
• F₂
• F₃
• F₄
• F₄

Dato che sono elementi molla avremo g.d.l. che agiscono assialmente

Scrivo le matrici di rigidezza per ogni elemento:

elemento 1

mette in gioco 2 g.d.l, ha rigidezza K

[K₁] = K ^{(1) (2)} [ 1 -1 ] [-1 1 ] ^{(1) (2)}

elemento 2

mette in gioco 2 g.d.l, ha rigidezza 3K

[K₂] = 3K ^{(2) (3)} [ 1 -1 ] [-1 1 ] ^{(2) (3)}

elemento 3

mette in gioco 2 g.d.l, ha rigidezza 2K

[K₃] = 2K ^{(3) (4)} [ 1 -1 ] [-1 1 ] ^{(3) (4)}

elemento 4

mette in gioco 2 g.d.l, ha rigidezza K

[K₄] = K ^{(2) (4)} [ 1 -1 ] [-1 1 ] ^{(2) (4)}

Ora assemblo la matrice di rigidezza della struttura:

[K] = K -K -K K+3K -3K -K -3K +3K +2K -2K -K -2K +2K+K

• elemento 1
• elemento 2
• elemento 3
• elemento 4

Ottengo:

K₂₂ = 5K K₃₂ = -3K K₂₃ = -3K K₃₃ = 5K

ho trovato così la matrice di rigidezza del sistema già ridotta

[K]_R =

| 5K -3K | | -3K 5K |

poi trovo forze e reazioni vincolari...

Esempi applicazioni:

ELEMENTO ASTA

[K] = ^E.A/_L | 1 -1 | | -1 1 |

SIST di riferimento elemento

x' = coordinata di elemento

[K] = [T]^T [K] [T]

matrice dei coseni direttori

dove [T] = | l_x m_x 0 0 | | 0 0 l_x m_x |

[A] = | l_x² l_xm_x | | l_xm_x m_x² |

[K] = ^EA/_R [A] -[A] -[A] [A]

Schema fisico:

A = 220 mm² l = 2000 mm F = 2200 Kg ≃ 21560 N Acciaio E = 206000 MPa

Esempio

Schema Fisico

Schema numerico

2 elementi TRAVE inflessa.

definisco due elementi perchè ogni volta che ho una condizione di vincolo o condizione di carico mi definisco uno di elemento !

Elemento ①

• M T -M T
• T 2S T S
• -M T M T
• T S T 2S

Elemento ②

• M T -M T
• T 2S T S
• -M T M T
• T S T 2S

Finite le matrici di elemento procedo ad assemblare la MATRICE DI RIGIDEZZA DI STRUTTURA: [K]_6x6 3 modi 2 g.d.l per modo 3×2=6

Esercizio

• E = 206000 MPa
• F = 5000 N
• l = 4000 mm
• J = 5.4

a prescindere che la trave sia 3c

trave inflesa

Schema fisico

Sistema numerico:

• M = 12 EJ/l³
• T = 6EJ/l²
• S = 2EJ/l

EL1

[K1] =

• M -T -M T
• T 2S T -S
• -M T M -T
• T -S T 2S

trave inflesa

EL2

[K2] =

• M' T' -M' T'
• T' 2S' T' -S'
• -M' T' M' -T'
• T' -S' T' 2S'

trave inflesa

l₂ = l/2

Uso l'apice perche la lunghezza è diversa

M' = 72EJ/l² - 8M

T' = 6EJ/l² - 4T

S' = 2EJ/l - 2S

EL4: trave

2K = 2⋅EA/L

[K₁] = 2⋅EA/L

• -1
• 1

Passo ora ad assemblare la matrice di struttura.

