Esercizi base di elettrotecnica, sulla legge di Kirkhoff spiegati bene e commentati

Il blocco di esercizi

che ti presento ora è

un insieme di esercizi di base

in cui si applicano i seguenti

argomenti:

• Leggi di Kirchoff
• serie e parallelo
• Partitori di tensione e corrente

Essi sono utilizzati al fine di risolvere

esercizi più complessi.

COSTO TOTALE = 15€

Il blocco di esercizi

che ti presento ora è

un insieme di esercizi di base

in cui si applicano i seguenti

argomenti:

• Leggi di Kirchhoff
• Serie e parallelo
• Partitori di tensione e corrente

Essi sono utilissimi al fine di risolvere

esercizi più complessi.

COSTO TOTALE = 15 €

Esercizio n°3.2

Dato il circuito in figura:

determinare i e v.

In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Impostiamo la L.K.C. al nodo b:

1. I₁ = i + I₂
2. i = I₁ - I₂ (1)

Per determinare la corrente I₁ applichiamo la L.K.T alla prima maglia:

V₁ - E = 0

V₁ = E = R₁I₁

I₁ = E/R₁

Per determinare la corrente I₂ applichiamo la L.K.C al nodo c:

I + I₂ = 0

I₂ = -I

Sostituendo le espressioni delle correnti I₁ e I₂ nella (1) otteniamo:

i = I₁ - I₂ = E/R₁ + I = 18/2 + 2 = 11A

La tensione v è la tensione ai capi del generatore di corrente che può essere determinata applicando la L.K.T. alla seconda maglia del circuito:

V₂ + v = 0   →   v = -V₂ = -R₂I₂ = R₂I = 4 ⋅ 2 = 8V

Assumendo dunque che ti è stato chiesto:

• come sono state fatte le convenzioni;
• come sono state applicate le 2 leggi di Kirchhoff.

Esercizio n°3.3

Dato il circuito in figura:

determinare le tensioni v_ac e v_bd.

In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Per ricavare le tensioni v_ac e v_bd è necessario determinare le cadute sui resistori R₁ e R₂, per cui il primo passo nella risoluzione di questo circuito consiste nel determinare le correnti I₁ e I₂ nei due resistori.

Applicando la L.K.C. al nodo b si ricava evidentemente I₁ = I₂ = I. Impostiamo ora la L.K.T per l'unica maglia del circuito:

R₁I + R₁I + E₂ - E₁ = 0

da cui ricaviamo:

I = \frac{E₁ - E₂}{R₁ + R₂} = \frac{12 - 8}{2 + 4} = \frac{2}{3} \text{ A}

A questo punto possiamo calcolare v_ac:

v_ac = R₁I + R₂I = (2 + 4) \cdot \frac{2}{3} = 4 \text{V}

e anche v_bd applicando la L.K.T. alla sequenza chiusa di nodi b-c-d:

v_bd = R₂I + E₂ = 4 · ²/₃ + 8 = ³²/₃ = 10.67 A

Esercizio n°3.5

Dato il circuito in figura:

determinare le tensioni V₁, V₂, V₃.

Per ricavare le tensioni ai capi di ciascun resistore possiamo seguire due strade. La prima consiste nell’applicare il partitore di tensione alla serie R₁ - R₂ - R₃ :

V₁ = E _R1/^{R₁ + R₂ + R₃} = 36₆/^{6 + 2 + 4} = ₂₁₆/¹² = 18V

V₂ = E _R2/^{R₁ + R₂ + R₃} = 36₂/^{6 + 2 + 4} = ₇₂/¹² = 6V

V₃ = E _R3/^{R₁ + R₂ + R₃} = 36₄/^{6 + 2 + 4} = ₁₄₄/¹² = 12V

In alternativa possiamo applicare la L.K.T. all’unica maglia del circuito, ricavare il valore della corrente comune e determinare così le cadute su ciascun resistore. A tale scopo fissiamo un riferimento per la corrente:

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Impostiamo la L.K.T. all’unica maglia del circuito:

V₁ + V₂ + V₃ - E = 0

da cui:

R₁I + R₂I + R₃I - E = 0

I = ^E⁄_{R1 + R2 + R3} = ³⁶⁄_{6 + 2 + 4} = 3 A

A questo punto calcoliamo le cadute di tensione ai capi di ciascun resistore:

V₁ = R₁I = 6 · 3 = 18 A

V₂ = R₂I = 2 · 3 = 6 A

V₃ = R₃I = 4 · 3 = 12 A

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Esercizio n° 3.6

Dato il circuito in figura:

determinare le correnti I₁, I₂, I₃.

