Esercizi d'esame svolti

26 GIUGNO 2011

R_M = 1Ω R₂ = R₃ = 0.5Ω L = 1H C = 1F

i_g(t) = { 1 t<0 0 t≥0 }

t<0

i_g(t) = I₂ - I₁ I = I₂ - I₁ I₁ = I₂ - 1

( R_M 0 0 R₂+R₃ )( I₁ I₂ ) = ( -V_X V_X )

( 1 0 0 1 )( I₂ - 1 I₂ ) = ( -V_X V_X )

{I₂ - 1 = -V_X } → V_X - 1 = -V_X 2V_X = 1 V_X = 1/2

I₂ = 1/2 → I₁ = 1/2 - 1 2I₁ = 1 - 2 2I₁ = -1 I₁ = -1/2

i_L(0^-) = I_A = 1/2

V_C(0^-) = V_R3 = { 1 I₁ I₂ I₂ }

1/4 = 1/2

t=0

V₁(0⁺)

I₂

R₃? R₃ I₁

(Rₘ + sL + R₂ + R₃     -sL - R₂)

(-sL - R₂         1/sC + sL + R₁)

(I₁)

(I₂)

=

(LiL(0⁻))

(V₁(0⁻) - LiL(0⁻))

(2+s    -s-1/2)

(-s-1/2    1/5 + s + 1/2) (I₁) = (1/5)

(I₂)

=

(1/5    -1/2)

I₁ =

det

(1/5    -1/2)

(-s-1/2    1/5 + s + 1/2)

/

det

(2+s    -s-1/2)

(-s-1/2    1/5 + s + 1/2)

(2+s    -s-1/2)

(-s-1/2    1/5 + s + 1/2)

= (2+s) (1/5)+1/2) - (-s-1/2)

2/5 (25+1/5) = s

5

2/5 +5 +7 +5/2 +1/2

2/5 + 5 + 7

8/5 s² + 8s + 25s - s

6s

6s

B(s² + 8s + 25s - s)

8s² +7s +3

6s

-2s

-1-5

VR2 = -\frac{6-6s}{2s} \cdot \frac{8}{2s^2 + 4s + 2} =

\frac{-8}{(s+1)} \cdot \frac{(s+1)}{2} = \frac{-3}{2}(s+1)

\frac{\mu_2}{(s^2 + 2s + 1)} = \frac{(s+1)}{(s^2 + 2s + 1)}

= \frac{-3}{2} \cdot \frac{(s+1)}{(s+1)^2} = \frac{-3}{2} \cdot \frac{1}{(s+1)}

VR2(t) = -\frac{3}{2} e^{-t} \alpha_{-1}(t)

Potenza attiva, reattiva, composta e apparente

Abbiamo che la potenza istantanea è uguale a:

p(t) = ₁⁄₂ Re [Vi^*] + ₁⁄₂ Re [&Vtilde;i e^jωt]

Il significato del termine costante si può

ottenere esplicitando la potenza istantanea nel modo seguente

p(t) = ₁⁄₂ Re CVl^* + ₁⁄₂ Vl cos(2ωt+φ_u+φ_i)

Riportando in funzione del tempo, l'andamento di

p(t) si ottiene questo diagramma:

Vale andamento mostra che la potenza varia sinusoidalmente

con pulsazione 2ωo ed un valore medio pari al termine costante p_a = ₁⁄₂ Re [𝒞Vl]

La grandezza Pa, che rappresenta la potenza ceduta

in media al brano di carico del generatore, viene detta potenza attiva e viene misurata in watt

Pa = ₁⁄₂ Re [𝒞Vl] → Può essere esplicitata

Pa = ₁⁄₂ Re (Vl^*)= ₁⁄₂ Re (V_{2 𝒞} I_s jωl) = ₁⁄₂ V_l cos (ϕ_u-ϕ_i)

ϕ angolo di sfasamento della tensione rispetto

alla corrente ϕ = ϕu-ϕi

Pa = ₁⁄₂ Re V_l (cos ϕ) → Fattore di potenza

Pa = ₁⁄₂ Re (ε L) I^L → Parte reale

Teorema di Thevenin e Norton

Una delle principali conseguenze del principio di sovrapposizione è il teorema di Thevenin.