[K] = EA/L

elemento 1

elemento 2

elemento 3

elemento 4

Confronto lo schema fisico con quello numerico

• cerniera sotto → blocca 1,2
• carrello sotto → blocca 3
• cerniera alto → non blocca nulla
• carrello alto → blocca 7

g.d.l. attivi 4,5,6

[K]_R = EA/L

-EA/2L

Calcoli

N = _{E A}/^L = 185400 N/mm

M = _{12 E J}/^L³ = 466,86 N/mm

T = _{6 E J}/^L² = 168680 N

S = _{2 E J}/^L = 1,112×10⁸ N⋅mm

Ottengo:

[K_R] = [ 2,349   0,802   1,445 0,802   1,333   0,834  ⋅10⁵ 1,445   0,834   4449,6 ]

[_f₄]   [ 5,4⋅10^-6   -3,1⋅10^-6   ̶1̶,̶1̶3̶⋅̶1̶0̶^̶9̶̶ -3,1⋅10^-6   8,96⋅10^-6   -6,7⋅10^-10 -̶1̶,̶1̶9̶⋅̶1̶0̶^̶9̶̶   -6,7⋅10^-10   ̶2̶,̶2̶5̶⋅̶1̶0̶^̶9̶̶ ]   ⋅ [ ±√2/2 ]

= [ 0,120 mm 0,706 mm -6,93⋅10^-6 rad ]

I risultati sono coerenti con la fisica del problema.

Elemento ₂:

[K]₂ = K [⁽¹⁾₍₂₎ [1 -1] ⁽²⁾₍₃₎ [-1 1] ]

Elemento ₃:

[K]₃ = K [⁽³⁾₍₄₎ [1 -1] ⁽⁴⁾₍₃₎ [-1 1] ]

Elemento ₄:

[K]₄ = K [⁽⁴⁾₍₅₎ [1 -1] ⁽⁵⁾₍₅₎ [-1 1] ]

Elemento ₅:

[K]₅ = K [⁽³⁾₍₅₎ [1 -1] ⁽⁵⁾₍₅₎ [-1 1] ]

Assemblo la matrice di rigidezza di Struttura [5x5]

[K] = ⁽¹⁾ [ K -K ] ⁽²⁾ [-K K+K -K ] ⁽³⁾ [-K K+K -K ] ⁽⁴⁾ [-K K] ⁽⁵⁾ [-K K K+K]

gradi di libertà attivi: 2,3,4

e ottengo lo stesso risultato precedente:

[K]_R = ⁽²⁾ [2K -K 0 ] ⁽³⁾ [-K 3K -K ] ⁽⁴⁾ [ 0 -K 2K ]

le due matrici, con approcci diversi, coincidono ⇒ CORRETTO

Puleggia

per tener conto delle frequenze proprie torsionali devo considerare l'inerzia della puleggia ma non la massa propria perché la massa concentrata non ha effetti sulle frequenze. Considero l'inerzia della puleggia ma non la massa propria perché la massa concentrata non ha effetti sulle frequenze.

Considero l'inerzia della puleggia ma non la massa propria perché la massa concentrata non ha effetti sulle frequenze.

Considero l'inerzia della puleggia ma non la massa propria perché la massa concentrata non ha effetti sulle frequenze.

man mano che riceve la propria inerzia, dovrà formare una sfera sferografico e quindi c'è un'altra massa in rotazione torsionale dell'albero stesso.

• No modi

Disco:

contribuisce alla torsione dell'albero con la sua inerzia.

Non appena dopo il 2° disco, ho un tratto di albero che non riceve nessun vincolo e contribuisce torsionalmente da qualche disco.

• libero di ruotare con la stessa rotazione che avrà l'albero in corrispondenza del disco 3 -> indeformato

• Quindi ho 3 modi: g.d.l. torsionali -> rotazione attorno all'asse
• Inerzie -> Ip, Id, Id

• Inerzia dischi:

md= ρ·V = ρ·π·D₁²·b

= 13,87 kg

Id = (1/2) md (D₁/2)²

= 0,14560 kg/m²

inertia del disco attorno al proprio asse