Per ricavare le correnti su ciascun resistore possiamo seguire due strade. La prima consiste nell’applicare il partitore di corrente al parallelo R₁-R₂-R₃:

I₁ = ^G₁⁄_{G1 + G2 + G3}I = ¹⁄_R1I = ⁷⁄₂ = ⁷⁄_{4 + 2 + 1}7 = ⁷⁄₇1•⁸⁄₂= 4A

I₂ = ^G₂⁄_{G1 + G2 + G3}I = ¹⁄_R2I = ⁷⁄₄ = ⁷⁄_{4 + 2 + 1}7 = ⁷⁄₇4•¹⁄₄ = 2A

I₃ = ^G₃⁄_{G1 + G2 + G3}I = ¹⁄_R3I = ⁷⁄₈ = ⁷⁄_{4 + 2 + 1}7 = ⁷⁄₈7•¹⁄₈ = 1A

In alternativa possiamo applicare la L.K.C. al nodo a, ricavare il valore della tensione comune e determinare cosi le correnti su ciascun resistore. A tale scopo fissiamo un sistema di riferimento per le tensioni:

Impostiamo la L.K.C. al nodo a:

I₁ + I₂ + I₃ - I = 0

avendo considerato positive le correnti uscenti dal nodo. Si ha:

^V₁/_R1 + ^V₂/_R2 + ^V₃/_R3 - I = 0

Essendo i resistori in parallelo, su di essi insiste la stessa tensione:

V₁ = V₂ = V₃ = V

per cui si ha:

^V/_R1 + ^V/_R2 + ^V/_R3 - I = 0

da cui:

V = ^I/_{¹/R1 + ¹/R2 + ¹/R3} = ⁷/₁ = ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ = ⁴⁺²⁺¹/₈ = ⁷/₈ = ⁷/₇ = 8V

A questo punto calcoliamo le correnti in ciascun resistore ciascun resistore:

I₁ = ^V/_R1 = ⁸/₂ = 4A

I₂ = ^V/_R2 = ⁸/₄ = 2A

I₃ = ^V/_R3 = ⁸/₈ = 1A

ottenendo lo stesso risultato.

Esercizio n°3.7

Dato il circuito in figura:

ricavare v per t < 0 e per t > 0.

Ad interruttore aperto (t < 0) la tensione ai capi del generatore di corrente è pari alla caduta sul resistore R₁, il quale viene attraversato da tutta la corrente I del generatore.

La caduta su R₂ è invece nulla perché esso non viene attraversato da corrente.

Fissando un riferimento per tensioni e correnti laddove non viene indicato dalla traccia:

possiamo scrivere (L.K.T.):

v = V₁ = R₁I = 2kΩ ⋅ 6mA = 2000Ω ⋅ 0.006A = 12V (t < 0)

Ad interruttore aperto (t > 0) la tensione ai capi del generatore di corrente è ancora pari alla caduta sul resistore R₁, il quale viene attraversato da una parte della corrente I del generatore secondo la regola del partitore di corrente:

A questo punto la tensione ai capi del generatore è immediatamente determinata:

v = V₁ = R₁I₁ = 2000Ω⋅0.004A = 8V (t > 0)

Osserviamo che la tensione ai capi del generatore è anche uguale a quella che insiste sul resistore R₂ (i tre componenti sono in parallelo tra loro), per cui si può in alternativa valutare la corrente I₂ impostando ancora una volta il partitore di corrente:

e calcolare la caduta di tensione sul resistore R₂:

v = V₂ = R₂I₂ = 4000Ω⋅0.002A = 8V   (t > 0)

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Esercizio n°3.8

Dato il circuito in figura:

ricavare le tensioni V_ac e V_cb.

In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Calcoliamo la corrente I₁ applicando il partitore di corrente al parallelo R₁-R₂:

I₁ = I • _G1/^{G₁ + G₂} = I₁ = ₁/^R₁ / ₁/^R₁ + ₁/^R₂ = 0.003 = ₁/²⁰⁰⁰ = 30 × 10^-4 = 5 × 10^-4 ₅/7.5 = 0.002A

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