Sostituisco al bipolo N un circuito equivalente.

• Un circuito resistivo lineare accessibile da due terminali.
• U2 bipolo del tutto arbitrario

Il teorema di Thevenin stabilisce un'equivalenza dal punto di vista esterno tra il bipolo (N) ed un circuito estremamente semplice resistivo.

Un circuito lineare, accessibile da due terminali, è equivalente ad un generatore indipendente di tensione in serie ad un resistore. La tensione U₀ del generatore è la tensione che si ha tra i terminali quando sono aperti.

• Rt del resistore è la resistenza equivalente al circuito con i generatori indipendenti spenti.

L'equivalenza implica che tutte le grandezze in M rimangano inalterate, comprese le sostituendo il circuito (N) con il suo equivalente di Thevenin.

Bisogna applicare il teorema di sostituzione, ovvero sostituisco al generatore di tensione un generatore di corrente che eroga una corrente uguale a quella iniziale.

Proprietà Funzioni di Rete

Per tutti i circuiti lineari e permanenti a costanti concentrate le funzioni di rete, di qualsiasi tipo godono delle seguenti proprietà.

1. Ogni funzione di rete di un circuito lineare, permanente a costanti concentrate è una funzione razionale a coefficienti reali delle variabile s Dimostrazione.
2. Ogni funzione di rete di un circuito variabile consideriamo come funzioni di scittura (...)

([Zm][Cm]) = ([Vg])

([Im]) = ([Zm]^-1[Cv])

A matrice (Zm)^-1 è fermata da elementi coincidenti con funzioni razionali reali in s.

1 <Z'z> 2

1 < Z''1 > 2

+ V_R(t)?

i_g(t)

t<0

i_g(t) = 0 + t>0

L = 1 C = 1 R = 1

[<Z'>-<Z''>] = [1 21 1]

R I = + V_X + V_b' - V_b''

i(∞)= -^VR(t)/_R = I = 1

v_c(∞) = V_a' - V_a'' + V_X

[V_A' = z₁₁ I_A' + z₁₂ I_B'V_A'' = z₁₁ I_A' z₁₁ I_B'

I_B' = - I = -1I_B'' = I = 1

∂V_C(∞) = - q_I V_X

i_g = I = 1,V_R(t) = RI = 1V

V_A' = i_A' + z_i I_BV_A'' = I_A'' + z I_B''

V_A'= 2 I_BV_A''= 2I_B''

v_A' = -2v_A'' = 2

I_A' = I_A'' = 0IN QUEL PUNO NON SCORRE CURRENT

{

¹⁄₃I_n - ¹⁄₃I_c = -⁴⁄₃I_a + I_ta0. I_ic

-⁵⁄₃[1+(⁵⁄₁)I_Ur = ¹⁄₃ + I_a + I₃-2I_Ur

-⁵⁄₃I₃ = ⁴⁄₃I_a-I₃

(⁵⁄₁)I_n - ( ^3⁄₄)I_c = -¹⁄₅

(⁵⁄₁)I_a + (¹⁄₃+³⁄₃)I₂-I₃ = ¹⁄₅

-I₂+(5+1)I₃ = 1

(

⁴⁄₅₊₁

(-¹⁄₃₊₁)

0

) (

I₁

I₂

I₃

) =(

-⁵⁄₁

¹⁄₁₅

1

t+

(³⁄₃₊₁

0)

+(5+1)(

³⁄_5-1

³⁄_3-1

⁵⁄₃₊₃

)

-¹⁄₅ + 1 +(5+1)(¹⁄₃₊₁)(³⁄₅₊₃) -(-¹⁄₅-1)²

-¹⁄₅-1+(5+1)[¹⁄₃+³⁄₅+¹⁄₅+3 -¹⁄₅-1-²⁄₃]

-¹⁄₃-1(5+1)[²⁄₅+2]

-¹⁄₃ -1+2+2+2+²⁄₅ = ¹⁄₅ +2⁵+3 = 1+2⁵+3⁵